2020年江苏省高考数学试卷【word版本；可编辑；含答案】

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‎2020年江苏省高考数学试卷 一、填空题 ‎1. 已知集合B=‎‎0,2,3‎，A=‎‎-1,0,1,2‎，则A∩B=‎________.‎ ‎2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2-i)‎的实部是________.‎ ‎3. 已知一组数据‎4‎，‎2a，‎3-a，‎5‎，‎6‎的平均数为‎4‎，则a的值是________.‎ ‎4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷‎2‎次，观察向上的点数，则点数和为‎5‎的概率是________.‎ ‎5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为‎-2‎，则输入x的值是________.‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎5‎=1‎a>0‎的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x，则该双曲线的离心率是________.‎ ‎7. 已知y=f(x)‎是奇函数，当x≥0‎时，f(x)=‎x‎2‎‎3‎，则f(-8)‎的值是________.‎ ‎8. 已知sin‎2‎‎(π‎4‎+α)=‎‎2‎‎3‎，则sin2α的值是________.‎ ‎9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为‎2cm，高为‎2cm，内孔半径为‎0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm‎2‎.‎ ‎10. 将函数y=3sin‎2x+‎π‎4‎的图象向右平移π‎6‎个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.‎ ‎11. 设‎{an}‎是公差为d的等差数列，‎{bn}‎是公比为q的等比数列.已知‎{an+bn}‎的前n项和Sn‎=n‎2‎-n+‎2‎n-1(n∈N‎*‎)‎，则d+q的值是________.‎ ‎12. 已知‎5x‎2‎y‎2‎+y‎4‎=1(x,y∈R)‎，则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值是________.‎ ‎13. 在‎△ABC中，AB=4‎， AC=3‎， ‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9‎.若PA‎→‎‎=mPB‎→‎+(‎3‎‎2‎-m)PC‎→‎(m为常数），则CD的长度是________.‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中，已知P‎3‎‎2‎‎,0‎，A、B是圆C:x‎2‎+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎=36‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 上的两个动点，满足PA=PB，则‎△PAB面积的最大值是________.‎ 二、解答题 ‎15. 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中， AB⊥AC，B‎1‎C⊥‎平面ABC，E，F分别是AC，B‎1‎C的中点．‎ ‎(1)‎求证： EF//‎平面ABC‎1‎；‎ ‎(2)‎求证：平面AB‎1‎C⊥‎平面ABB‎1‎.‎ ‎16. 在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3‎ ，c=‎‎2‎ ，‎∠B=‎‎45‎‎∘‎.‎ ‎(1)‎求sinC的值；‎ ‎(2)‎在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=-‎‎4‎‎5‎，求tan∠DAC的值.‎ ‎17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行， OO‎'‎为铅垂线（O‎'‎在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h‎1‎（米）与D到OO‎'‎的距离a（米）之间满足关系式h‎1‎‎=‎‎1‎‎40‎a‎2‎；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h‎2‎ （米）与F到OO‎'‎的距离b（米）之间满足关系式h‎2‎‎=-‎1‎‎800‎b‎3‎+6b．已知点B到OO‎'‎的距离为‎40‎米．‎ ‎(1)‎求桥AB的长度；‎ ‎(2)‎计划在谷底两侧建造平行于OO‎'‎的桥墩CD和EF. 