高考数学专题复习（精选精讲）练习7-三视图体积习题精选

高考数学专题复习（精选精讲）练习7-三视图体积习题精选

三视图 习题精选 ‎1．填出下列几何体的三视图． ‎ ‎2．三种视图都相同的几何体有_______、_______．3．有两种视图相同的几何体有_______、_______．‎ ‎4．请你画了下图中两个几何体的三种视图．‎ ‎5．请你根据下图给出的俯视图，画出棱柱的主视图和左视图．‎ ‎6．画出下图中几何体的三种视图．‎ ‎7．下列视图中，可能是棱柱的三视图的是（）‎ ‎8．（1）根据三视图，填写几何体的名称．‎ 几何体是_______．‎ ‎（2）‎ 几何体是_______．‎ ‎（3）‎ 几何体是_______．‎ ‎（4）‎ 几何体是_______．‎ ‎（5）‎ 几何体是_______．‎ ‎9．一物体的三视图如下图所示，试画出它的草图．‎ ‎10．如图所示，桌上放着一个杯子和一本书，则下列三个视图从左到右依次是_______视图，_______视图和_______视图．‎ ‎12．将一个乒乓球，一个羽毛球和一个圆盘如下图所示放在一起，你能画出它的三种视图吗？‎ ‎12．如图，根据主视图和俯视图找出物体．‎ ‎13．请画出图中所示棱柱的三视图．‎ 答案：‎ ‎1．依次填 ‎2．答案：正方体、球 ‎3．答案：圆柱体、圆锥体 直棱柱的三视图 ‎4．答案：‎ ‎5．答案：‎ ‎5题图 依据几何体画三视图．‎ ‎6．答案：‎ 由三视图描述几何体的形状 ‎7．答案：D ‎8．答案：（1）六棱柱 （2）圆锥 （3）圆柱 （4）三棱锥（5）底面为圆环的柱体 ‎9．答案：如图．‎ ‎10．答案：左、俯、主 ‎11．答案：（1）c (2)d (3)b (4)e (5)f (6)a ‎12．答案：（1）B （2）C （3）A ‎13．答案：‎ 第八章 多面体和旋转体 一、考纲要求 ‎1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.‎ ‎2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公 式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.‎ ‎3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的 直观图.‎ ‎4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直 截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的 全部顶点的其他截面的有关问题.‎ 二、知识结构 ‎1.几种常凸多面体间的关系 ‎2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 定 义 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形 名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台 侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点 侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 其他性质 高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 ‎3.几种特殊四棱柱的特殊性质 名称 特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 ‎4.面积和体积公式 下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长 .‎ 名称 侧面积(S侧)‎ 全面积(S全)‎ 体 积(V)‎ 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′‎ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+)‎ 正棱台 ‎ (c+c′)h′‎ ‎5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 ‎(1)全面积 S全=a2；‎ ‎(2)体积 V=a3；‎ ‎(3)对棱中点连线段的长 d=a；‎ ‎(4)相邻两面所成的二面角 α=arccos ‎(5)外接球半径 R=a；‎ ‎(6)内切球半径 r=a.‎ ‎(7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).‎ 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：‎ 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ‎ ‎①不含直角的底面ABC是锐角三角形；‎ ‎②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；‎ ‎③体积 V=abc；‎ ‎④底面△ABC=；‎ ‎⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；‎ ‎⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ‎⑦=++; ‎ ‎⑧外切球半径 R=；‎ ‎⑨内切球半径 r=‎ ‎6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式 ‎(1)面积和体积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 ‎2πrl πrl π(r1+r2)l S全 ‎2πr(l+r)‎ πr(l+r)‎ π(r1+r2)l+π(r21+r22)‎ ‎4πR2‎ V πr2h(即πr2l)‎ πr2h πh(r21+r1r2+r22)‎ πR3‎ 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径.