2014年版高考数学理11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题目举例二轮考点专练
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
一、选择题
1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数满足则x>0时,f(x)（ ）
有极大值，无极小值 有极小值，无极大值
既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值
【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知，
由得,当时,
即,则当时,,
故在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.
2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同
已知函数 ，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的切线为制定参数的标准.
【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，，
，，故.
当时，，
由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.
3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同
设已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A.，
B.函数的图象是中心对称图形
C.若是的极小值点，则在区间单调递减
D.若是的极值点，则
【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.
A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0∈R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1
0, 单调递增,
因此g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.
②当a>0时,令=0,解得x=
因为,函数g(x)单调递增;
时，函数g(x)单调递减.
所以x=是函数g(x)的极大值点,则g>0,
即ln+1-1=-ln(2a)>0,
所以ln(2a)<0,
所以0<2a<1,即01×
7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）
A. B.
C. D.
【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断.
【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，，故在上也是单调递增的，由 知，所以，，因此。
8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【解题指南】当k=1,2时,分别验证f'(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.
【解析】选C.当k=1时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.
9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.
【解析】选B.因为f'(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f'(x)为增函数,x∈(0,1)时,f'(x)为减函数,所以选B.
10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）
已知曲线（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值.
【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得
二、填空题
11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.
【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为,解得.
【答案】.
12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_______.
【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.
【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，
而，.
得即，解得，.
故，
则
令，即，则或或.
当变化时，，的变化情况如下表：
故的最大值为.
【答案】16
三、解答题
13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数
（I）求；
（II）若
【解析】（I）当时，，
.
令，得，.
当时，，在是增函数；
当时，，在是减函数；
当时，，在是增函数.
（II）由得.
当，时，
，
所以在是增函数，于是当时，.
综上，的取值范围是.
14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数，，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+∞)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+∞)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.
【解析】(1)令,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g'(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时, >0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e.综上,有a∈(e,+∞).
(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令=ex-a>0,
解得alna,因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有lna≤-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.
(ii)当a<0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.
另外,当x>0时, ,故f(x)在
(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.
(iii)当00,当x>a-1时, <0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-lna-1.
①当-lna-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.
②当-lna-1>0,即00,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当
x∈(0,a-1)时,f'(x)=>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.
下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况,先证f()=a(a-2-)<0.为此,
我们要证明:当x>e时,ex>x2.设h(x)=ex-x2,则=ex-2x,再设 =ex-2x,则=ex-2.
当x>1时, =ex-2>e-2>0,所以在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时, =ex-2x> =e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当x>e时,ex>x2.
当0e时，f()=a(a-2-)<0,
又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1, ]上的图象连续,所以f(x)在(a-1, )上存在零点.又当x>a-1时,f'(x)= <0,
故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点.
综合(i),(ii),(iii)可知,当a≤0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,
当00}。
（Ⅰ）求l的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α)；
（Ⅱ）给定常数k ∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求l长度的最小值。
【解题指南】（1）求出方程的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。
【解析】（1）因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根
故f(x)>0的解集为{x|x10),
所以f(1)=1,f'(1)=-1,
所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)= ,x>0可知:
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;
因为x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数的周期为π,图象的一个对称中心为,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.
(2)是否存在,使得f(x0),g(x0),
f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.
(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在内恰有2 013个零点.
【解析】(1)由函数f(x)=sin(ωx+)的周期为π,ω>0,得ω=2,
又曲线y=f(x)的一个对称中心为,∈(0,π),
故,得=,所以f(x)=cos 2x.
将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin x.
(2)当x∈时, cos2x>sinxcos2x.
问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解,
设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x∈,
则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).
因为x∈,所以G′(x)>0,G(x)在内单调递增.
又，.
且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,
即存在唯一的满足题意.
(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,
当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程,x≠kπ(k∈Z),
现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程解的情况,
令,x∈(0,π)∪(π,2π),
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况, ,令h′(x)=0,得或.
当x变化时,h(x)和h′(x)变化情况如下表
当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,
当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,
当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,
当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞,
故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;
当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;
当-10, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(3) 设a 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。
由，
则 h(x)在
h(x).
所以对曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：
当m 时,有0个公共点；当m= 时,有1个公共点；当m 时有2个公共点.
(3)
令。
，
且
。
所以.
30.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)=ex-ln(x+m),
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
【解题指南】(1)求导，然后将代入导函数，求得，讨论分析导函数的符号，得单调性.