且CE为‎80‎米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价‎3‎‎2‎k（万元）k>0‎，问O‎'‎E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF‎2‎⊥‎F‎1‎F‎2‎，直线AF‎1‎与椭圆E相交于另一点B．‎ ‎(1)‎求‎△AF‎1‎F‎2‎的周长；‎ ‎(2)‎在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP‎→‎‎⋅‎QP‎→‎的最小值；‎ ‎(3)‎设点M在椭圆E上，记‎△OAB与‎△MAB的面积分别为S‎1‎，S‎2‎，若S‎2‎‎=3‎S‎1‎，求点M的坐标．‎ ‎19. 已知关于x的函数y=fx ，y=gx与hx=kx+bk,b∈R在区间D上恒有fx≥hx≥gx.‎ ‎(1)‎若fx=x‎2‎+2x，gx=-x‎2‎+2x，D=‎‎-∞,+∞‎，求hx的表达式；‎ ‎(2)‎若fx=x‎2‎-x+1‎，gx=klnx，hx=kx-k，D=‎‎0,+∞‎，求k的取值范围；‎ ‎(3)‎若fx=x‎4‎-2‎x‎2‎，gx=4x‎2‎-8‎，hx=4t‎3‎‎-tx-3t‎4‎+2‎t‎2‎‎0<|t|≤‎‎2‎，D=m,n⊂‎‎-‎2‎,‎‎2‎，求证：n-m≤‎‎7‎.‎ ‎20. 已知数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎的首项a‎1‎‎=1‎，前n项和为Sn.设λ和k为常数，若对一切正整数n，均有Sn+1‎‎1‎k‎-Sn‎1‎k=λan+1‎‎1‎k成立，则称此数列为“λ-k”数列.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(1)‎若等差数列是“λ-1‎”数列，求λ的值；‎ ‎(2)‎若数列‎{an}‎是“‎3‎‎3‎‎-2‎”数列，且an‎>0‎，求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎(3)‎对于给定的λ，是否存在三个不同的数列‎{an}‎为“λ-3‎”数列，且an‎≥0‎？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎2020年江苏省高考数学试卷 一、填空题 ‎1.‎‎0,2‎ ‎2.‎‎3‎ ‎3.‎‎2‎ ‎4.‎‎1‎‎9‎ ‎5.‎‎-3‎ ‎6.‎‎3‎‎2‎ ‎7.‎‎-4‎ ‎8.‎‎1‎‎3‎ ‎9.‎‎12‎3‎-‎π‎2‎ ‎10.‎x=-‎‎5π‎24‎ ‎11.‎‎4‎ ‎12.‎‎4‎‎5‎ ‎13.‎‎18‎‎5‎ ‎14. ‎‎10‎‎5‎ 二、解答题 ‎15.证明：‎(1)‎因为E，F分别是AC，B‎1‎C的中点，‎ 所以EF//AB‎1‎.‎ 因为EF⊄‎平面AB‎1‎C‎1‎，AB‎1‎⊂‎平面ABC‎1‎，‎ 所以EF//‎平面ABC‎1‎.‎ ‎(2)‎因为B‎1‎C⊥‎平面ABC， AB⊂‎面ABC，‎ 所以B‎1‎C⊥AB，‎ 又因为AB⊥AC， AC∩B‎1‎C=C，AC⊂‎面AB‎1‎C，B‎1‎C⊂‎面AB‎1‎C，‎ 所以AB⊥‎面AB‎1‎C，‎ 因为AB⊂‎面ABB‎1‎，‎ 所以平面AB‎1‎C⊥‎平面ABB‎1‎.‎ ‎16.解：‎(1)‎由余弦定理，得cosB=cos‎45‎‎∘‎=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=‎11-‎b‎2‎‎6‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎，‎ 因此b‎2‎‎=5‎，即b=‎‎5‎.‎ 由正弦定理csinC‎=‎bsinB，得 ‎2‎sinC‎=‎‎5‎‎2‎‎2‎，‎ 因此sinC=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)‎因为cos∠ADC=-‎‎4‎‎5‎ ，所以sin∠ADC=‎1-cos‎2‎∠ADC=‎‎3‎‎5‎，‎ 因为‎∠ADC∈‎π‎2‎‎, π，所以C∈(0, π‎2‎)‎，‎ 所以cosC=‎1-sin‎2‎∠C=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC ‎=‎‎2‎‎5‎‎25‎‎.‎ 因为‎∠DAC∈(0, π‎2‎)‎，‎ 所以cos∠DAC=‎1-sin‎2‎∠DAC=‎‎11‎‎5‎‎25‎，‎ 故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC=‎‎2‎‎11‎ .‎ ‎17.解：‎(1)‎过A，B分别作MN的垂线，垂足为A‎1‎，B‎1‎，‎ 则AA‎1‎=BB‎1‎=-‎1‎‎800‎×‎40‎‎3‎+6×40=160‎.‎ 令‎1‎‎40‎a‎2‎‎=160‎，得a=80‎，‎ 所以AO‎'‎=80‎，‎ AB=AO‎'‎+BO‎'‎=80+40=120‎‎(米).‎ 故桥AB的长度为‎120‎米.‎ ‎(2)‎设O‎'‎E=x，则CO‎'‎=80-x，‎ 由‎00‎，所以令y‎'‎‎=0‎，得x=0‎或‎20‎，‎ 所以当‎00‎，y单调递增，‎ 所以，当x=20‎时，y取最小值‎155k，此时造价最低．‎ 答： O‎'‎E为‎20‎米时，桥墩CD与EF的总造价最低．