‎ ‎(2)圆锥、圆台某些数量关系 ‎②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.‎ 如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则 ‎ sinα=cos = ，‎ α+=90° ‎ ‎ cosα=sin = .‎ ‎②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则 h=lsinα r-r′=lcosα.‎ ‎③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.‎ ‎(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.‎ ‎(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.‎ ‎(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：‎ r=.‎ ‎(3)球冠、球带和球缺 ‎①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高. 球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面.‎ 球冠的面积公式 若球的半径为R，球冠的高为h，则 S球冠=2πRh 其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半径.‎ ‎②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.‎ 球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面.‎ 球带的面积公式 若球的半径为R，球带的高为h，则 S球带=2πRh ‎③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.‎ 球缺的体积公式 若球的半径为R，球缺的高h，底面半径为r，则 V球缺=πh2(3R-h)= πh(3r2+h2)‎ 三、知识点、能力点提示 ‎(一)多面体 例1 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _____.‎ 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh.‎ ‎∵E、F分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5.‎ 例2 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.‎ 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm ‎ 2(xy+yz+zx)=20 ①‎ 依题意得：‎ ‎ 4(x+y+Z)=24 ②‎ 由②2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 ③‎ 由③-①得 x2+y2+z2=16即l2=16 ∵l=4(cm).‎ 例3 如图，正三棱锥S—ABC的侧棱和底面 边长相等，如果E、F分别为AB、SC的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( ) ‎ A.90° B.60° C .450° D.30°‎ 解：取AC的中点G，连结FG，EG∵FG∥SA ‎∴∠GFE为异面直线EF与SA所成的角.正三棱锥的棱长为1，则GF=GE=.∵顶点到A、B、C等距，△ABC等边 ‎∴顶点在底面ABC的射影O是△ABC的中心，从而SA在底面上的射影⊥BCSA⊥BC，即“正三 棱锥中两相对棱垂直”.‎ ‎∴∠FGE=90°.∴tg∠EFG==1,∠EFG=45°.应选C.‎ 例4 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体 积为( )‎ A.6 B‎.2‎ C. D.2‎ 解：由已知可得正六棱锥的底面积S=6×‎ 设正六棱锥的高为h，则h==2.∴V=××2=.应选C.‎ 例5 如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心 解：作OE⊥AB，OF⊥BC，OM⊥CA ‎∵∠SEO=∠SFO=∠SMO,∴△SEO≌△SFO≌△SMO.∴OE=OF=OM.‎ ‎∴O为△ABC的内心，应选D.‎ 例6 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是( )‎ A. B. C. D.‎ 解：如图，设P为AA1的中点，Q为A1M的中点，则DP∥CN，PQ∥AM，‎ ‎∴∠DPQ是异面直线AM和CN的成角.‎ 在△DPQ中，DP= ==，‎ PQ=AM=×=，DQ===.