(2)求的最小值，证明最小值即可.
【解析】(1)因为，是的极值点，所以，解得所以函数，其定义域为，因为
设则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即，当时，，，所以在上是减函数，在上是增函数.
(2)当，时，，故只需证明当时，.
当时，函数在单调递增.
由，故在上有唯一实根，且.
当时，；当时，，从而当时，取得最小值.由得
故.
综上，当时，.
31. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ21）已知函数。
（1）求的极小值和极大值；
（2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。
【解题指南】（1）求导函数，令求极值点，列表求极值.
(2)设切线，表示出切线的方程，令得在轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围.
【解析】(1) ,令得或.
列表如下
0
（0,2）
2
0
0
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
函数的极小值为，极大值为＝.
(2)设切点为，则切线的斜率为
此时切线的方程为
令，得.
，
由已知和（1）得 ，则当t∈(0,+∞)时,h(t)的取值范围为；当t∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当x0∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,x的取值范围是(-∞,0)∪,综上,在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪.
32. （2013·辽宁高考文科·Ｔ21）
证明：当时，；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式
【解析】记，则．
当时，，
则在上是增函数，所以；
当时，，
则在上是减函数，
所以
故当时，，即；
记，则当时，
所以在上是减函数，则
即，
综上，当时，；
由可知，，
当时，
所以当时，，，不等式恒成立．
下面证明，当时，不等式不恒成立．
由可知，
则当时，
所以存在（例如取中较小者）满足
即当时，不等式不恒成立．
综上，实数的取值范围为
33.（2013·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数.当时，
求证：；
若恒成立，求实数的取值范围。
【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明，因而可以采用间接证明的方法——分析法；
【解析】证明：⑴要证时，
只需证
记
则
当时，
因此在上为增函数，
故
所以，；
⑵要证时，
只需证
记
则
当时，
因此在上为增函数，
故
所以，
综上可知， ，
即
由知，则有
设，则
记，则
当时，
从而在上为减函数，
于是当时，
故在上为减函数，
所以
从而
所以时，在上恒成立
下面证明当时，在上不恒成立。
由知，则有
记
则
由前所述，当时，
故在上为减函数，
于是
即
因为当时，
所以存在使得
此时
即当时，在上不恒成立。
综上，实数的取值范围为
34.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。
【解题指南】（Ⅰ）根据曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)可将P(0，2)分别代入到y＝f(x)和曲线y＝g(x)上，再利用在点P处有相同的切线y＝4x+2，对曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)进行求导，列出关于的方程组求解.
（Ⅱ）构造函数，然后求导，判断函数的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由已知得，，，.
而，.
故，，，.
从而，，，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
设，
则.
由题设可得，得.
令，即，得，.
（ⅰ）若，则，从而当时，
当时，，
即在单调递减，在单调递增，故在上有最小值为.
.
故当时，恒成立，即.
（ⅱ）若当，则，当时，，即在上单调递增，而,故当且仅当时，恒成立，即.
（ⅲ）若，则.
从而当时，不可能恒成立.
综上，的取值范围为.
35.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ20）已知函数，曲线在点处切线方程为
（Ⅰ）求，的值
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值
【解题指南】（Ⅰ）对函数求导，利用点处切线方程为知，求得，的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定函数解析式，并对求导，根据导函数判断函数的单调性，根据函数的单调性求出极值.
【解析】（Ⅰ）.由已知得，.
故，，从而，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
.
令，得或.
从而当时，；
当时，；
故在，单调递增，在单调递减.
当时，函数取得极大值，极大值为
36.（2013·四川高考理科·Ｔ21）已知函数其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．
（Ⅰ）指出函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．
【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象在点处的切线的斜率，结合已知求解的最小值，在第（Ⅲ）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.
【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(−¥,−1), 单调递增区间为(−1,0),(0,+¥).
(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,
所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=−1.
当x<0时,=2x+2
因为x10.
因此x2−x1=[−(2x1+2)+ 2x2+2]³=1,
当且仅当−(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=−,x2=−时等号成立.
所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2−x1的最小值为1.
(Ⅲ)当x1x1>0时, ¹, 所以x1<00时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−x2=(x−x2),即y=x+x2−1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0h(0)=−2−1,
所以a>−2−1,
又当x1Î(−1,0)且趋近于−1时, h(x1)无限增大,
所以a的取值范围是(−2−1,+¥).
故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围是(−2−1,+¥).
