初三数学同步练习题及解析：实际问题与一元二次方程（3）

初三数学同步练习题及解析：实际问题与一元二次方程（3）

22．3 实际问题与一元二次方程（第三课时） ◆随堂检测 1、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ） A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2、一个多边形有 9 条对角线，则这个多边形有多少条边（ ） A、6 B、7 C、8 D、9 3、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007 年用于绿化投资 20 万元，2009 年用于绿化投资 25 万元， 求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方程为（ ） A． 220 25x  B． 20(1 ) 25x  C． 220(1 ) 25x  D． 220(1 ) 20(1 ) 25x x    4、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间t （s）之间的关系为：s= 210 3t t ，那么行驶 200m 需要多长时间? (分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间.因此，只要把 s=200代入求关于t 的一元二次方程 即可．) ◆典例分析 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度的减少都是受 摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 20 0 2  =10m/s，那么根据：路程=速度× 时间，便可求出所求的时间．（2）刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为 车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可．（3）设 刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15 米 的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出 x 的值． 解:（1）从刹车到停车所用的路程是 25m； 从刹车到停车的平均车速是 20 0 2  =10（m/s）. 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s）. （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20. 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s）. （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 x s，这时车速为（20-8 x ）m/s. 则这段路程内的平均车速为 20 (20 8 ) 2 x  =（20-4 x ）m/s. ∴ x （20-4 x ）=15,整理得： 24 20 15 0x x   , 解方程：得 x = 5 10 2  ,∴ 1x ≈4.08（不合题意，舍去）， 2x ≈0.9（s）. ∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s. ◆课下作业 ●拓展提高 1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 210m 提高到 212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A．9% B．10% C．11% D．12% 2、如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开 始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售 出 2 件． （1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 4、有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台 单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元，但最低 不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？ PA B Q C （2）若此单位恰好花费 7500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的， 数量是多少？ ●体验中考 1、(2009 年，甘肃定西)在实数范围内定义运算“  ”，其法则为： 2 2a b a b   ，求方程（4  3） 24x  的解． （点拨：本题是新定义运算，将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域，具有一定的综合性.） 2、(2009 年，湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1）若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2009 年底家庭 轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车 位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但 不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. (提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.) 参考答案： ◆随堂检测 1、C． 设这个两位数的十位数字为 x ，则个位数字为 3x  . 依题意得： 210 3 ( 3)x x x    解得: 1 22, 3x x  .∴这个两位数为 25 或 36.故选 C. 2、A． 设这个多边形有 n 条边. 依题意,得： ( 3) 92 n n   , 解得: 1 26, 3n n   (不合题意,舍去).∴这个多边形有 6 条边.故选 A. 3、C. 4、解：当 s=200 时， 210 3 200t t  ， 整理，得 23 10 200 0t t   ，解得: 1 2 20 , 103t t   (不合题意,舍去). ∴t = 20 3 （s） 答：行驶 200m 需 20 3 s． ◆课下作业 ●拓展提高 1、B. 设年增长率 x ，可列方程  210 1 12.1x  ，解得 1 0.1 10%x   ， 2 2.1x   （不合题意，舍去）， 所以年增长率 10%，故选 B. 2、解：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 这时 PB= x ，BQ=2 x 依题意，得： 1 2 82 x x  ， 解得 2 2x   ，即 1 22 2, 2 2x x   ， ∵移动时间不能是负值，∴ 2 2 2x   不合题意，舍去．∴ 2 2x  . 答：2 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 x 元. 则依题意，得：（40- x ）（20+2 x ）=1200， 整理，得 2 30 200 0x x   ，解得: 1 210, 20x x  . ∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 x 元时，商场平均每天赢利最多为 y， 则 y=（40- x ）（20+2 x ）= 2 22 60 800 2( 30 ) 800x x x x       22( 15) 1250x    ∵ 22( 15) 0x   ，∴ x =15 时，赢利最多，此时 y=1250 元． ∴每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多. 4、解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 6 (800 20 6) 4 080    （元）；在乙公司购买需要用 75% 800 6 3 600   （元） 4 080 （元）．应去乙公司购买.（2）设该单位买 x 台，若在甲公司购买则 需要花费 (800 20 )x x 元；若在乙公司购买则需要花费 75% 800 600x x  元. ①若该单位是在甲公司花费 7500 元购买的图形计算器， 则有 (800 20 )x x 7 500 ，解之得 15 25x x ， ． 当 15x  时，每台单价为800 20 15 500 440    ，符合题意. 当 25x  时，每台单价为800 20 25 300 440    ，不符合题意，舍去． ②若该单位是在乙公司花费 7500 元购买的图形计算器，则有 600 7 500x  ，解之得 12.5x  ，不符合 题意，舍去． 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台． ●体验中考 1、解：∵ 2 2a b a b   ， ∴ 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x         ． ∴ 2 27 24x  ．∴ 2 25x  ．∴ 5x   ． 2、解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x . 则依题意得：  264 1 100x  ， 解得： 1 1 254x   %， 2 9 4x   （不合题意，舍去）. ∴  100 1 25% 125  . 答：该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆． (2)设该小区可建室内车位 a 个，露天车位b 个. 则： 0.5 0.1 15 2 2.5 a b a b a     ① ≤ ≤ ② 由①得： b =150-5 a 代入②得： 20 a  150 7 ， a 是正整数，∴ a =20 或 21. 当 20a  时 50b  ，当 21a  时 45b  . ∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个.