‎ 由余弦定理得cos∠DPQ＝==-.‎ 又异面直线所成的角的范围是（0，90°）.∴直线AM和CN所成角的余弦值是.应选D.‎ 例7 已知三棱锥A—BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC 和面 DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=_______.‎ 解：如图，作AO⊥面BCD于O，作OE⊥BC于E，连结AE.‎ 由V=AO·S2，‎ 得AO=又S1=AE·BC，得AE=由三垂线定理知，AE⊥BC，‎ ‎∴∠AEO是二面角A—BC—D的平面角.即∠AEO=α，∴sinα=sin∠AEO==.‎ 例8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( )‎ A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解：该棱锥一定不是正六棱锥.‎ 否则设正棱锥S—ABCDEF符合题设，则在△SAB和△OAB中(O为顶点S在底面的射影)，‎ ‎∵SA=SB=AB=OA=OB,∴△SAB≌△OAB 但△OAB是△SAB在底面的射影，不可能.‎ ‎∴应选D.‎ 例9 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA= 90°，点D1 、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余 弦值是( )‎ A. B. C. D.. ‎ 解：设BC=CA=CC1=1.取BC中点E，连结EF、D1F，则EF∥BD1∠EFA为BD1和AF所成的角.‎ 易知FE=D1B= ==.‎ 由∠BCA=90°，得AE=＝=.‎ AF= ==‎ 由余弦定理有cos∠EFA= =‎ ‎ = 即BD1和AF1成角的余弦值是.应选A.‎ 例10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )‎ A.必然都是非直角三角形B.至多只能有一个是直角三角形 C.至多只能有二个直角三角形D.可能都是直角三角形 解：如图，三棱锥P—ABC中，∠ABC=90°，PA⊥面ABC.‎ 则PA⊥AC，PA⊥AB，△PAC和△PAB都是直角三角形.又∠ACB=90°，即AC⊥BC，‎ ‎∴PC⊥CB，即∠PCB=90°，∴△PCB也是直角三角形.应选D.‎ 例11 侧棱长为3cm，底面边长为4cm的正四棱锥的体积为_______cm3.‎ 解：由已知有底面对角线长为4cm.h==1(cm)V=·h·S=×１×４２= (cm)3‎ 例12 已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′=5，AB=12，那么直 线B′C′和平面A′BCD′的距离是_________.‎ 解：如 图 ‎∵B′C′∥BC，B′C′面A′C，BC面AC，∴B′C′∥面A′C.‎ ‎∴点B到平面A′BCD′的距离即直线B′C′到平面A′BCD′的距离.‎ 作B′H⊥A′B于H，又CB⊥面A′ABB′，B′H面A′ABB′，B′H面A′B，所 以B′H⊥CB，从而B′H⊥平面A′BCD′.∵B′H·A′B=B′A′·B′B，‎ ‎∴B′H===即直线B′C′到平面A′BCD′的距离是.‎ ‎(二)旋转体 例13 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R， 中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )A.10 B‎.15 C.20 D.25解D.‎ 例14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面积是( )A.20π B.25π C.50π D.200 π 解：设长方体的对角线长为l，球半径为R，由已知及对称性知l=2R,‎ l==5，得R=.∴S球=4πR2=50π应选C.‎ 例15 若母线长为4的圆锥的轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为_____(结果中保留).‎ 解：设轴截面为△SAB，则SA=SB=4,S△SAB=8=SA·SB·sin∠SBA，得sin∠ASB=1，‎ ‎∴∠ASB=90°，AB=SA=4,‎ ‎∴S侧=πrl=π()·SA=π·2·4=8π.‎ 例16 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体 积是16πcm3，那么它的底半径等于( )A.4cm B‎.4cm C.2·cm D‎.2cm 解：16π=πr2·(2r)=2πr3，得r=2(cm)应选D.‎ 例17 圆柱轴截面的周长1为定值，那么圆柱体积的最 大值是( )‎ A.()3π B.()3π C.()3π D. ()3π 解：设r为底半径，l为母线.‎ 由4r+2l=1，得l=V=πr‎2l=π(2r)(2r)(‎2l)≤π()3‎ ‎=π·()3=π·()3=()3 π.等号仅当2r=‎2l即r=l=时成立.应选A.‎ 例18 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥 顶点到 直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________.‎ 解：如图 O为底面圆心，OC⊥AB于C.由OA=OB得C为AB中点，由SA=SB，C为AB中点得SC⊥AB于C.