高三数学（文数）总复习练习专题一 集合与常用逻辑用语
1．(2015·山东，1，易)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
【答案】 C ∵B＝{x|1＜x＜3}，A＝{x|2
2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A，即m<2；
当m＋1＝2m－1，即m＝2时，B＝{3}，满足B⊆A，即m＝2；
当m＋1<2m－1，即m>2时，由B⊆A，得
即21}
C．{x|00}，∴M∩N＝{x|02}，∁RB＝{x|x>2或x<0}，所以∁RA⊆∁RB，故选D.
7．(2014·山西太原一模，2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和是( )
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】 D ∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1，2}，B＝{0，2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4，故A*B＝{0，2，4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
思路点拨：本题是新定义下的集合运算，在求解过程中要紧扣新定义运算．
8．(2015·河南信阳第二次联考，1)已知全集U＝R，集合A＝{x|00的解集为集合A，关于x的不等式x2＋(2a－3)x＋a2－3a＋2<0的解集为集合B.若A⊇B，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由题意知A＝{x|(4－x)(x－2)>0}＝{x|21”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 由x3>1，解得x>1；由x>1，得x3>1，所以是充要条件．
4．(2015· 北京，6，易)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
∴a与b的夹角θ＝0，∴a∥b.
若a∥b，则a·b＝±|a||b|.
∴“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
5．(2015·湖北，5，易)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】 A l1，l2是异面直线，一定不相交，所以p是q的充分条件．l1，l2不相交，可能是平行或异面，所以p不是q的必要条件．
1．(2012·重庆，1，易)命题“若p则q”的逆命题是( )
A．若q，则p B．若綈p，则綈q
C．若綈q，则綈p D．若p，则綈q
【答案】 A 原命题的逆命题是交换原命题的条件和结论，故选A.
2．(2014·北京，5，易)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 D 令a＝1，b＝－2，显然a>b，但a2b”不是“a2>b2”的充分条件．
令a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab”不是“a2>b2”的必要条件．
∴“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
3．(2014·广东，7，易)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【答案】 A 结合正弦定理可知，a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B(R为△ABC外接圆的半径)．故选A.
4．(2013·福建，2，易)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2，不一定有x＝2且y＝－1，故选A.
5．(2013·北京，7，易)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
【答案】 C ∵双曲线的离心率e＝>，
∴m>1，故选C.
6．(2014·江西，6，中)下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【答案】 D A选项中ax2＋bx＋c≥0不仅仅与b2－4ac有关，还要取决于x2的系数a，因此这个是既不充分也不必要条件；B选项中当b2＝0时，a>cab2>cb2；C项的否定应是x2<0；D选项正确，垂直于同一条直线的两平面平行．
易错点拨：本题较容易出错的选项是A，B，易忽略对a＝0和b2＝0等特殊情况的考虑．
7．(2013·辽宁，4，中)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【答案】 D 对于p1，数列{an}的公差d>0，∴数列是递增数列；对于p4，∵[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝4d>0，是递增数列；对于p2，∵(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)an＋(n＋1)d－nan＝a1＋2nd，不能确定a1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列．
考向1 四种命题及其相互关系
1．四种命题的结构
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
2.四种命题间的关系
3．四种命题间的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．
(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．
(1)(2012·湖南，2)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
(2)(2014·陕西，8)原命题为“若a＋1或xm＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.
【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)
1．(2014·湖南雅礼中学月考，1)设函数f(x)＝log2x，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B 因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故选B.
2．(2015·山东泰安三模，2)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 当m＝0时，直线x＋my＝0为x＝0，此时两直线不垂直，所以m≠0，直线x＋my＝0的斜率为－.若两直线垂直，则有－＝－1，即m＝1，所以“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的充要条件，故选C.
3．(2014·江西九江一模，4)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若xy，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
【答案】 C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
4．(2015·福建泉州一模，3)在△ABC中，“∠A＝30°”是“sin A＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 由sin A＝得A＝30°＋k·360°或A＝150°＋k·360°，所以“∠A＝30°”是“sin A＝”的充分不必要条件，故选A.
5．(2015·山东潍坊调研，5)“若a，b∈R＋，a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C a，b∈R＋，若a2＋b2<1，则a2＋2ab＋b2<1＋2ab<1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2<(1＋ab)2，所以a＋b<1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab>a＋b成立，但a2＋b2<1不成立，所以“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的充分不必要条件，故选C.
6．(2015·河南郑州联考，5)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C ∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.
7．(2015·河北承德二模，4)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．② C．②③ D．①②③
【答案】 A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①
正确，②错误，③正确，故选A.
8．(2014·山东烟台二模，4)下列选项中正确的是( )
A．若x>0且x≠1，则ln x＋≥2
B．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件
C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”
D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题
【答案】 B 当0an时，{an}不一定是递增数列，但若{an}是递增数列，则必有an0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】 令A＝＝{x|－2≤x≤10}，
B＝{x|x2－2x＋(1－m2)≤0，m>0}
＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
∵“若綈p，则綈q”的逆否命题为“若q，
则p”，
而綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p⇒q，即A⊆B，故
解得m≥9.
