2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 25平面向量的应用

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 25平面向量的应用

考点规范练25　平面向量的应用 基础巩固组 ‎1.在锐角三角形ABC中,若BC=2,sin A=‎2‎‎2‎‎3‎,则AB‎·‎AC的最大值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎4‎‎5‎ C.1 D.3‎ ‎2.已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两个相等的实数根,则向量a与b的夹角是(　　)‎ A.-π‎6‎ B.-π‎3‎ C.π‎3‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎3.在△ABC中,已知向量AB与AC满足AB‎|‎AB‎|‎‎　‎‎+‎AC‎|‎AC‎|‎‎　‎‎·‎BC=0且AB‎|‎AB‎|‎‎　‎‎·AC‎|‎AC‎|‎‎　‎=‎‎1‎‎2‎,则△ABC为(　　)‎ A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 ‎4.‎ 在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点,若DE‎·‎DF=6,则BC=(　　)‎ A.2‎13‎ B.10‎ C.2‎37‎ D.14‎ ‎5.已知三个向量m=a,cosA‎2‎,n=b,cosB‎2‎,p=c,cosC‎2‎共线,其中a,b,c,A,B,C分别是△ABC的三条边及相对三个角,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 ‎6.(2017北京高考)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO‎·‎AP的最大值为　　　　　. ‎ ‎7.平面上有三个点A(-2,y),B‎0,‎y‎2‎,C(x,y),若AB‎⊥‎BC,则动点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. ‎ ‎8.(2017湖北重点中学联考)在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则AC‎·‎BD的最大值为　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.‎ ‎(2017浙江杭州高级中学模拟)已知函数f(x)=sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD‎+‎BE)·(BE‎-‎CE)的值为(　　)‎ A.-1 B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎10.已知△ABD是等边三角形,且AB‎+‎1‎‎2‎AD=‎AC,|CD|=‎3‎,那么四边形ABCD的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎‎3‎ C.3‎3‎ D.‎‎9‎‎2‎‎3‎ ‎11.(2017浙江杭州二模改编)设P为△ABC所在平面上一点,且满足3PA+4PC=mAB(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为(　　)‎ A.7 B.8 C.14 D.16‎ ‎12.(2017浙江杭州学军中学模拟)已知正三角形ABC的边长为2‎3‎,平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM‎=‎MC,则|BM|2的最大值是(　　)‎ A.‎43‎‎4‎ B.‎‎49‎‎4‎ C.‎37+6‎‎3‎‎4‎ D.‎‎37+2‎‎33‎‎4‎ ‎13.(2017浙江湖州考试)已知△ABC的面积是4,∠BAC=120°,点P满足BP=3PC,过点P作边AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是M,N.则PM‎·‎PN=　　　　　. ‎ ‎14.在▱ABCD中,∠BAD=60°,AB=1,AD=‎3‎,P为▱ABCD内一点,且AP=‎3‎‎2‎,若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ+‎3‎μ的最大值为　　　　　. ‎ ‎15.(2017浙江高考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　. ‎ ‎16.(2017浙江镇海中学模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1).‎ ‎(1)若a⊥b,求sinθ-cosθsinθ+cosθ的值;‎ ‎(2)若|a-b|=2,θ∈‎0,‎π‎2‎,求sinθ+‎π‎4‎的值.‎ ‎17.(2017浙江杭州联考)已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且PC‎+‎‎1‎‎2‎PQ‎·‎PC‎-‎‎1‎‎2‎PQ=0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求PE‎·‎PF的最值.‎ 答案：‎ ‎1.C　设△ABC三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc‎×‎‎1‎‎3‎=4,由基本不等式可得4‎≥‎‎4‎‎3‎bc,即bc≤3,所以AB‎·‎AC=bccos A=‎1‎‎3‎bc≤1.‎ ‎2.D　设向量a与b的夹角为θ.由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,即4|b|2+4×2|b|2cos θ=0,∴cos θ=-‎1‎‎2‎‎.‎又0≤θ≤π,‎ ‎∴θ=‎‎2π‎3‎‎.‎ ‎3.D　设∠BAC的角平分线为AD,则AB‎|‎AB‎|‎‎　‎‎+‎AC‎|‎AC‎|‎‎　‎=λAD.‎由已知得AD⊥BC,∴△ABC为等腰三角形.又AB‎|‎AB‎|‎‎　‎‎·AC‎|‎AC‎|‎‎　‎=‎‎1‎‎2‎,即cos A=‎1‎‎2‎,∴A=60°,∴△ABC为等边三角形.故选D.‎ ‎4.A　令BC=a,则由条件可知,DE‎·DF=‎1‎‎2‎(DB+‎DA)‎·‎1‎‎2‎(DC+‎DA)=‎1‎‎4‎‎(DB·DC+‎DA‎2‎)=6.‎ DA‎2‎‎-DB(BC-‎DB‎)=24①,又在Rt△ADC,Rt△ADB中有BD‎2‎‎+‎DA‎2‎=64②,(BC‎-‎BD)2+DA‎2‎=36③,联立①②③解得BC‎2‎=52.∴a=2‎13‎‎.‎故选A.‎ ‎5.B　∵m=a,cosA‎2‎与n=b,cosB‎2‎共线,∴acosB‎2‎=bcosA‎2‎‎.‎由正弦定理,得sin AcosB‎2‎=sin BcosA‎2‎‎.‎ ‎∵sin A=2sinA‎2‎cosA‎2‎,sin B=2sinB‎2‎cosB‎2‎,‎ ‎∴2sinA‎2‎cosA‎2‎cosB‎2‎=2sinB‎2‎cosB‎2‎cosA‎2‎,‎ 化简,得sinA‎2‎=sinB‎2‎‎.‎ 又0

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