2020九年级数学上册 第二十一一元二次方程的根与系数的关系

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2020九年级数学上册 第二十一一元二次方程的根与系数的关系

‎21.2.4‎一元二次方程的根与系数的关系 ‎1.已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(‎2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足:,则m的值是( )‎ A.3 B.‎1 C.3或-1 D.-3或1‎ ‎2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1,x2满足x1+x2-x1·x2<-1,则k的取值范围在数轴上表示为( )‎ ‎3.设方程x2+x-2=0的两个根分别为α,β,那么(α-1)(β-1)的值等于( )‎ A.-4 B.-‎2 C.0 D.2‎ ‎4.已知α,β是方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值是( )‎ A.-1 B.‎9 C.23 D.27‎ ‎5.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下四个结论中,错误的是( )‎ A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 6‎ D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1‎ ‎6.若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+‎8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab=_____________.‎ ‎7.已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根分别为a,b,则a-1+b-1=_____________.‎ ‎8.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为_____________.‎ ‎9.设x1,x2是一元二次方程x2+5x-4=0的两个根,若,则m=_____________.‎ ‎10.(一题多法)已知方程2x2+mx-4=0的一根为-2,求它的另一根和m的值.‎ ‎11.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若,求k的值.‎ ‎12.已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1,x2,请利用根与系数的关系求:‎ ‎(1);(2).‎ 6‎ ‎13.已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.‎ ‎(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由.‎ ‎(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.‎ ‎14.已知两个数的和为10,积为8,求这两个数.‎ ‎15.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,问:x1和x2能否同号?若能同号,请求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由.‎ 6‎ 参考答案 ‎1.A ‎ ‎2.C ‎ ‎3.C ‎ ‎4.D ‎ ‎5.D ‎ ‎6.4 ‎ ‎7. ‎ ‎8.-4 ‎ ‎9.10 ‎ ‎10.解法1:将方程的根x=-2代入方程,得 ‎2×(-2)2+m×(-2)-4=0,∴m=2.‎ 将m=2代入原方程得2x2+2x-4=0,‎ 即x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1.‎ 即方程的另一根为1.‎ 解法2:设方程的另一根为x1,‎ 则根据一元二次方程根与系数的关系,得 ‎,,‎ 解得x1=1,m=2.‎ ‎11.解:(1)由方程有两个实数根,可得∆=b2-‎4ac=4(k-1)2-4k2≥0,解得.‎ ‎(2)依题意可得,x1+x2=2(k-1),由(1)可知,∴2(k-1)<0.由,得-2(k-1)=k2-1,解得k1=1(舍去),k2=-3,∴k的值是-3.‎ ‎12.解:由一元二次方程根与系数的关系知x1+x2=-3,x1x2=-1.‎ ‎(1).‎ ‎(2).‎ 点拨:若方程x2+px+q=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2=-p,x1x2=q.分别对 6‎ 和进行恒等变形,将它们分别化为含有x1+x2和x1x2的代数式,然后求解.‎ ‎13解:(1)存在.∵x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根,‎ ‎∴由根与系数的关系可知,,. ‎ ‎∵一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有两个实数根,‎ ‎∴∆=4a2-4(a-6)·a≥0,且a-6≠0,‎ 解得a≥0且a≠6.‎ ‎∵-x1+x1x2=4+x2,∴x1x2=4+(x1+x2),‎ 即,解得a=24,‎ ‎∴存在实数a,使-x+x1x2=4+x2成立,a的值是24.‎ ‎(2)∵,∴当(x1+1)(x2+1)为负整数且a为整数时,有a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1,∴a=12,9,8,7,‎ ‎∴使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7. ‎ ‎14.解:设这两个数分别为x1和x2,则有x1+x2=10,x1·x2=8,‎ 所以以这两个数为根的一元二次方程为x2-10x+8=0,‎ 解这个方程得, .‎ 答:这两个数分别为和.‎ 点拨:本题也可以先设一个未知数,然后列一元二次方程求解.‎ ‎15.解:因为关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,则有:‎ ‎∆=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0,且m2≠0,‎ ‎∴,且m≠0.‎ 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根,‎ ‎∴由一元二次方程根与系数的关系,‎ 得x1+x2=-(m-1),.‎ 假设x1,x2同号,则有两种可能:x1<0,x2<0;x1>0,x2>0.‎ ‎(1)若x1<0,x2<0,则有即.‎ 解这个不等式组,得m>1.‎ 6‎ ‎∵且m≠0时方程才有实数根,‎ ‎∴此种情况不成立.‎ ‎(2)若x1>0,x2>0,则有即 解这个不等式组,得m<1.‎ 又∵且m≠0,∴当且m≠0时,两根能同号.‎ 6‎
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