【答案】 [9，＋∞)
方法点拔：本题通过等价转化思想，将若綈p是綈q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，使问题简化．
(2015·湖北，3，易)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
B．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
【答案】 C 特称命题的否定是全称命题，即∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
1．(2014·湖南，1，易)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )
A．∃x0∈R，x＋1＞0 B．∃x0∈R，x＋1≤0
C．∃x0∈R，x＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
【答案】 B 全称命题的否定是特称命题．“∀”的否定为“∃”，“>”的否定为“≤”，故选B.
2．(2014·福建，5，易)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
【答案】 C 全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0，故选C.
3．(2012·湖北，4，易)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】 B 根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.
易错点拨：注意命题的否定与否命题不同．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，又否定结论．
4．(2011·辽宁，4，易)已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为( )
A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n＞1 000
C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n＜1 000
【答案】 A 特称命题的否定是全称命题，所以p：∃n∈N，2n>1 000的否定为綈p：∀n∈N，2n≤1 000.
5．(2013·四川，4，易)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )
A．綈p：∃x∈A，2x∈B B．綈p：∃x∉A，2x∈B
C．綈p：∃x∈A，2x∉B D．綈p：∀x∉A，2x∉B
【答案】 C 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B.故选C.
6．(2014·重庆，6，中)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
【答案】 A 由题意知p为真命题，q为假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q为真命题，故选A.
考向1 含逻辑联结词的命题的真假判断
1．綈p，p∨q，p∧q的真假判断
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
2.否命题与命题的否定
否命题
命题的否定
区别
否命题是既否定其条件，又否定其结论
命题的否定只是否定命题的结论
否命题与原命题的真假无必然联系
命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假
(1)(2013·湖北，3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
(2)(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
【解析】 (1)“至少有一位学员没有降落在指定范围”，即甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲、乙都没有降落在指定范围．又命题p是“甲降落在指定范围”，可知命题綈p是“甲没有降落在指定范围”；同理，命题綈q是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
(2)方法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵綈p为真命题，綈q为假命题，
∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．
方法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．
【答案】 (1)A (2)A
【点拨】 题(1)根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断；题(2)考查复合命题的真假，正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断命题p，q的真假；
(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．
2．含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∧(綈q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．
(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．
(1)(2012·山东，5)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
(2)(2015·山东潍坊调研，14)已知p：“对任意的x∈[2，4]，有log2x－a≥0”，q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1)【答案】 C 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.
(2)【解析】 由p：“对任意的x∈[2，4]，有log2x－a≥0”，即a≤log2x得a≤(log2x)min＝1，可知p：a≤1；由q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.因为“p且q”是真命题，故a≤－2或a＝1.
【答案】 (－∞，－2]∪{1}
考向2 含有一个量词的命题的否定
1．全称命题与特称命题的结构
命题
全称命题“∀x∈A，p(x)”
特称命题“∃x∈A，p(x)”
表述方法
①对所有的x∈A，p(x)成立；
②对一切x∈A，p(x)成立；
③对每一个x∈A，p(x)成立；
④任选一个x∈A，p(x)成立；
⑤任意x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立；
②至少有一个x∈A，使p(x)成立；
③对有些x∈A，p(x)成立；
④对某个x∈A，p(x)成立；
⑤有一个x∈A，使p(x)成立
2.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
(1)全称命题(特称命题)的否定与命题的否定是不同的．全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定是只否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
(2)含有逻辑联结词的命题的否定是一个难点，其原理是：綈(p∨q)＝(綈p)∧(綈q)，綈(p∧q)＝ (綈
p)∨(綈q)．
3．常用的否定词
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
一定是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不一定是
正面词语
都是
任意的
所有的
任意两个
否定词语
不都是
某个
某些
某两个
正面词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
(1)(2014·湖北，3)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x
(2)(2015·山东德州一模，3)命题“∃x∈R，x2－2x>0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－2x<0 B．∃x∈R，x2－2x≥0
C．∀x∈R，x2－2x≤0 D．∃x∈R，x2－2x<0
【解析】 (1)将“∀”改为“∃”，“x2≠x”的否定为“x2＝x”，即綈p：∃x∈R，x2＝x.
(2)将“∃”改为“∀”，“x2－2x>0”的否定为“x2－2x≤0”，
即綈p：∀x∈R，x2－2x≤0.
【答案】 (1)D (2)C
【点拨】 全称命题与特称命题的否定都必须按照其既定的形式来写，应注意两个方面：一是量词的改写，二是性质p(x)的否定．对性质p(x)的准确否定是解决问题的关键．
对含有量词的命题进行否定的方法
(1)全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．
这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
(2014·天津，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)·ex>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
【答案】 B 由全称命题的否定知，綈p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
考向3 全称命题、特称命题的真假判断
(1)(2015·广东梅州一模，4)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
(2)(2013·课标Ⅰ，5)已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
【解析】 (1)A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1<1；显然D正确．故选B.