‎ ‎∴OC=1,SC=,AC=CB=1, SO===，‎ ‎ OB= = .∴V=π·OB2·SO= π()2=π.‎ 例19 在一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边 长为10厘米的等边三角 形，现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.1元，则需要费 用_____元(π取3.2).‎ 解：设圆锥的底半径为r,由已知有r=5cm,母线长为10cm.‎ S全=π·52+π·5·10=75π240(cm2)∴工料价为240×0.1=24元.‎ 例20 圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240°，该 圆锥的体积是( )‎ A.π B.π C. π D. π 解：设圆锥底半径为r，由已知有240°=π=，得r= .‎ ‎∴h=＝=.∴V=πr2h=π()2·=π应选C.‎ ‎(三)综合题赏析 例21 如图，平面α和β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上， 点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN =45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1.‎ 求：(1)点A到平面β的距离；‎ ‎ (2)二面角A—BC—M的大小.‎ 解：(1)作AH⊥平面β于H，HD⊥MN于D，连结AD，则AD⊥MN于D，故∠ADH是二面角A—MN—B 的平面角，所以∠ADH=60°.‎ 在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=90°，∴AD=AC=·1=.‎ 在Rt△ADH中，AH=AD·sin∠ADH=·sin60°即点A到平面β的距离是，‎ ‎(2)设二面角A—BC—M为θ度，在等腰Rt△ADC中，由斜边AC=1，得DC=AD=‎ 在Rt△ADH中，DH= =在Rt△DHC中，HC= =‎ 作HE⊥直线BC于E，则∠AEH是二面角A—BC—M的平面角.‎ ‎∵∠HCB =180°-(∠HCD+∠BCN)=180°-∠HCD-45°，‎ ‎∴sin∠HCE=sin(45°+∠HCD)=(sin∠HCD+cos∠HCD)==‎ ‎∴HE=HC·sin∠HCE=∴tg∠AEH==.即θ=arctg为所求.‎ 例22 如图，ABCD是边长为4的 正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直平面ABCD，GC=2.‎ 求点B到平面EFG的距离.‎ 解：连GB、GE、GF、FE、FB，设点B到面EFG的距离为d.‎ ‎∵VB—EFG=dS△GFE. VB—EFG=VG-BEF=×GCS△BEF=Ｓ△BEF ‎∴d==S△BEF=Ｓ△ABF=(AF·AB)=2, ‎ 在△EFG中，GF=GE==2,EF=2,故它的周长之 半P=(EF+FG+GE)=2+2‎ ‎∴S△EFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2‎ ‎∴d==.即点B到平面EFG的距离是2‎ 例23 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1,AA1=,M是CC１的中点.‎ 求证：AB1⊥A1M 证明：由题设知B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C∴B1C1⊥侧面A1ACC1.‎ 连C1A，则C1A是B1A在面A1ACC1上的射影.设AC1与A1M交于点D. 在Rt△A1B1C1中，B1C1=1,∠B1A1C1=∠BAC=30°，得A1 C1= .∴＝=‎ 在Rt△A1C1M中，==∴＝，又∠AA1C1=∠A1C1M=90°，‎ ‎∴△AA1C1∽△A1C1M,得∠3=∠4由 AA1∥CC1，得∠1=∠2，∴∠C1DM=∠C1A1A＝90°，∴AC1⊥A1M.‎ 由三垂线定理，得AB1⊥A‎1M.‎ 例24 如图，圆锥的轴截面为 等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点.‎ ‎(1)若QB 的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；‎ ‎(2)如果∠AOQ=60°，QB=2，求此圆锥的体积；‎ ‎(3)如果二面角A—SB—Q的大小为arctg，求∠ AOQ的大小.‎ 解：(1)连OC.∵SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，得OB⊥面SOC.‎ ‎∵OH面SOC，得QB⊥OH，又OH⊥SC，∴OH⊥面SQB.‎ ‎(2)连AQ.∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，∴AQ⊥QB在Rt△AQB中，∠QBA=30°，QB=2‎ ‎∴AB==4∵△SAB是等腰直角三角形.∴SO=AB=2，∴V圆锥=π·OA2·SO=π ‎(3)过Q作QM⊥AB于M.由于面SAB⊥面ABQ，得QM⊥面SAB.作MP⊥SB于P，连PQ，则由三垂线定理知QP⊥SB.∴∠MPQ是二面角A—SB—Q的平面角.∠MPQ=arctg为已知，设圆锥底半径为r,∠AOQ=α，‎ 在Rt△MPB中，∠PBM=45°，MB=r(1+cosα)，∴MP=r(1+cosα)∵tg∠MPQ=，‎ ‎∴=,即=.