高三数学（理数）总复习练习专题十 不等式
1．(2013·陕西，10，易)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
【答案】 D A不成立，如[－π]＝－4，－[π]＝－3；
B不成立，如x＝1.6时，[2x]＝3，2[x]＝2；C不成立，如x＝y＝1.6，则[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，由排除法知选D.
思路点拨：本题考查新定义问题，解题的关键是把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可．
2．(2011·浙江，7，易)若a，b为实数，则“0
”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 当00，则有a<；若b<0，则a<0，从而有b>，故“0”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<或b>，但ab<0，故选A.
3．(2011·上海，15，易)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
【答案】 D A项，当a＝b＝1时，满足ab>0，但a2＋b2＝2ab，所以A错误；B，C项，当a＝b＝－1时，满足ab>0，但a＋b<0，＋<0，而2>0，>0，显然B，C错误；D项，当ab>0时，由基本不等式得＋≥2＝2，所以D正确．
4．(2013·上海春季，17，易)如果a0，ab>0，故－＝>0，>，故A项错误；B项，由a0，ab>b2，故B项错误；C项，由a0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；D项，由a0，故－－＝<0，－<－成立．故D项正确．
方法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则＝－>－1＝，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－＝<1＝－.故A，B，C项错误，D项正确．
5．(2010·江苏，12，中)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________．
【解析】 ∵4≤≤9，∴≤≤，
∴≤≤.
又∵3≤xy2≤8，而＝＝，
且≤xy2·≤，
∴2≤≤27.
【答案】 27
考向 不等式的性质及应用
1．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒＜.
(2)a＜0＜b⇒＜.
(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞.
(1)(2014·四川，4)若a>b>0，c B.< C.> D.<
(2)(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
【解析】 (1)方法一：c0⇒<<0⇒<<0⇒⇒>⇒<.
方法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．
(2)因为0y.对于选项A，取x＝2，y＝1，则<，显然A错误；对于选项B，取x＝－1，y＝－2，则ln(x2＋1)sin π，显然C错误；对于选项D，若x>y，则x3>y3一定成立，故选D.
【答案】 (1)D (2)D
1.比较大小的方法
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)特殊值法
若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法求解．
2．判断关于不等式的命题真假的三种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．
(3)特殊值验证法：即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．
(2014·福建三明模拟，4)若ab>0是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 当a>b>0时，a2>b2显然成立；当a2>b2时，令a＝－2，b＝1，则b>a，故a2>b2⇒a>b>0不成立，故选A.
2．(2015·安徽合肥模拟，4)已知a，b，c满足c0
C.< D.<0
【答案】 C 因为c0，所以<，>0，<0，但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．
3．(2015·四川成都模拟，3)已知a，b为非零实数且ab2，故A项错误；若0，故D项错误；若ab>0，则ab2>a2b，故B项错误．
4．(2015·河北衡水二模，5)已知0 B.<
C．(lg a)2<(lg b)2 D.>
【答案】 D 因为0，(lg a)2>(lg b)2，lg a，因此只有D项正确．
思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．
5．(2015·山东烟台模拟，6)已知－10，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝－(1＋a2)＝－
＝－>0，得C>A，所以B0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)
【解析】 由<<0，得b0，∴<0，>0，
∴<成立，即①正确；
②∵b－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，∴②错误；
③∵bb－，故③正确；
④∵ba2，∴ln b2>ln a2成立．
∴④错误，故正确的是①③.
【答案】 ①③
1．(2011·江西，2，易)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
【答案】 B 化简两集合，得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝{x|0＜x≤1}．
故选B.
2．(2013·陕西，9，中)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
【答案】 C 矩形的一边长为x m，设另一边长为y，则由相似三角形得，＝，故其邻边长y＝(40－x)m，故矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x，由S≥300得－x2＋40x≥300，解得10≤x≤30.
3．(2013·天津，8，难)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)0时无解，所以a<0，此时1－a2>0，所以－10时均有x2－x－1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.
(2)当a<1时，∵x>0，∴(a－1)x－1<0，∴不等式可化为
x>0时均有x2－ax－1≤0.
