2018中考数学分类汇编考点28圆的有关概念

2018中考数学分类汇编考点28圆的有关概念

‎2018中考数学试题分类汇编：考点28圆的有关概念 一．选择题（共26小题）‎ ‎1．（2018•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）‎ A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm ‎【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．‎ ‎【解答】解：连接AC，AO，‎ ‎∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，‎ ‎∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，‎ 当C点位置如图1所示时，‎ ‎∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，‎ ‎∴OM===3cm，‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=8cm，‎ ‎∴AC===4cm；‎ 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，‎ ‎∵OC=5cm，‎ ‎∴MC=5﹣3=2cm，‎ 在Rt△AMC中，AC===2cm．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•聊城）如图，⊙‎ O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）‎ A．25° B．27.5° C．30° D．35°‎ ‎【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，‎ ‎∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=50°，‎ ‎∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（　　）‎ A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm ‎【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．‎ ‎【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，‎ ‎∴CE=CD=4cm．‎ 在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，‎ ‎∴OE==3cm，‎ ‎∴AE=AO+OE=5+3=8cm．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（　　）‎ A．64° B．58° C．32° D．26°‎ ‎【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由OC⊥AB，得 ‎=，∠OEB=90°．‎ ‎∴∠2=∠3．‎ ‎∵∠2=2∠1=2×32°=64°．‎ ‎∴∠3=64°，‎ 在Rt△OBE中，∠OEB=90°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．‎ ‎【解答】解：连接DC，‎ ‎∵C（，0），D（0，1），‎ ‎∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，‎ ‎∴∠DCO=30°，‎ ‎∴∠OBD=30°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．2‎ ‎【分析】根据垂径定理得到CH=BH， =，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵OA⊥BC，‎ ‎∴CH=BH， =，‎ ‎∴∠AOB=2∠CDA=60°，‎ ‎∴BH=OB•sin∠AOB=，‎ ‎∴BC=2BH=2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．80° D．100°‎ ‎【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，‎ ‎∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，‎ ‎∴∠BAD=50°，‎ ‎∴∠BOD=100°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．‎ ‎【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，‎ 在Rt△OAD中，‎ ‎∵OA=10，OD=5，AD=，‎ ‎∴tan∠1=，∠1=60°，‎ 同理可得∠2=60°，‎ ‎∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，‎ ‎∴圆周角的度数是60°或120°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　）‎ A．58° B．60° C．64° D．68°‎ ‎【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵OA=OC，‎ ‎∴∠C=∠OAC=32°，‎ ‎∵BC是直径，‎ ‎∴∠B=90°﹣32°=58°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）‎ A．55° B．110° C．120° D．125°‎ ‎【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎【解答】解：根据圆周角定理，得 ‎∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．‎ ‎【解答】解：设OA与BC相交于D点．‎ ‎∵AB=OA=OB=6‎ ‎∴△OAB是等边三角形．‎ 又根据垂径定理可得，OA平分BC，‎ 利用勾股定理可得BD==3‎ 所以BC=6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　）‎ A．24° B．28° C．33° D．48°‎ ‎【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠A=66°，‎ ‎∴∠COB=132°，‎ ‎∵CO=BO，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）‎ A． B．5 C． D．5‎ ‎【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．‎ ‎【解答】解：连接OC、OA，‎ ‎∵∠ABC=30°，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∵AB为弦，点C为的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ 在Rt△OAE中，AE=，‎ ‎∴AB=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．‎ ‎【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•淮安）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）‎ A．70° B．80° C．110° D．140°‎ ‎【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．‎ ‎【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，‎ ‎∵∠P=∠AOC=×140°=70°‎ ‎∵∠P+∠B=180°，‎ ‎∴∠B=180°﹣70°=110°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（　　）‎ A．6 B．8 C．5 D．5‎ ‎【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．‎ ‎【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，‎ 则∠AOB+∠BOE=180°，‎ 又∵∠AOB+∠COD=180°，‎ ‎∴∠BOE=∠COD，‎ ‎∴BE=CD=6，‎ ‎∵AE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∴AB===8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•衢州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（　　）‎ A．75° B．70° C．65° D．35°‎ ‎【分析】直接根据圆周角定理求解．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=35°，‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=70°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（　　）‎ A．84° B．60° C．36° D．24°‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是，‎ ‎∴∠C=∠B=24°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（　　）‎ A．80° B．120° C．100° D．90°‎ ‎【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，‎ 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（　　）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵∠BOC=40°，‎ ‎∴∠AOC=180°﹣40°=140°，‎ ‎∴∠D=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎21．（2018•台湾）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）‎ A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7‎ ‎【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ 由题意得，BC=OB+OC=9，‎ ‎∵直线L通过P点且与AB垂直，‎ ‎∴直线L是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AC=BC=9，‎ 在Rt△AOC中，AO==2，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴a=﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）‎ A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm ‎【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，‎ 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，‎ 即OE2+42=（OE+2）2‎ 解得：OE=3，‎ ‎∴OB=3+2=5，‎ ‎∴EC=5+3=8，‎ 在Rt△EBC中，BC=，‎ ‎∵OF⊥BC，‎ ‎∴∠OFC=∠CEB=90°，‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△OFC∽△BEC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：OF=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•青岛）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）‎ A．70° B．55° C．35.5° D．35°‎ ‎【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵点B是的中点，‎ ‎∴∠AOB=∠AOC=70°，‎ 由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•广州）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙‎ O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．