37.（2013·四川高考文科·Ｔ21） 已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且.
（Ⅰ）指出函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；
（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。
【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象在点处的切线的斜率，结合已知证明，在第（Ⅲ）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.
【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(−¥,−1), 单调递增区间为(−1,0),(0,+¥).
(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=−1.
当x<0时,对函数f(x)求导，得=2x+2
因为x10.
因此x2−x1=[−(2x1+2)+ 2x2+2]³=1,
当且仅当−(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=−且x2=−时等号成立.
所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有.
(Ⅲ) 当x1x1>0时, ¹, 故x1<00时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−x2=(x−x2),即y=x+x2−1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0h(2)=-ln2-1,
所以a>-ln2-1.
而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大.
所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞).
故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞).
38. （2013·天津高考文科·Ｔ20）
设, 已知函数
(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明
.
【解题指南】(Ⅰ) 利用导数分段证明在区间(－1,0)内单调递减, 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1, + ∞)内单调递增，且在x=0处不间断，进而得出结论.
(Ⅱ)由函数的单调性及切线平行得出的关系，通过构造函数及换元法转化为求最小值问题求解.
【证明】(Ⅰ) 设函数
①由从而当时，所以在区间内单调递减.
②由所以当01时,f2′(x)>0.即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
综合①，②及，可知函数在区间(-1,1)内单调递减，在区间(1, + ∞)内单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增. 因为曲线在点处的切线相互平行,从而互不相等，且f′(x1)=f'(x2)=f′(x3).
不妨设 由可得解得从而
设则由解得所以 设则因为，所以故即
39. （2013·天津高考理科·Ｔ20）已知函数.
(1) 求函数f(x)的单调区间;
(2) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.
(3) 设(2)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
【解题指南】(1) 求出函数的导数，利用导数确定函数f(x)的单调区间.
(2) 利用(1)的结论，首先确定t>0时，对应函数的定义域为，然后根据函数f(x)的单调性证明.
(3) 承接(2)通过换元法及函数的单调性进行证明.
【解析】(1)函数的定义域为.
令得
当x变化时，的变化情况如下表：
0
极小值
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)当时,
设,令,.由(1)知, 在区间内单调递增. 故存在唯一的, 使成立.
(3)因为, 由(2)知 ,且,从而
其中
要使成立,只需
当t>e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性知,t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.
所以s>e,即u>1,从而ln u>0成立.
另一方面，令令得当时，当时，故对，因此成立.
综上，当时, 有.
40.(2013·浙江高考理科·T22)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
【解题指南】(1)先确定f'(x),再求切线斜率f'(1),从而写出切线方程.
(2)当x∈[0,2]时,要分类讨论a取不同的值时,f(x)的单调性即f'(x)>0或f'(x)<0.
【解析】(1)由题意f'(x)=3x2-6x+3a,故f'(1)=3a-3,又f(1)=1,
所以所求切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.
(2)由于f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2,故
①当a≤0时,有f'(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a;
②当a≥1时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1;
③当01,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
【解题指南】(1)先求f'(x),再求f'(2),从而易求切线方程.(2)对a进行讨论,分析f(x)在闭区间[0,|2a|]上的单调性,从而求其最小值.
【解析】(1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,
所以f'(2)=6,
又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),
令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a,
当a>1时,
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
4a3
比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=
当时，
单调递减
极小值
单调递增
得，
综上所述，在闭区间上的最小值
42. （2013·重庆高考理科·Ｔ17）设，其中，曲线在点（1，）处的切线与轴相交于点（0,6）．
（Ⅰ）确定的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值．
【解题指南】直接根据曲线在（1，）处的切线过点（0,6）求出的值,直接求导得出函数的单调区间与极值.
【解析】（Ⅰ）因为,所以
令得,所以曲线在点（1，）处的切线方程为,因为点在切线上,所以,得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
令,解得
当或时, ,故在上为增函数;当时,
,故在上为减函数.
由此可知在处取得极大值,在处取得极小值.
43. （2013·重庆高考文科·Ｔ20）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．
【解题指南】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值.
【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面的总成本为元,底面的总成本为元,
所以蓄水池的总成本为元.又据题意,
所以,从而
因又由可得,故函数的定义域为.
（Ⅱ）因故令,解得
(因不在定义域内,舍去).
当时,,故在上为增函数, 当时,,故在上为减函数，由此可知, 在处取得最大值,此时即当时,该蓄水池的体积最大.