∵二次函数y＝x2－ax－1的图象开口向上，∴不等式x2－ax－1≤0在x∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a<1不成立．
(3)当a>1时，令f(x)＝(a－1)x－1，g(x)＝x2－ax－1，两函数的图象均过定点(0，－1)．∵a>1，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交点为，即当x∈时，f(x)<0，当x∈时，f(x)>0.
又∵二次函数g(x)＝x2－ax－1的对称轴为x＝>0，则只需g(x)＝x2－ax－1与x轴的右交点与点重合，如图所示，则命题成立，即在g(x)图象上，所以有－－1＝0，整理得2a2－3a＝0，解得a＝，a＝0(舍去)．
综上可知a＝.
【答案】
考向1 一元二次不等式及分式不等式的解法
三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实数根
x1＝，
x2＝(x1＜x2)
有两相等实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x∈R|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
(1)(2013·重庆，7)关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
(2)(2012·重庆，2)不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
(3)(2013·广东，9)不等式x2＋x－2<0的解集为________．
【解析】 (1)方法一：由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，
x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝，故选A.
方法二：由x2－2ax－8a2＜0，得(x＋2a)(x－4a)＜0.
因为a＞0，所以不等式的解集为(－2a，4a)．又不等式的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a，从而x2－x1＝6a＝15，解得a＝，故选A.
(2)不等式≤0⇔⇔－＜x≤1，
∴不等式的解集为.故选A.
(3)令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2＜x＜1时，f(x)＜0，从而不等式x2＋x－2＜0的解集为{x|－2＜x＜1}．
【答案】 (1)A (2)A (3)(－2，1)
1.解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．分式不等式的解法
(1)＞0(<0)⇔f(x)·g(x)＞0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔
求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．
(1)(2013·安徽，6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
(2)若典型例题1(2)中的不等式变为≤0，则其解集是________．
(1)【答案】 D ∵f(x)<0的解集为
，
∴f(x)>0的解集为.
∴由f(10x)>0得，－1<10x<，解得x<－lg 2.
(2)【解析】 不等式≤0⇔或⇔＜x≤1或x≤－1，即解集为∪(－∞，－1]．
【答案】 ∪(－∞，－1]
考向2 含参数的一元二次不等式问题
(1)(2012·江苏，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x
的不等式f(x)0时，根据两根相等，找出a的取值，再分01三种情况讨论．
【解析】 (1)由条件得a2－4b＝0，c>0，
从而f(x)＝.
所以不等式f(x)1.
当a<0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，
即(x－1)>0.
因为<1，所以x>1或x<.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0，
①若01，所以11，则<1，所以1}；
当01时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
(2015·云南昆明质检，16，12分)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
解：原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，
①当a>1时，解集为{x|11时，解集为{x|10(或≥0)对于一切x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)对于一切x∈R恒成立的条件是
在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意．
(1)(2014·江苏，10)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
(2)(2014·山东，15)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围为________．
【思路导引】 (1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)<0且f(m＋1)<0即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．
【解析】 (1)要满足f(x)＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需
即
解得－g(x)恒成立，所以6x＋2b－>，即3x＋b>恒成立．
在同一坐标系中画出y＝3x＋b及半圆y＝的图象，如图所示．
当直线3x－y＋b＝0与半圆相切时，
d＝＝2，此时，b＝2.
结合图象可知，b的取值范围为(2，＋∞)．
【答案】 (1) (2)(2，＋∞)
一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．
(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
(2015·河北石家庄一模，13)对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．
【解析】 因为对任意k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，
所以一次函数g(k)＝k(x－2)＋x2－4x＋4>0在[－1，1]上恒成立，
所以
所以
解得x<1或x>3，
所以x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞)
易错点拨：解答本题易出现不会合理分析已知条件，这样无法转化成关于k的一次函数，而导致题目无法求解的错误．
1．(2015·山东临沂模拟，2)不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
【答案】 A 由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，
所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
2．(2014·广东惠州二模，5)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，1] D．[－1，2]
【答案】 A 方法一：当x≤0时，x＋2≥x2，
∴－1≤x≤0；①
当x>0时，－x＋2≥x2，∴01，则不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件．
因此a≤1.此时a≤x2－3x＋4恒成立．
又∵不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤10(舍去)．
③当－a≤－1，即a≥1时，将在点A(2，0)处取得最大值，∴2a＋0＝4，∴a＝2.
