2019-2020学年高中数学课时作业20离散型随机变量的均值一北师大版选修2-3

2019-2020学年高中数学课时作业20离散型随机变量的均值一北师大版选修2-3

课时作业(二十)‎ ‎1．设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝(　　)‎ ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ a b ‎0.1‎ A.0.2　　　　　‎‎　　　　 B．0.1‎ C．－0.2 D．－0.4‎ 答案　C 解析　由分布列性质，得0.1＋a＋b＋0.1＝1. ①‎ 由期望公式可得0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，‎ 即a＋2b＝1.3. ②‎ 由①，②可得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.‎ ‎2．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝(　　)‎ A．45 B．40‎ C．30 D．15‎ 答案　A ‎3．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　)‎ A．无法求 B．0‎ C．E(X) D．2E(X)‎ 答案　B ‎4．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为(　　)‎ A．15 B．10‎ C．20 D．5‎ 答案　B 解析　次品率为P＝＝，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E(X)＝np＝150×＝10.‎ ‎5．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，)，则E(－X)的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 5‎ 答案　D 解析　∵X～B(5，)，∴E(X)＝5×＝.∴E(－X)＝－E(X)＝－.‎ ‎6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为(　　)‎ A．0.765 B．1.75‎ C．1.765 D．0.22‎ 答案　B 解析　当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；‎ 当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.‎ 当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.‎ ‎∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.‎ ‎7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 B．200‎ C．300 D．400‎ 答案　B 解析　记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.‎ ‎8．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C300k·()k·()300－k(k＝0，1，2，…，300)，则E(ξ)＝________．‎ 答案　100‎ 解析　由P(ξ＝k)＝C300k()k()300－k，可知ξ～B(300，)．∴E(ξ)＝300×＝100.‎ ‎9．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖．‎ 答案　二 解析　选对题的个数X～B(30，0.8)，所以E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能拿到二等奖．‎ ‎10．马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 5‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．‎ 答案　2‎ 解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.‎ 又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.‎ ‎11．设p为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P －p p 则E(X)的最大值为________．‎ 答案　 解析　由表可得从而得p∈[0，]，期望值E(X)＝0·(－p)＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.‎ ‎12．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲单独解出该题的概率为，乙单独解出该题的概率为，设解出该题的人数为X，求E(X)．‎ 解析　记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝P()P()＝(1－)(1－)＝，‎ P(X＝1)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝，‎ P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝×＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎13．英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．‎ 解析　设甲和乙不会的题得分分别为随机变量ξ和η.‎ 由题意知ξ～B(80，0.25)，η～B(20，0.25)，‎ 5‎ 故E(ξ)＝80×0.25＝20，E(η)＝20×0.25＝5.‎ 于是E(ξ＋20)＝E(ξ)＋20＝40，‎ E(η＋80)＝E(η)＋80＝85.‎ 故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为40分和85分．‎ 点评　会判断随机变量是否服从两点分布、二项分布．若服从，则直接求均值即可，不必再列出分布列．‎ ‎14．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ 解析　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73－k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，‎ 而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，‎ P(A3)＝P(X＝3)＝，‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎15．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.‎ ‎(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ 解析　(1)设这名学生路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ 5‎ 所以事件A的概率为 P(A)＝(1－)×(1－)×＝.‎ ‎(2)由题意可得，ξ可能取的值为0，2，4，6，8(单位：min)，事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k＝0，1，2，3，4)，所以P(ξ＝2k)＝C4k()k()4－k(k＝0，1，2，3，4)，‎ 即ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P 所以ξ的期望是 E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.‎ 设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.‎ ‎(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．‎ 解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．‎ 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)．‎ ‎(2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，‎ 所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，‎ 且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.‎ 故ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.‎ 5‎