即tg=，故∠AOQ=60°‎ 例25 如图，A1B1C1— ABC是正三棱柱，D是AC中点.‎ ‎(1)证明AB1∥平面DBC1；‎ ‎(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱、以DBC1与CBC1为面的二面角α 的度数.‎ 证明：(1)由于A1B1C1—ABC是正三棱柱，故四边形B1BCC1是矩形连B1C交BC1于E，则B1E=EC,连DE.在△AB1C中，AD=DC，得DE∥AB1．又AB1面DBC1，DE面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.‎ ‎(2)作DF⊥BC于F，则DF⊥面B1BCC1；连EF，则EF是ED在面B1BCC1上的射影.‎ ‎∵AB1⊥B1C1，又由(1)知，AB1∥DE，∴DE⊥BC1，从而BC1⊥EF ‎∴∠DEF是二面角α的平面角.设AC=1,则DC=.∵△ABC是正三角形.‎ ‎∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，CF=DC·cosC=.‎ 取BC中点G，因BE=EC，故EG⊥BC.在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC-FC=,GF=.‎ ‎∴EF2=·，得EF=∴tg∠DEF===1.∠DEF=45°‎ 即二面角α为45°.‎ 例26 如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,PA⊥面ABCD,PA=a求:(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)：(2)点A到平面PBC的距离.‎ 解：(1)作AE⊥直线CD于E连PE.由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD.‎ ‎∴∠PEA是二面角P—CD—A的平面角.在Rt△AED中,AD=3a,∠ADE=arcsin.‎ ‎∴AE=AD·sin∠ADE=a在Rt△PAE,中tg∠PEA==.∴∠PEA=arctg 即二面角P—CD—A的大小为arctg.‎ ‎(2)作AH⊥PB于H由PA⊥面ABCD,得PB⊥BC.又AB⊥BC,得BC⊥面PAB得BC⊥AH ‎∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离在等腰Rt△PAB中,AH=a.‎ ‎∴点A到平面PBC的距离是a 例27 如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=2、BC=3，P为 斜边AB上一点，现沿C P将此直三角形析成直二面角A—PC—B，AB=，求二面角P—AC—B的大小.‎ 解：由已知A—CP—B是直二面角，作BD⊥CP于D，则BD⊥平面ACP作DE⊥AC于E，则BE⊥AC， ∠BED是二面角P—AC—B的平面角.作AF⊥DC于F，连BF，则∠AFB=.设∠ACP=α，则∠BCP=-α，在Rt△AFB中AB2=AF2+FB2=AF2+DB2+DF2=7∵AF=2sinα,CF=2cosαBD=3sin(90°-α)-3cosαCD=3sin(90°-α)-3cosαDF=CD-CF=3sinα-2cosα∴(2sinα)2+(3cosα)2+(3sinα-2cosα )2=7解得α=.在Rt△BED中DE=CD·sinα=3sin2α=.tg∠BED==.∴∠BED=arctg即二面角P—AC—B的大小是arctg 例28 设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求：‎ ‎(1)顶点S到底面的距离；‎ ‎(2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)；‎ ‎(3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示)；‎ 解：如图 ‎(1)作SO⊥底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O为底面△ABC的外心，‎ 又△ABC为直角三角形，故O为斜边AC的中点.‎ ‎∴SO===12.即顶点S到底面的距离是12.‎ ‎(2)∠SOB是SB与底面ABC所成的角.∠COB=arcsin=arcsin ‎(3)作AD⊥SB于D，连结CD.∵SB⊥AD,SB⊥AC.∴SB⊥平面ADC∴CD⊥SB,∠ADC是二面角A—SB—C的平面角.‎ 易得 AB=BC=5AD=DC=‎ ‎∴∠ADC=arccos(-)‎ 即二面角A—SB—C的大小是arccos(-).‎ 例29 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=5.‎ AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=.‎ ‎(1)求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积V.‎ 解：(1)连A1O，则A1O⊥底面，作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，连AM，AN，A O，由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD 又∠A1AM=∠A1AN.