④当－1<－a<0，即01(舍去)．
综上，a＝2，故选B.
5．(2015·课标Ⅱ，14，易)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【解析】 画出可行域，如图所示．
当直线l过点A时，z取得最大值．
由
解得
∴A，∴zmax＝1＋＝.
【答案】
6．(2015·课标Ⅰ，15，中)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
【解析】 画出如图所示的可行域，
由得A(1，3)．
∴当过点A(1，3)时，取得最大值为＝3.
【答案】 3
1．(2014·广东，3，易)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】 B 画出可行域如图所示，
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.
当直线y＝－2x＋z经过点A时，z取得最小值．由解得
即A(－1，－1)，此时z＝－2－1＝－3，n＝－3；
当直线y＝－2x＋z经过点C时，z取得最大值．由
解得
即C(2，－1)，此时z＝2×2－1＝3，m＝3.
∴m－n＝6，故选B.
2．(2013·天津，2，易)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
【答案】 A 画出可行域如图所示．
由z＝y－2x得y＝2x＋z，平移直线y＝2x，当其经过点A(5，3)时，z取最小值，
即zmin＝3－2×5＝－7.故选A.
3．(2013·山东，6，易)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
【答案】 C 作出可行域，如图所示．
则当直线OM过点A(3，－1)时，kOM最小，即kOM＝＝－.故选C.
4．(2013·课标Ⅱ，9，中)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
【答案】 B 画出可行域，如图所示，
由得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，故2×1－2a＝1，解得a＝.
5．(2012·四川，9，中)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元
【答案】 C 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，则公司利润z＝300x＋400y，
x，y满足约束条件画出可行域，如图，
由图可知z＝100(3x＋4y)经过A点时取得最大值，
由得A(4，4)，
∴x＝4，y＝4时，zmax＝100×(3×4＋4×4)＝2 800(元)．
6．(2014·福建，11，易)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为_______．
【解析】 作出可行域，如图所示，
由得A(0，1)，则直线y＝3x－z过点A(0，1)时，z取最小值．
∴zmin＝3×0＋1＝1.
【答案】 1
7．(2014·湖南，14，易)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝__________．
【解析】 作出可行域，如图所示．
先作出直线l：y＝－2x，
然后平移直线l，当l经过点A(k，k)时，
z取得最小值－6，
即z＝2k＋k＝－6，∴k＝－2.
【答案】 －2
8．(2013·广东，13，中)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
【解析】 画出可行域，如图所示．
平移直线z＝x＋y，当直线过点(0，1)时，z取最小值，点(0，1)为T中的点；平移到直线x＋y＝4时，z取最大值，此时在直线x＋y＝4上且在区域D内的整点属于T，共有五个：(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．
综上，T中的点共6个，可构成6条不同的直线．
【答案】 6
9．(2013·江苏，9，中)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
【解析】 由题意可得，切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
画出区域D，如图所示．
由线性规划知识可知，z＝x＋2y在点A(0，－1)处取最小值0＋2×(－1)＝－2，
在B处取最大值＋2×0＝，故z∈.
【答案】
考向1 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C>0，位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C<0.
2．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0，1)、(1，0)等点．
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(1)(2013·北京，8)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2013·安徽，9)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
【解析】 (1)由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，
要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2＞0，解得m＜－，故选C.
(2)由||＝||＝·＝2知<，>＝.
设＝(2，0)，＝(1，)，＝(x，y)，
则
解得
由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2.
画出可行域，如图所示．
则所求面积S＝2××4×＝4.
【答案】 (1)C (2)D
【点拨】 解题(1)的关键是将问题转化为直线x－2y－2＝0与可行域有公共点，即点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方；解题(2)的关键是建立坐标系，通过坐标运算列出约束条件，画出可行域，再求面积．
与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法
(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围进行讨论；
(2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
(1)(2012·重庆，10)设平面点集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
(2)(2012·福建，9)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A. B．1 C. D．2
(1)【答案】 D 平面点集A表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集B表示的平面区域为以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域如图所示，
图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形．由于圆和曲线y＝关于直线y＝x对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为，故选D.
(2)【答案】 B 在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.
