2020届高三数学上学期第二次模拟试题 理（含解析）人教新目标版

2020届高三数学上学期第二次模拟试题 理（含解析）人教新目标版

‎2019高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）‎ 本试卷分为必考部分和选考部分.满分150分，考试时间120分钟 必考部分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将所选答案标记在题后答题框内.‎ ‎1. 设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ 集合，，‎ ‎ ∴是方程的解，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故选C ‎2. 命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎.....................‎ ‎3. 已知点在第三象限，则角的终边在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：点在第三象限可知，所以角的终边位置在第二象限 考点：四个象限三角函数值的正负问题 ‎4. 若，，，则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 13 -‎ ‎【解析】∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴，故选D ‎5. 已知，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎ ∴，则 ‎ ∴，故选C ‎6. 下列函数中，在上与函数 的单调性和奇偶性都相同的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在上递增，在上递减，且为偶函数，而也具有相同的奇偶性和单调性.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7. 已知 ，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 函数 的周期为 B. 将 的图像向左平移个单位后得到 的图像 C. 函数的最大值为 D. 的一个对称中心是 ‎【答案】D ‎【解析】选项A：，则周 期，故A不对；‎ - 13 -‎ 选项B：将 的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为 ‎，得不到 的图像，故B不对；‎ ‎ 选项D：‎ ‎ 根据正弦函数的对称性，令，得，当时，，故D正确.故选D ‎8. 已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎ ∴的单调减区间为 ‎∵，函数 在 内单调递减，且 ‎ ∴取，得 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故答案选B ‎9. 函数的部分图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ - 13 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数 ∴当时，可得，即图象过原点，排除A． ∴当时，，，图象在轴上方，故排除C，D，故答案选B．‎ 点睛：（1）运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质及本身的含义；（2）在运用函数性质时，特别是奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值及零点，要注意用好其条件的相互关系，结合特征进行等价转化，如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化等.‎ ‎10. 已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当分别取时，，，排除，‎ 当分别取时，，，排除，‎ 当分别取时，，，排除，故选A.‎ ‎11. 若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（ ）‎ A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意：由“孪生点”，可知，欲求的“孪生点”，只须作出函数 的图象关于原点对称的图象，看它与函数的交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点对数是：2． ‎ - 13 -‎ 即两函数的“孪生点”有：2对． 故答案选B．‎ 点睛：本题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度.解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法则以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案.‎ ‎12. 已知定义在 上的函数 的导函数为，且满足， ，若，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】解析：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案C。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若命题:，是假命题，则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.‎ 考点：1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.‎ ‎14. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ 为定义在上的奇函数，当时，‎ ‎ ∴，即 ‎ ∴当时，‎ - 13 -‎ ‎ ∴，故答案为 ‎15. 已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：构造函数，故函数单调递减，，即.‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.‎ ‎16. 已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴当或时，，当时，‎ ‎ ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ‎ 可作出大致函数图象如图所示：‎ - 13 -‎ ‎ 令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解 ‎ ∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根 ‎ ∴关于的方程在和上各有一解 ‎ ∴，解得，故答案为 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调区间；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）的零点的集合为 ‎【解析】试题分析：（1）将的解析式利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的图象与性质，即可求出最小正周期和单调区间；（2）‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎ ∴‎ ‎ 即 ‎∴的最小正周期 由，化简得 由，化简得 所以，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为 - 13 -‎ ‎；‎ ‎（2）∵‎ ‎ ∴，即 ‎ ∴，即，‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ ‎.‎ ‎18. 若 的最小值为 .‎ ‎（1）求 的表达式；‎ ‎（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为 ‎【解析】试题分析：（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出的值，即可求出的最大值.‎ 试题解析：（1） ‎ 若，即，则当时，有最小值，；‎ 若，即，则当时，有最小值，‎ 若，即，则当时，有最小值，‎ 所以；‎ ‎（2）若，由所求的解析式知或 由或（舍）；由（舍）‎ - 13 -‎ 此时，得，所以时，，此时的最大值为.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的增区间为，的减区间为； （2）的取值范围是 ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集 试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为 若，则，所以在单调递增 若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为 因此等价于 令，则在单调递增，‎ 于是，当时，；当时，‎ 因此，的取值范围是 ‎20. 已知曲线 在点 处的切线是 .‎ ‎（1）求实数 的值；‎ ‎（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.‎ ‎【答案】（1）； （2）的最大值为 - 13 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解，计算和，即可求出的值；（2）分离参数，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值.‎ 试题解析：（1）因为，，则，，解得；‎ ‎（2）由题意恒成立，整理得 令，则，‎ 令，则，因此在上单调递增，因为，‎ 所以在上小于零，在上大于零，故在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为，因此，故的最大值为 点睛：恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为.‎ ‎21. 已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是 ‎【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：（1），即，又所以 - 13 -‎ ‎，此时，所以上递减，上递增，‎ 又，所以 ‎（2）‎ 因为，所以，即 所以在上单调递增，所以 问题等价于对任意，不等式成立 设，‎ 则 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.‎ 选考部分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. 选修4—4：坐标系与参数方程 曲线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .‎ 化曲线的方程为普通方程，曲线的方程为直角方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ 设曲线 与 轴的一个交点的坐标为 ，经过点作曲线的切线，求切线 的方程.‎ ‎【答案】（1）曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是 - 13 -‎ 的椭圆；曲线是圆心为，半径为的圆；‎ ‎（2）切线的方程为 ‎【解析】试题分析：（1）根据平方和的关系消参，得到曲线的普通方程，利用极坐标与普通方程转化公式可得到的直角坐标方程；（2）根据的普通方程，可求出点坐标，再根据直线与圆相切的关系，即可求出切线的方程.‎ 试题解析：（1）曲线；曲线 曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；‎ 曲线是圆心为，半径为的圆；‎ ‎（2）曲线与轴的交点坐标为和，因为，所以 显然切线的斜率存在，设为，则切线的方程为，由曲线是圆心为，半径为的圆得，解得，所以切线的方程为.‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ 当时，，解不等式；‎ 若的解集为，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）不等式的解集为；（2）的最小值为 ‎【解析】试题分析：（1）把代入解绝对值不等式，运用零点区间，讨论，和，去绝对值解不等式，最后求并集即可得到；（2）根据的解集为，可求出的值，再根据柯西不等式的性质求解最小值.‎ 试题解析：（1）当时，不等式为，即 所以或 或，即或 所以原不等式的解集为；‎ ‎（2）‎ 因为的解集为，所以，即 所以，由，得 当且仅当时等号成立，故的最小值为 - 13 -‎ ‎ ‎ - 13 -‎