2021高考数学一轮复习课时作业55几何概型文
课时作业55 几何概型
[基础达标]
一、选择题
1.[2020·武汉调研]在长为16 cm的线段MN上任取一点P,以MP、NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:本题考查几何概型.设MP=x,则NP=16-x,由x(16-x)>60,解得6<x<10,所以所求概率P==,故选A.
答案:A
2.
如图所示,矩形ABCD中,点E为边AB的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析:点Q取自△AED或△BEC内部的概率P==.故选A.
答案:A
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B.1-
C. D.1-
解析:点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大于1”为事件M,则P(M)==1-.
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答案:B
4.
[2020·河北九校联考]如图,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300颗黄豆,落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为( )
A.16.32 B.15.32
C.8.68 D.7.68
解析:由题意,可估计椭圆的面积为×6×4=16.32.故选A.
答案:A
5.[2020·福建泉州泉港一中测试]若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中,且1路公交车每10分钟一趟,2路公交车每20分钟一趟,则某学生去坐这2趟公交车回家,等车不超过5分钟的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:
设1路公交车到达的时间为x,2路公交车到达的时间为y.(x,y)可以看成平面上的点,则可设Ω={(x,y)|0≤x≤10且0≤y≤20},表示的是一个长方形区域,如图,其面积S=10×20=200.若某学生等车时间不超过5分钟,则其构成的平面区域为图中的阴影部分,面积S′=125,故所求概率P===,故选C.
答案:C
二、填空题
6.向面积为S的△ABC内任意投掷一点P,则△PBC的面积小于的概率为________.
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解析:∵S△PBC
0,函数y=kx+b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k,b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴),其面积是S1==,符合限制条件的(k,b)对应的平面区域如图中的三角形BOC,其面积是S2=,故所求概率P==.
10.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
解析:(1)依题意共有(n+2)个小球,则从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为=,
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∴n=2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,
故P(A)==.
②易知(a-b)2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,
则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},
由几何概型得概率P==1-.
[能力挑战]
11.[2020·福州四校联考]如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC,则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:
记事件T是“作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”,如图,记的三等分点为M,N,连接OM,ON,则∠AON=∠BOM=∠MON=30°,则符合条件的射线OC应落在扇形MON中,所以P(T)===,故选A.
答案:A
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12.
[2020·黑龙江齐齐哈尔检测]随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标,该图标共分为三部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,则此点取自图标第三部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:图标第一部分的面积为8×3×1=24,图标第二部分的面积和第三部分的面积和为π×32=9π,图标第三部分的面积为π×22=4π,故此点取自图标第三部分的概率为,故选B.
答案:B
13.
[2020·湖南株洲联考]如图,三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影部分).设直角三角形有一内角为30°,若向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计),则落在小正方形(阴影部分)内的米粒数大约为(≈1.732)( )
A.134 B.866
C.300 D.500
解析:设大正方形的边长为2x,则小正方形的边长为x-x,向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计),设落在小正方形(阴影部分)内的米粒数大约为a,则=,解得a=1 000×≈134.故选A.
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答案:A
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