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文档介绍
2020高中数学 第三章几个常用函数的导数
3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 学习目标:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=,y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0 f(x)=x f′(x)=1 f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)= f′(x)=- 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0 f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=nxn-1 f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=ax f′(x)=axln_a(a>0) f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax f′(x)=(a>0,且a≠1) f(x)=ln x f′(x)= 思考:你能根据导数公式(xn)′=nxn-1,求f(x)=的导数吗? [提示] f(x)==x,则f′(x)=x=x=. [基础自测] 1.思考辨析 (1)(log3π)′=. ( ) (2)若f(x)=,则f′(x)=ln x. ( ) (3)因为(sin x)′=cos x,所以(sin π)′=cos π=-1. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 5 2.函数f(x)=0的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 A [由基本初等函数的导数公式知(0)′=0,故选A.] 3.已知函数f(x)=,则f′(2)=( ) A.4 B. C.-4 D.- D [f′(x)=-,所以f′(2)=-=-,故选D.] [合 作 探 究·攻 重 难] 利用导数公式求函数的导数 (1)函数y=在点处切线的倾斜角α为( ) 【导学号:97792133】 A. B. C. D. (2)求下列函数的导数: ①y=x20;②y=;③y=log6x;④y=sin . [解析] (1)y==x,则y′=,从而y′|x===1, 即切线的斜率为1,故切线的倾斜角α=. [答案] B (2)①y′=(x20)′=20x20-1=20x19. ②y′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5. ③y′=(log6x)′=. ④y′=′=0. [规律方法] 1.用导数公式求函数导数的方法 (1)若所求函数是基本初等函数,则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型,关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式,如y=可以写成y=x-4,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 5 2.已知f(x),求f′(x0)的方法 先求f′(x),再把x=x0代入f′(x)求f′(x0). [跟踪训练] 1.(1)若f(x)=cos x,则f′=( ) A.0 B.1 C.-1 D. [解析] ∵f(x)=cos x,∴f′(x)=-sin x. 故f′=-sin=-1. [答案] C (2)求下列函数的导数: ①y=5x;②y=-; ③y=ln 3;④y=x. 【导学号:97792134】 [解] ①y′=(5x)′=5xln 5. ②y′=-(x-5)′=5x-6=. ③y′=(ln 3)′=0. ④∵y=x,∴y=x, . 利用导数公式求曲线的切线方程 [探究问题] 已知曲线的切线的斜率,如何求切线方程? 提示:先求切点坐标,再求切线方程. 已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. [思路探究] 直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程. [解] 因为y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),则y′|x=x0=2x0, 又因为PQ的斜率为k==1,而切线平行于PQ,所以k=2x0=1,即x0=. 5 所以切点为M. 所以所求切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0. 母题探究:1.是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由. [解] 假设存在与直线PQ垂直的切线,因为PQ的斜率为k==1, 所以与PQ垂直的切线斜率k=-1, 设切点为(x1,y1),则y′|x=x1=2x1, 令2x1=-1,则x1=-,y1=, 切线方程为y-=-,即4x+4y+1=0. 2.若本例中曲线改为y=ln x,试求与直线PQ平行的切线方程. [解] 设切点为(a,b),因为kPQ=1, 则由f′(a)==1,得a=1,故b=ln 1=0,则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. [规律方法] 解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用: (1)切点处的导数是切线的斜率; (2)切点在切线上; (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. [当 堂 达 标·固 双 基] 1.下列结论: 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C [,(log3x)′=,故②③错误.] 2.质点的运动方程是s=(其中s的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3 s时的速度为( ) A.-4×3-4 m/s B.-3×3-4 m/s 5 C.-5×3-5 m/s D.-4×3-5 m/s D [s==t-4,则s′=-4t-5,从而s′|t=3=-4×3-5,故选D.] 3.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为__________. x-y+1=0 [y′=ex,y′|x=0=e0=1,故切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.] 4.已知函数f(x)=x2在点(x0,y0)处的导数为1,则x0+y0=________. [由题意可知,f′(x0)=1, 又f′(x)=2x,所以2x0=1, 所以x0=,y0=,x0+y0=.] 5.求下列函数的导数. 【导学号:97792135】 (1)y=cos ;(2)y=;(3)y=;(4)y=lg x;(5)y=5x;(6)y=cos. [解] (1)y′=0. (2)∵y==x-5, ∴y′=(x-5)′=-5x-6=-. (4)y′=. (5)y′=5xln 5. (6)∵y=cos=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x. 5查看更多