‎ ‎18.解：‎(1)‎由题意知，‎△AF‎1‎F‎2‎的周长l=2a+2c=6‎.‎ ‎(2)‎由椭圆方程得A‎1,‎‎3‎‎2‎，‎ 设点Pt,0‎，则直线AP方程为y=‎‎3‎‎2‎‎1-tx-t.‎ 令x=a‎2‎c=4‎，得yQ‎=‎‎6-‎3‎‎2‎t‎1-t，‎ 即Q(4,‎12-3t‎2-2t)‎，则QP‎→‎‎=‎t-4,‎‎12-3t‎2t-2‎，‎ 所以OP‎→‎‎⋅QP‎→‎=t‎2‎-4t=t-2‎‎2‎-4≥-4‎，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 即OF‎→‎‎⋅‎QP‎→‎的最小值为‎-4‎.‎ ‎(3)‎设O到直线AB的距离为d‎1‎，M到直线AB的距离为d‎2‎.‎ 若S‎2‎‎=3‎S‎1‎，则‎1‎‎2‎‎×|AB|×d‎2‎=‎1‎‎2‎×|AB|×d‎1‎×3‎，‎ 即d‎2‎‎=3‎d‎1‎.‎ 由题意可得直线AB方程为y=‎‎3‎‎4‎x+1‎，即‎3x-4y+3=0‎，‎ 所以d‎1‎‎=‎3‎‎5‎,d‎2‎=‎‎9‎‎5‎.‎ 由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为‎9‎‎5‎的直线与椭圆的交点.‎ 设平行于AB的直线l为‎3x-4y+m=0‎，与直线AB的距离为‎9‎‎5‎，‎ 所以‎|m-3|‎‎9+16‎‎=‎‎9‎‎5‎，即m=-6‎或‎12‎．‎ 当m=-6‎时，直线l为‎3x-4y-6=0‎，即y=‎‎3‎‎4‎x-2‎.‎ 联立y=‎3‎‎4‎(x-2),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎可得‎(x-2)(7x+2)=0‎，‎ 即xM‎=2,‎yM‎=0,‎或xM‎=-‎2‎‎7‎,‎yM‎=-‎12‎‎7‎,‎ 所以M(2,0)‎或‎(-‎2‎‎7‎,-‎12‎‎7‎)‎.‎ 当m=12‎时，直线l为‎3x-4y+12=0‎，即y=‎‎3‎‎4‎x+4‎.‎ 联立y=‎3‎‎4‎(x+4),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎可得‎21‎‎4‎x‎2‎‎+18x+24=0‎，‎ Δ=9×(36-56)<0‎‎，所以无解．‎ 综上所述，M点坐标为‎2,0‎或‎-‎2‎‎7‎,-‎‎12‎‎7‎.‎ ‎19.‎(1)‎解：由fx=gx，得x=0‎,‎ f‎'‎x‎=2x+2‎‎，g‎'‎x‎=-2x+2‎，‎ 所以f‎'‎‎0‎‎=g‎'‎‎0‎=2‎，‎ 所以，函数hx的图像为过原点，斜率为‎2‎的直线，‎ 所以hx=2x，‎ 经检验：hx=2x符合题意.‎ ‎(2)‎解：hx-gx=kx-1-lnx，‎ 设φx=x-1-lnx，‎ 则φ‎'‎x‎=1-‎1‎x=‎x-1‎x，‎ 可得φx≥φ‎1‎=0‎，‎ 所以当hx-gx≥0‎时， k≥0‎.‎ 令p(x)=fx-hx=x‎2‎-x+1-‎kx-k ‎=x‎2‎-k+1‎x+‎1+k≥0‎‎，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 得当x=k+1≤0‎时，‎ fx在‎0,+∞‎上递增，‎ 所以px>p‎0‎=1+k≥0‎，‎ 所以k=-1‎；‎ 当k+1>0‎时， Δ≤0‎，‎ 即k+1‎‎2‎‎-4k+1‎≤0‎，‎ k+1‎k-3‎‎≤0‎‎，‎ ‎-10‎，‎ 令pn‎=(Sn+1‎Sn‎)‎‎1‎‎3‎>0‎，‎ 则‎(1-λ‎3‎)pn‎3‎-3pn‎2‎+3pn-(1-λ‎3‎)=0‎，‎ λ=1‎时，pn‎=‎pn‎2‎，由pn‎>0‎可得pn‎=1‎，‎ 则Sn+1‎‎=‎Sn，即an+1‎‎=0‎，‎ 此时‎{an}‎唯一，不存在三个不同的数列‎{an}‎；‎ λ≠1‎时，令t=‎‎3‎‎1-‎λ‎3‎，‎ 则pn‎3‎‎-tpn‎2‎+tpn-1=0‎，‎ 则‎(pn-1)[pn‎2‎+(1-t)pn+1]=0‎，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎①t≤1‎时，pn‎2‎‎+(1-t)pn+1>0‎，‎ 则pn‎=1‎，同理不存在三个不同的数列‎{an}‎；‎ ‎②‎13‎即‎0<λ<1‎时，Δ=(1-t‎)‎‎2‎-4>0‎，‎ pn‎2‎‎+(1-t)pn+1=0‎有两解α，β.‎ 设α<β，‎ α+β=t-1>2‎‎，αβ=1>0‎，‎ 则‎0<α<1<β，‎ 则对任意n∈‎N‎*‎，Sn+1‎Sn‎=1‎或Sn+1‎Sn‎=‎α‎3‎或Sn+1‎Sn‎=‎β‎3‎，‎ 此时Sn‎=1‎，Sn‎=‎‎1，n=1，‎α‎3‎‎，n≥2‎，Sn‎=‎‎1,n=1,2‎β‎3‎‎，n≥3‎均符合条件，‎ 对应an‎=‎‎1,n=1,‎‎0,n≥2‎，an‎=‎‎1,n=1,‎α‎3‎‎-1,n=2,‎‎0,n≥3‎，‎an‎=‎‎1,n=1,‎β‎3‎‎-1,n=3,‎‎0,n=2,n≥4,‎ 则存在三个不同的数列‎{an}‎为“λ-3‎”数列，且an‎≥0‎.‎ 综上，‎0<λ<1‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页