考向2 线性规划的相关问题
1．线性规划中的有关概念
名 称
意 义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合(区域)
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2. 线性目标函数的最值问题
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
(1)(2014·课标Ⅱ，9)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8 C．3 D．2
(2)(2014·北京，6)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
(3)(2014·安徽，5)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1
(4)(2014·山东，9)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
【思路导引】 (1)直线y＝2x－z在y轴上的截距最小时，z最大；(2)作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4，求参数k的值；(3)根据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，将a分a>0和a<0分类讨论，通过数形结合分析求解；(4)先正确作出可行域，运用平移直线法确定出关于a，b的等式，再进一步求出a2＋b2的最小值．
【解析】 (1)根据不等式组画出如图阴影部分所示的可行域，
目标函数变形为y＝2x－z，由图可知当y＝2x－z表示的直线l1经过点B时，z取到最大值．由得
∴B(5，2)，故zmax＝2×5－2＝8，故选B.
(2)由得A(4，0)．
由图可知直线kx－y＋2＝0必过A(4，0)，得k＝－，经验证符合题目条件．故选D.
(3)画出可行域如图，平移y＝ax.
当a>0时，直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行时符合条件，此时a＝2；
当a<0时，直线y＝ax与x＋y－2＝0平行时符合条件，此时a＝－1.
综上所述，a＝－1或a＝2.
(4)约束条件的可行域如图．
∵a>0，b>0，
∴目标函数y＝－x＋在A点处取得最小值．联立方程解得∴2a＋b＝2.设P(a，b)，原点O(0，0)，则OP2＝a2＋b2表示直线2a＋b＝2上的点到原点距离的平方，∴OP2的最小值为O到直线2a＋b＝2的距离的平方，即d2＝＝4.
【答案】 (1)B (2)D (3)D (4)B
1.利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．线性规划中的参数问题及其求解思路
(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)(2014·天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2014·浙江，13)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1)【答案】 B 作出可行域，如图所示．
由z＝x＋2y得y＝－x＋.故将直线y＝－x向上平移，当过A(1，1)时，z有最小值3.
(2)【解析】 作出不等式组所表示的区域如图所示，
由1≤ax＋y≤4结合图象可知，a≥0，且在点A(1，0)点取得最小值，在点B(2，1)取得最大值，故a≥1，2a＋1≤4，故a取值范围为.
【答案】
考向3 线性规划的实际应用
(2013·湖北，20，12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ2，即2m＋n<4，
所以m＋n<2，即m＋n－2<0，
所以点(m，n)必在直线x＋y－2＝0的左下方．
2．(2015·湖北武汉二模，6)设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
【答案】 D 根据题意，画出可行域与目标函数如图所示，
由图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.故选D.
3．(2015·江西南昌模拟，5)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】 A 先作出不等式组对应的平面区域，如图所示．
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立，所以k>0，
则必有BC⊥AB.
因为x＋y－4＝0的斜率为－1，
所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，
故选A.
4．(2015·山东枣庄模拟，8)已知实数x，y满足约束条件则ω＝的最小值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】 D 作出不等式组对应的平面区域如图，
ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，
由图象可知当P位于点D(1，0)时，
直线AP的斜率最小，
此时ω＝的最小值为＝1.
故选D.
5．(2014·安徽合肥第二次检测，9)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为( )
A. B. C. D．1
【答案】 A 在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得＝，则|＋|＝|＋|＝||≥||≥||，
其中P′，B分别为点P，A在直线2x＋y＝0上的投影，如图．
因为||＝＝，
因此|＋|min＝，故选A.
6．(2015·山东威海一模，13)设x，y满足约束条件则M(x，y)所在平面区域的面积为________．
【解析】 画出平面区域，如图所示．
M(x，y)所在平面区域的面积为
0－×2×1
＝e2－e0－1＝e2－2.
【答案】 e2－2
7．(2015·湖南衡阳模拟，14)已知点P(t，2)在不等式组所表示的平面区域内运动，l为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的取值范围为________．
【解析】 由不等式组
可得如图所示的可行域，
由图可知，当取点P(1，2)时，
直线l的斜率取得最大值，k＝＝2.
当取点P(2，2)时，
直线l的斜率取得最小值，k＝＝1，
故k∈[1，2]．
【答案】 [1，2]
8．(2015·河南郑州模拟，14)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．
【解析】 作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示．
若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．
若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋.
