九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版

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九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版

‎5 一元二次方程的根与系数的关系 ‎1.理解和掌握根与系数的关系,会利用根与系数的关系解决有关问题.‎ ‎2.在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中,培养学生的观察、思考、归纳概括能力.‎ ‎3.通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.‎ 重点 理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系.‎ 难点 一元二次方程的根与系数关系的理解及应用.‎ 一、复习导入 ‎1.请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法).‎ ‎2.解下列方程,将得到的根填入下面的表格中,你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢?‎ ‎(1)x2-2x=0;‎ ‎(2)x2+3x-4=0;‎ ‎(3)x2-5x+6=0.‎ 方程 x1‎ x2‎ x1+x2‎ x1·x2‎ ‎  学生独立完成,教师巡视指导.‎ 二、探究新知 ‎1.探究一元二次方程的根与系数的关系 课件出示:‎ 解出下列方程的根x1和x2,并计算x1+x2和x1·x2的值.‎ 方程 x1‎ x2‎ x1+x2‎ x1·x2‎ x2+4x-4=0‎ x2-2x-5=0‎ ‎6x2+x-2=0‎ ‎2x2-5x+1=0‎ ‎  教师:观察表中x1+x2与x1·x2的值,它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系?从中你能发现什么规律?‎ 师生共同总结规律,教师板书.(学生的语言表达可能不是很到位,教师可以进行适当地引导和点拨,但不能代替学生表达)‎ 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=.‎ ‎2.证明一元二次方程的根与系数的关系 教师:刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢?‎ 4‎ 学生先独立解决,再分组交流讨论发表看法.‎ ‎(教师板书) 证明:∵当Δ≥0时,由求根公式得 x1=,x2=,‎ ‎∴x1+x2==-,‎ x1·x2===.‎ 三、举例分析 例1 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积:‎ ‎(1)x2-7x+1=0;‎ ‎(2)x2+14x-21=0;‎ ‎(3)2x2+x-3=0;‎ ‎(4)x2-nx+n-5=0.‎ 解:(1)x1+x2=7,x1·x2=1.‎ ‎(2)x1+x2=-14,x1·x2=-21.‎ ‎(3)x1+x2=-,x1·x2=-.‎ ‎(4)x1+x2=n,x1·x2=n-5.‎ 例2 已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,求p和 q的值.‎ 解法一:因为关于x的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,所以有 ‎ 解这个方程组得 所以p=-3,q=0.‎ 解法二:由x1+x2=p,x1·x2=q,‎ 方程x2-px+q=0的两个根是0和-3,可得 ‎0+(-3)=p,‎ ‎0×(-3)=q.‎ 即得p=-3,q=0.‎ 四、练习巩固 教材第50页“随堂练习”第1~3题.‎ ‎ 五、小结 ‎1.通过这节课的学习,你有什么收获?‎ ‎2.一元二次方程的根与系数有什么关系?‎ 六、课外作业 教材第51页习题2.8第1~4题.‎ 观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.本节课在研究方程的根与系数的关系时,先从具体例子观察、归纳其规律,并且先从二次项系数是1的方程入手,然后提出二次项系数不是1的方程,由此猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系,最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.‎ 4‎ ‎ 经历了本节课的教学,学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握,但在寻求转化为两根之和与两根之积的过程中不要操之过急,例2可以在练习一定的习题后再给出来.在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式,培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识,并应该坚持下去.‎ 4‎ 4‎
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