‎ ‎∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N,得OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上(2)V=30 ‎ 用等体积法解点到面的距离和体积立几题 ‎ 立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立体几何题需要我们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起感觉到很困难很麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩。纵观近年的高考,我们不难发现，在立体几何的考试中，经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处。‎ （一） 用等体积法求点到平面的距离 ‎ A A1‎ B D E C B1‎ C1‎ D1‎ ‎ 【2005赣文（理）20】如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，‎ 点E在棱AB上移动．‎ (1) 证明：D1E⊥A1D　；‎ (2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离；‎ (3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．‎ ‎(1)，（3）略．‎ ‎（２）解：设点Ｅ到平面ＡＣD1的距离为h，在ΔＡＣD1中，ＡD1＝，‎ ＡＣ＝ＣD1＝，故＝＝， 而＝＝． ∵　 ∴　　∴h=．‎ ‎【04年文（21）理（20）】如图，已知四棱锥P—ABCD ，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。‎ ‎（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小。‎ P B C D E A ‎（Ⅰ）解：取AD的中点E，连结PE，BE。‎ ‎∵ΔPAD为等边三角形 ∴PE⊥AD 又∵PB⊥AD ‎ ‎∴AD⊥平面PBE ∴AD⊥BE ∴ ∠PEB为平面PAD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。‎ 设点P到平面ABCD的距离为h, ∵VP—ABE= VA—PBE ‎ ‎∴h= ==PEsin120°= ‎ 所以点P到平面ABCD的距离为。（Ⅱ）略。‎ 评：本题巧妙地借助二面角PEB所在平面与棱AD的垂直关系构造了三棱锥P—AEB，从 而避免了直接作P到平面ABCD的距离而求。 ‎ ‎（二）用等体积法求锥体体积 ‎【01年春北京、安徽19】如图，已知VC是ΔABC所在平面的一条斜线,点N是V在平面ABC上的射影，且在ΔABC的高CD上。AB=a,VC与AB之间的距离为h，点M∈VC。‎ ‎（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；‎ ‎（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；‎ A B C D M N V ‎（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=θ（0＜θ＜），求四面体MABC的体积。‎ ‎（Ⅰ）、（Ⅱ）略。‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）知AB⊥平面MDC,MD为VC与AB之间的 距离，即MD=h，∵∠MDC=θ， 由（Ⅱ）知MC⊥MD ∴MC=htanθ ‎∴SΔMCD=MDMC=h htanθ ‎ ∴VMABC= VA—MCD +VB—MCD=S△MCD●AB=a h htanθ=ah2tanθ 所以四面体MABC的体积是ah2tanθ 评：本题巧妙地借助了棱AB与二面角∠MDC所在平面垂直关系构造了三棱锥 A—CD及三棱B—CDM，从而避免了直接求ΔABC的面积及底面ABC上的高。‎ ‎【99年文（22）理（21）】如图，已知正四棱柱ABCD—A1 B‎1 C1 D1，点E在棱DD1‎ 上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成角为45°，AB=a。‎ ‎（Ⅰ）求截面EAC的面积；（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；‎ O A C A1‎ D B E D1‎ B1‎ C1‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥B1—EAC的体积。‎ 解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略。‎ ‎（Ⅲ）连结BD交AC于O，连结B1O。由（Ⅰ）可知 AO⊥平面B1BDD1且ΔAOE≌ΔCOE ,LAO=CO=a ,‎ AO为三棱锥A—EOB1的高,又∵SΔEOB= S矩形BDDB ‎－ SΔEOD－SΔBOB－ SΔEDB =a ‎ ∴VB1—EAC=2VA—EOB =‎2‎aa=a 所以三棱锥B1—EAC的体积是a。‎ 评：本题巧妙地借助了AC与平面B1BDD1所在平面垂直的关系构造了三棱锥A—EOB1及三棱锥C—EOB1，从而避免了直接求平面AEC上的高。‎ 通过以上4道高考题的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。‎ ‎ ‎ ‎ ‎