70° D．80°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=20°，‎ ‎∴∠AOC=40°，‎ ‎∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=40°，‎ ‎∴∠AOB=80°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎25．（2018•遂宁）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，‎ ‎∴AD=DB=AB=，‎ 在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，‎ 解得，OA=4‎ ‎∴OD=OC﹣CD=3，‎ ‎∵AO=OE，AD=DB，‎ ‎∴BE=2OD=6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎26．（2018•钦州三模）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．70° B．35° C．45° D．60°‎ ‎【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．‎ ‎【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，‎ ‎∴弧AC=弧AB （垂径定理），‎ ‎∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；‎ 又∠AOB=70°，‎ ‎∴∠ADC=35°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共13小题）‎ ‎27．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是　2或14　cm．‎ ‎【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．‎ ‎【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，‎ ‎∵AB=16cm，CD=12cm，‎ ‎∴AE=8cm，CF=6cm，‎ ‎∵OA=OC=10cm，‎ ‎∴EO=6cm，OF=8cm，‎ ‎∴EF=OF﹣OE=2cm；‎ ‎②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，‎ ‎∵AB=16cm，CD=12cm，‎ ‎∴AF=8cm，CE=6cm，‎ ‎∵OA=OC=10cm，‎ ‎∴OF=6cm，OE=8cm，‎ ‎∴EF=OF+OE=14cm．‎ ‎∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．‎ 故答案为：2或14．‎ ‎　‎ ‎28．（2018•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=　n　°．‎ ‎【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠DCB=180°，‎ 又∵∠DCE+∠DCB=180°‎ ‎∴∠DCE=∠A=n°‎ 故答案为：n ‎　‎ ‎29．（2018•南通模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙‎ O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为　2　．‎ ‎【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴AC==4，‎ ‎∵OD⊥BC，‎ ‎∴BD=CD，‎ 而OB=OA，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴OD=AC=×4=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎30．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上， =，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=　70°　．‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵=，∠CAD=30°，‎ ‎∴∠CAD=∠CAB=30°，‎ ‎∴∠DBC=∠DAC=30°，‎ ‎∵∠ACD=50°，‎ ‎∴∠ABD=50°，‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．‎ 故答案为：70°．‎ ‎　‎ ‎31．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　30°　．‎ ‎【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．‎ ‎【解答】解：∵点C是半径OA的中点，‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠CDO=30°，‎ ‎∴∠DOA=60°，‎ ‎∴∠DFA=30°，‎ 故答案为：30°‎ ‎　‎ ‎32．（2018•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， =，若∠AOB=58°，则∠BDC=　29　度．‎ ‎【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；‎ ‎【解答】解：连接OC．‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=58°，‎ ‎∴∠BDC=∠BOC=29°，‎ 故答案为29．‎ ‎　‎ ‎33．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　（﹣1，﹣2）　．‎ ‎【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．‎ ‎【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：‎ 在CB的垂直平分线上找到一点D，‎ CD═DB=DA=，‎ 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，‎ 即D的坐标为（﹣1，﹣2），‎ 故答案为：（﹣1，﹣2），‎ ‎　‎ ‎34．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=　15°　．‎ ‎【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，‎ ‎∴OA=OB=AB，‎ 即△OAB是等边三角形，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∵OC⊥OB，‎ ‎∴∠COB=90°，‎ ‎∴∠COA=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠ABC=15°，‎ 故答案为：15°‎ ‎　‎ ‎35．（2018•广东）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是　50°　．‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理求解．‎ ‎【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．‎ 故答案为50°．‎ ‎　‎ ‎36．（2018•黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为　5　．‎ ‎【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，‎ ‎∴CE=DE=CD=×6=3，‎ 设⊙O的半径为xcm，‎ 则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，‎ 在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，‎ ‎∴x2=32+（x﹣1）2，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴⊙O的半径为5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎37．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了　15　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）‎ ‎【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．‎ ‎【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，‎ 在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，‎ ‎∴AB=2AC=20≈69（步）；‎ 而的长=≈84（步），‎ 的长与AB的长多15步．‎ 所以这些市民其实仅仅少B走了 15步．‎ 故答案为15．‎ ‎　‎ ‎38．（2018•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=　60　度．‎ ‎【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠C=20°，‎ ‎∴∠OAB=60°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠B=∠OAB=60°，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎39．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．‎ ‎（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　30　cm．‎ ‎（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　10﹣10　cm．‎ ‎【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；‎ ‎（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．‎ ‎∵D1A=D1B1=30‎ ‎∴D1是的圆心，‎ ‎∵AD1⊥B1C1，‎ ‎∴B1H=C1H=30×sin60°=15，‎ ‎∴B1C1=30‎ ‎∴弓臂两端B1，C1的距离为30‎ ‎（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．‎ 设半圆的半径为r，则πr=，‎ ‎∴r=20，‎ ‎∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，‎ 在Rt△GB2D2中，GD2==10‎ ‎∴D1D2=10﹣10．‎ 故答案为30，10﹣10，‎ ‎　‎ 三．解答题（共1小题）‎ ‎40．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：四边形ABFC是菱形；‎ ‎（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．‎ ‎【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；‎ ‎（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BE=CE，‎ ‎∵AE=EF，‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形，‎ ‎∵AC=AB，‎ ‎∴四边形ABFC是菱形．‎ ‎（2）设CD=x．连接BD．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=∠BDC=90°，‎ ‎∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，‎ ‎∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，‎ 解得x=1或﹣8（舍弃）‎ ‎∴AC=8，BD==，‎ ‎∴S菱形ABFC=8．‎ ‎∴S半圆=•π•42=8π．‎ ‎　‎