若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个．
若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.
综上可知，m＝1.
【答案】 1
方法点拨：最优解有无穷多个，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线与可行域中的一条直线重合，利用这种方法求解时，切记要检验．
9．(2015·云南丽江三模，15)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝·，
即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．
由得B点坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
【答案】 21
10．(2015·北京海淀模拟，13)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，可得点(1，0)到区域D上点的最小距离即是点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，d＝＝.
【答案】
11．(2015·福建福州二模，12)已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，的取值范围是________．
【解析】 ∵f(x)＝x＋sin x(x∈R)，
∴f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)，
即f(x)＝x＋sin x(x∈R)是奇函数．
∵f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，
∴f(y2－2y＋3)≤－f(x2－4x＋1)
＝f[－(x2－4x＋1)]．
∵f′(x)＝1－cos x≥0，
∴函数f(x)单调递增．
∴y2－2y＋3≤－(x2－4x＋1)，
即y2－2y＋3＋x2－4x＋1≤0，
∴(y－1)2＋(x－2)2≤1.
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为(2，1)，半径为1的圆的上半部分，如图．
的几何意义为动点P(x，y)到定点A(－1，0)的斜率的取值范围．
设k＝(k>0)，
则y＝kx＋k，即kx－y＋k＝0.
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝1，
即8k2－6k＝0，解得k＝，此时直线斜率最大．
当直线kx－y＋k＝0经过点B(3，1)时，直线斜率最小，
此时3k－1＋k＝0，即4k＝1，解得k＝，
∴≤k≤.
【答案】
思路点拨：判断函数f(x)的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，数形结合和的几何意义即可得到结论．
(2015·陕西，9，易)设f(x)＝ln x，0p D．p＝r>q
【答案】 B 方法一：由题意知，
p＝f()＝ln，
q＝f＝ln，
r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ab＝ln.
又∵b＞a＞0，∴＞＞0.
∵函数f(x)＝ln x为增函数，
∴p＝r＜q，故选B.
方法二(特值法)：令a＝1，b＝2，
∴p＝f()＝ln，
q＝f＝f＝ln，
r＝(ln 1＋ln 2)＝ln .
∵<，∴ln 0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
【答案】 C y＝＋＝(a＋b)＝＋≥＋×2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，不等式取等号，故选C.
2．(2010·重庆，7，易)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
【答案】 B ∵x＋2y＋2xy＝8，
∴y＝＞0，
∴－10)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为( )
A．16 B．8 C．8 D．4
【答案】 B 在平面直角坐标系中作出函数y＝|log2x|的图象如图所示，
不妨设点A(x1，m)，B(x2，m)，C，D，则00)，则t＝m＋＝＋－≥4－＝，当且仅当m＋＝时等号成立，即m＝时，t取最小值为，此时的最小值为8.
4．(2011·湖南，10，易)设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
【解析】 ∵x，y∈R且xy≠0，
∴
＝5＋＋4x2y2
≥5＋2＝9，
当且仅当＝4x2y2，即xy＝±时，取得最小值9.
【答案】 9
5．(2010·湖北，17，12分，中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝，
由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝.
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，
∴f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)方法一：f(x)＝＋6x
＝＋6x＋10－10
≥2－10＝70，
当且仅当＝6x＋10，即x＝5时取等号．
∴当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用最小，最小值为70万元．
方法二：f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当00.
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用达到最小，最小值为70万元．
考向1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式及有关结论
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)几个常用的重要结论
①＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；
②a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)；
③ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
④≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．
①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．
②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立．
(1)(2014·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
(2)(2013·天津，14)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．
【解析】 (1)∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时等号成立，
∴x2＋2y2的最小值为2.
(2)∵a＋b＝2，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立．又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．
【答案】 (1)2 (2)－2
【点拨】 解题(1)直接利用基本不等式即可，注意等号成立的条件；解题(2)的关键是代换，即将式子＋中的“1”用含“a＋b”的式子代换．
利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
(2013·山东，12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．3
【答案】 B ∵z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝
＝≤＝1，
当且仅当＝时，取最大值，
即x＝2y，故z＝2y2.
