2020高中数学 第三章复数的几何意义

2020高中数学 第三章复数的几何意义

‎3.1.2　‎复数的几何意义 学习目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2.掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．复平面 思考：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？‎ ‎[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎3．复数的模 ‎(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，‎ ‎(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)复平面内的点与复数是一一对应的．(　　)‎ ‎(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．(　　)‎ ‎(3)复数的模一定是正实数．(　　)‎ ‎(4)复数与向量一一对应．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4) ×‎ ‎2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　　)‎ A．(0，－1)　　 B．(－1,0)‎ C．(0,0) D．(－1，－1)‎ A　[复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]‎ 6‎ ‎3．向量a＝(－2, 1)所对应的复数是(　　)‎ ‎ 【导学号：31062199】‎ A．z＝1＋2i B．z＝1－2i C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i D　[向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]‎ ‎4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.‎ ‎[解析]　∵z＝1＋2i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 复数与复平面内的点的关系 ‎[探究问题]‎ ‎1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？‎ 提示：看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．‎ ‎2．在复平面上，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？‎ 提示：a>0，且b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．‎ ‎　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－‎2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： ‎ ‎【导学号：31062200】‎ ‎(1)在复平面的第二象限内．‎ ‎(2)在复平面内的x轴上方．‎ ‎[思路探究]　→ ‎→ ‎[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，‎ 则解得a＜－3.‎ ‎(2)点Z在x轴上方，‎ 则，‎ 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.‎ 母题探究：1.(变结论)本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．‎ 6‎ ‎[解]　点Z在x轴上，所以a2－‎2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.‎ 故a＝5时，点Z在x轴上．‎ ‎2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．‎ ‎[解]　因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，‎ 所以＋a2－‎2a－15＋7＝0，‎ 即a3＋‎2a2－‎15a－30＝0，‎ 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.‎ 所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．‎ ‎[规律方法]　利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标. (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.‎ 复数的模及其应用 ‎　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ (　　) ‎ ‎【导学号：31062201】‎ A．1　　　　　　　　 B. C. D．2‎ ‎(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. ‎ ‎(1)B　[因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B.]‎ ‎(2)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝，‎ 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴z＝－15＋8i.‎ ‎[规律方法]　1.复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝. ‎2.复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离. ‎3.转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－‎2a)i的模为________．‎ ‎(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．‎ 6‎ ‎[解析]　(1)∵z为实数，∴a2－a－6＝0，‎ ‎∴a＝－2或3.‎ ‎∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，‎ ‎∴z1＝2－5i，∴|z1|＝.‎ ‎[答案]　 ‎(2)法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，‎ 由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．‎ 法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，‎ 由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，‎ 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．‎ 由图可知：－

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