2019-2020学年江苏省海安高级中学高二12月月考数学试题

2019-2020学年江苏省海安高级中学高二12月月考数学试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试卷 一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．‎ ‎1． 命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎2． 在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝6，则△ABC的最大内角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3． 若是首项为1的等比数列，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4． 已知函数，则（ ）‎ A．4 B．1 C．－4 D．‎ ‎5． 若数列的通项公式是，则（ ）‎ A．15 B．12 C．－12 D．－15‎ ‎6． 已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎7． 已知△ABC的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）‎ A．5 B． C．4 D．‎ ‎8． 直三棱柱中，∠BCA＝90°，M，N分别是，的中点，BC＝CA＝，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 已知、是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数的导数为，则数列（）的前n项和是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列结论正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若x＞0，则 ‎ C．若a＞b＞0，则 D．若ab＞0，a＋b＝1，则 ‎12．在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ）‎ A．直线 B．直线 C．平面 D．平面 ‎13．若函数与的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为（ ）‎ A．2 B．0 C．1 D．－1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎14．若0＜x＜1，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎15．设函数，且，，则a＋b＝ ▲ ．‎ ‎16．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．‎ ‎17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知命题p：“，不等式成立”是真命题．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若q：－4＜m－a＜4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数（a，），曲线在点处的切线方程为y＝3．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前n项和，并比较与的大小．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 图1是由菱形ABCD，平行四边形ABEF和矩形EFGH组成的一个平面图形，其中，BE ‎＝EH＝1，，，将其沿AB，EF折起使得CD与HG重合，如图2．‎ ‎（1）证明：图2中的平面BCE⊥平面ABEF；‎ ‎（2）求图2中点F到平面BCE的距离；‎ ‎（3）求图2中二面角E－AB－C的余弦值．‎ 图1‎ 图2‎ ‎22．（本小题满分15分）‎ 已知抛物线C：（0＜p＜2）的焦点为F，是C上的一点，且．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）直线l交C于A、B两点，且△OAB的面积为16，求直线l的方程．‎ ‎23．（本小题满分15分）‎ 已知椭圆C：（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．‎ ‎（1）若直线与直线OD的斜率之积为，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 高二数学试卷 一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】D ‎3．【答案】B ‎4．【答案】C ‎5．【答案】A ‎6．【答案】A ‎7．【答案】A ‎8．【答案】C ‎9．【答案】D ‎10．【答案】A ‎11．【答案】BCD ‎12．【答案】AD ‎13．【答案】BCD 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎14．【答案】‎ ‎15．【答案】1‎ ‎16．【答案】‎ ‎17．【答案】升 升 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】‎ ‎(1)f′(x)＝a－，‎ 于是解得或 因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.‎ ‎(2)证明：在曲线上任取一点，‎ 由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为 y－＝(x－x0)．‎ 令x＝1，得y＝，‎ 切线与直线x＝1的交点为；‎ 令y＝x，得y＝2x0－1，‎ 切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；‎ 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为|2x0－1－1|＝‎ |2x0－2|＝2.‎ 所以所围成的三角形的面积为定值2.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎【答案】‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）由题知，在中：‎ 所以 2分 又在矩形中： 3分 且 ‎ 所以平面 4分 又因为平面 ‎ 所以平面平面 5分 ‎（2）由（1）知：平面，所以 因为菱形中的，所以为等边三角形，，‎ 所以在中： 6分 所以在中， 7分 又因为平面平面，且平面平面 所以平面 8分 又因为平面，所以点到平面的距离为 9分 ‎（3）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系 所以 10分 由（1）知平面的法向量为, 11分 设平面的法向量，因为，‎ 由，得，取得， 12分 所以，即二面角的余弦值为 14分 ‎22．（本小题满分15分）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，‎ 又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，‎ ‎∴抛物线的方程为x2＝2y，-------5分 ‎（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）‎ 由得：x2﹣2kx﹣2b＝0‎ ‎∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b 由，kOAkOB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4‎ ‎∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），‎ 原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴SOAB＝×d|AB|＝ו＝‎ ‎＝2＝16，‎ ‎∴4k2+32＝64，解得k＝±2‎ 所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分 ‎23．（本小题满分15分）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）由得 ， 显然，‎ 设，，，则，，‎ ‎∴， .‎ ‎∴ .‎ ‎∴. 所以椭圆方程为.-------6分 ‎（2）假设存在定点，且设， 由得.‎ ‎∴. 即 ，‎ ‎∴ .‎ 由（1）知，， ∴ .‎ ‎∴. 所以存在定点使得.------14分