(2)对于命题p，当x＝－1时，2－1＝>＝3－1，所以是假命题，故綈p是真命题；对于命题q，设f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，所以f(x)＝0在区间(0，1)上有解，即存在x∈R，使x3＝1－x2，故命题q是真命题．
综上，綈p∧q为真命题，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
【点拨】 解答本题的关键是正确理解全称命题、特称命题的定义，掌握判断全称命题、特称命题真假的方法．
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．
(2014·北京朝阳期末检测，6)命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：∃x∈R，sin x＋ cos x＝2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)
【答案】 B 对于命题p，x2＋ax＋a2＝＋a2≥0，为真命题；对于命题q，sin x＋cos x＝sin≤，为假命题，
∴p∨q为真命题．
1．(2015·山东烟台一模，4)下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”
【答案】 C 根据逆否命题的定义知A正确；x>1时，显然|x|>0，而|x|>0时，只需x≠0，所以B正确；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以C错误；而命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0的否定为綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故D正确．
2．(2014·安徽马鞍山检测，3)已知命题p：∃x∈R，cos x＝，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(綈q)是真命题
C．命题(綈p)∧q是真命题 D．命题(綈p)∨(綈q)是假命题
【答案】 C 由余弦函数的值域知cos x∈[－1，1]，故命题p是假命题；因为x2－x＋1＝＋>0，故命题q是真命题．命题綈p为真，命题綈q为假，故p∧q假，p∧(綈q)假，(綈p)∧q真， (綈p)∨(綈q)真．故选C.
3．(2015·福建厦门一模，6)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．命题“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1<0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
【答案】 C A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”，A错误；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”，B错误；C中，“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然是真命题，C正确；D中，cos x＝cos y，则x＝kπ±y(k∈Z)，故原命题为假命题，所以它的逆否命题也是假命题，D错误．
4．(2014·河南洛阳质检，3)若命题p：∀x∈，tan x>sin x，则命题綈p为( )
A．∃x0∈，tan x0≥sin x0
B．∃x0∈，tan x0>sin x0
C．∃x0∈，tan x0≤sin x0
D．∃x0∈∪，tan x0>sin x0
【答案】 C “∀”改为“∃”，并否定结论，所以命题綈p为：∃x0∈，tan x0≤sin x0.
5．(2014·福建福州三模，2)已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)
【答案】 C “∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2
－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1.
易错点拨：本题易误认为Δ<0，错选答案D.
6．(2015·湖南长沙三校联考，12)若命题“∃x0∈R，x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由题意可知，命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.
【答案】 [2，6]
方法点拨：通过否定原命题，转化为真命题求解．
7．(2014·安徽宿州检测，11)给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；
③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；
④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．
其中不正确的命题的个数是________．
【解析】 若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1<1”，所以③不正确；在△ABC中，若A>B，则a>b，根据正弦定理可得sin A>sin B，所以④正确．故不正确的命题有2个．
【答案】 2
8．(2015·河南安阳二模，16)给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p与q中有且仅有一个为真命题，那么实数a的取值范围是________．
【解析】 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤；
如果p正确，且q不正确，则有0≤a<4，且a>，∴2}，B＝{x|12} B．{x|x>1}
C．{x|20得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|10，a＋≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
【答案】 C 由均值不等式知p为真命题；因为sin x0＋cos x0＝sin≤，所以q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．故选C.
方法点拔：解题时注意引入辅助角化sin x0＋cos x0为正(余)弦型函数，再作出判断．
10．(2014·山东泰安三模，3)下列命题中正确的是( )
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．“sin α＝”是“α＝”的充分不必要条件
C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α
D．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”
【答案】 D 选项A中，命题“p∧q”为假命题；选项B中，“sin α＝”是“α＝”的必要不充分条件；选项C中，直线l可能在平面α内；选项D正确．
易错点拨：注意本题C选项易忽略直线l在平面α内的情况．
11．(2015·云南丽江模拟，7)“∀n∈N*，2an＋1＝an＋an＋2”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 由∀n∈N*，2an＋1＝an＋an＋2得an＋1－an＝an＋2－an＋1，即任意相邻的两项之差相等，所以数列{an}为等差数列，所以“∀n∈N*，2an＋1＝an＋an＋2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，故选C.
12．(2015·黑龙江牡丹江六县市联考，8)下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③“x2＋2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1，2]上恒成立”；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B 特称命题的否定为全称命题，①正确；
②中f(x)＝cos 2ax，其最小正周期为π时，＝π，即a＝±1，②正确；
③不正确；④不正确，当a·b<0，a，b的夹角可能为π.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2015·安徽江南十校模拟，13)若“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值是________．
【解析】 ∵x2－2x－3>0，∴x<－1或x>3.∵“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，∴a≥3，即a的最小值是3.
【答案】 3
14．(2015·河南南阳二模，14)设命题p：<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由<0，得(2x－1)(x－1)<0，解得0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”．
其中正确的序号是________．
【解析】 由逆否命题的定义知①正确；当x＝4时，x2－3x－4＝42－3×4－4＝0，所以“x＝4”是x2－3x－4＝0的充分条件，②正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程x2＋x－m＝0有实根，则Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－.因为m≥－，不一定有m>0，所以③错误；④正确．
【答案】 ①②④
