精编高考数学理科一轮复习通用版随机变量及其分布双基过关检测

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精编高考数学理科一轮复习通用版随机变量及其分布双基过关检测

‎“随机变量及其分布”双基过关检测 一、选择题 ‎1.设随机变量ξ~N(2,1),若P(ξ>3)=m,则P(1<ξ<3)等于(  )‎ A.-2m        B.1-m C.1-2m D.-m 解析:选C 因为随机变量ξ~N(2,1),‎ 所以随机变量ξ服从正态分布,且正态曲线的对称轴为x=2,‎ 因为P(ξ>3)=m,所以P(ξ<1)=m,‎ 因此P(1<ξ<3)=1-2P(ξ>3)=1-2m.‎ ‎2.已知离散型随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a 则随机变量X的数学期望为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C ∵a=1-=,∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.‎ ‎3.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,其中c是常数,则P的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 由题可得,c1-+-+-+-=c×=1,解得c=.‎ 所以P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=×=.‎ ‎4.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下,第2次取到的是卡口灯泡的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”,‎ 事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”,‎ 则P(A)=,P(AB)=×=,‎ 故所求概率为P(B|A)===.‎ ‎5.(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)==.‎ ‎6.下列各组的两个事件相互独立的是(  )‎ ‎①运动员甲射击一次,“射中10环”与“射中8环”;‎ ‎②甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中8环”;‎ ‎③盒子中放有5个红球、5个白球,从盒子中陆续取出两个球,事件A为“第一次取出白球”,取出的球放回盒中,事件B为“第二次取出的是白球”;‎ ‎④盒子中放有5个红球、5个白球,从盒子中陆续取出两个球,事件A为“第一次取出白球”,取出的球不放回盒中,事件B为“第二次取出的是白球”.‎ A.①② B.②③‎ C.①④ D.③④‎ 解析:选B ①甲射击一次,“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,是互斥事件;‎ ‎②甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响,故二者是相互独立事件;‎ ‎③在有放回的取球中,事件A与B是否发生相互之间没有任何影响,故二者是相互独立事件;‎ ‎④在不放回的取球中,事件A发生后,事件B的概率发生了改变,故二者不是相互独立事件.‎ 二、填空题 ‎7.随机掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数为m,已知向量=(m,1),= (2-m,-4),设X=·,则X的数学期望E(X)=________.‎ 解析:∵=+=(2,-3),‎ ‎∴X=·=2m-3,而m=1,2,3,4,5,6.‎ 列出X的分布列(如表所示),‎ X ‎-1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎∴E(X)=(-1+1+3+5+7+9)=4.‎ 答案:4‎ ‎8.已知随机变量ξ的分布列为:‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x y 若E(ξ)=,则x+y=________,D(ξ)=________.‎ 解析:由题意,得x+y=.又E(ξ)=-x++2y=,‎ 解得x=, y=,‎ 所以D(ξ)=2×+2×+2×+2×=.‎ 答案:  ‎9.设随机变量η服从正态分布N(1,σ2),若P(η <-1)=0.2,则函数f(x)=x3+x2+η2x没有极值点的概率是______.‎ 解析:f′(x)=x2+2x+η2,‎ 因为函数f(x)=x3+x2+η2x没有极值点,‎ 所以f′(x)=x2+2x+η2≥0恒成立,‎ 所以Δ=4-4η2≤0,则η≤-1或η≥1,‎ 因为P(η≤-1)=0.2,且随机变量η服从正态分布N(1,σ2),‎ 所以P(η≤-1或η≥1)=P(η≤-1)+P(η≥1)=0.2+0.5=0.7.‎ 答案:0.7‎ 三、解答题 ‎10.如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.‎ ‎(1)求p;‎ ‎(2)求电流能在M与N之间通过的概率.‎ 解:记Ai表示事件“电流能通过Ti”,i=1,2,3,4,‎ A表示事件“T1,T2,T3中至少有一个能通过电流”,‎ B表示事件“电流能在M与N之间通过”.‎ ‎(1)=,A1,A2,A3相互独立,‎ P()=P()=P()P()P()=(1-p)3,‎ 又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001,‎ 故(1-p)3=0.001,解得p=0.9.‎ ‎(2)B=A4∪(A1A3)∪(A2A3),‎ P(B)=P(A4)+P(A1A3)+P(A2A3)‎ ‎=P(A4)+P()P(A1)P(A3)+P()P()P(A2)P(A3)‎ ‎=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.989 1.‎ ‎11.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为:‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);‎ ‎(2)求η的分布列及数学期望E(η).‎ 解:(1)由事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”,‎ 可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,‎ 因为P()=(1-0.4)3=0.216,‎ 所以P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.‎ ‎(2)由题意知,η的可能取值为200元,250元,300元,‎ 则P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,‎ P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,‎ P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,‎ 所以η的分布列为 η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ 故数学期望E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).‎ ‎12.(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;‎ ‎(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率P==0.3.‎ ‎(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.‎ ‎(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.‎
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