∴＋－＝－
＝－＋1≤1，
即＋－的最大值为1.
思路点拨：把多元问题消元是解决不等式问题的一个主要手段，在本题中通过已知的三元关系式，把第一个最值转化为二元关系，进而找出了三个元的关系，将最后的最值问题转化为一元关系．
考向2 基本不等式的实际应用
(1)(2014·福建，13)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
(2)(2012·江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
①求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【解析】 (1)设池底长为x m，宽为y m，则xy＝4，所以y＝，则总造价为f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈(0，＋∞)．
所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．
(2)①令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
②因为a>0，所以炮弹可以击中目标，
即存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，
故关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，即a≤6.
所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【点拨】 解题(1)的关键是列出函数表达式，用基本不等式求最值；解题(2)①的关键是将函数表达式变形转化，利用基本不等式求解；解题(2)②的思路是将其转化为方程的根的问题，然后利用判别式求解．
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值；
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
(2014·宁夏银川二模，19，12分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，
x∈[50，100]．
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50，100]．
(或y＝＋x，x∈[50，100])．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时，等号成立．
故当x＝18千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
1．(2015·四川成都一模，5)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
【答案】 D 由log4(3a＋4b)＝log2，
可得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，
＝1，即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4.故选D.
2．(2015·山东潍坊模拟，6)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】 D 由题意得3a＋2b＝2，
＋＝×
＝
≥3＋＋＝3＋2＋＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．故选D.
3．(2014·广东广州二模，7)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )
A．4 B．4 C．9 D．16
【答案】 D 由＋＝1得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
4．(2015·山西大同模拟，9)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】 A 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，
可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
所以q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，
所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.
所以＋＝(m＋n)
＝
≥＝.
当且仅当＝时，等号成立，
故＋的最小值等于.
5．(2015·山东菏泽一模，10)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】 A 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
6．(2015·福建厦门模拟，14)若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是_______．
【解析】 设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，
因为x>－3，所以x＋3>0，
故f(x)≥2－3
＝2－3，
当且仅当x＝－3时等号成立，
所以a的取值范围是(－∞，2－3]．
【答案】 (－∞，2－3]
7．(2015·山东青岛模拟，13)下列命题：
①y＝2－3x－(x>0)的最大值是2－4；
②y＝sin2x＋的最小值是4；
③y＝2－3x－(x<0)的最小值是2－4.
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 ①正确，因为y＝2－3x－
＝2－
≤2－2＝2－4.
当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．
②不正确，令sin2x＝t，则00，最小值为2＋4，而不是2－4.
【答案】 ①
易错点拨：本题容易出现答案为①②的错误，是因为做题时只看到了形式，而看不到基本不等式成立的条件而造成的．
8．(2015·河南郑州模拟，18，12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?
解：方法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y＝，其中k为比例系数，且k>0.
根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
所以b＝(00.
根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
即2b＋ab＋a＝30.
因为a＋2b≥2，
所以30－ab＝a＋2b≥2.
所以ab＋2－30≤0.
因为a>0，b>0，所以00 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0
【答案】 D 当b≥0时，a＋b<0，当b<0时，a－b<0，∴a＋b<0，故选D.
2．(2015·湖南长沙模拟，2)不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1} B.
C. D.
【答案】 D 不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3<0，
即(2x－3)(x＋1)>0，
解得x<－1，或x>，
所以不等式的解集是.
3．(2015·山东潍坊模拟，3)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
【答案】 D 由题意知
即
故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．
4．(2015·江西九江质检，6)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－20的解集为{x|－2lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【答案】 C 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确；
而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
6．(2015·江西南昌三模，9)若关于x，y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】 C 当a≤0时，显然不合题意；当a>0时，不等式组所围成的区域如图所示．
因为其面积为2，
所以|AC|＝4，
所以C的坐标为(1，4)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝3.
7．(2015·河南洛阳模拟，6)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为( )
A．3 B. C．5 D．7
【答案】 A 由题意知，a>0，二次函数f(x)的图象与x轴有一个交点，则Δ＝16－4ac＝0，
所以ac＝4，c>0.
则＋≥2×＝3，当且仅当＝时取等号，则＋的最小值是3，故选A.
8．(2015·天津模拟，7)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x－2y的最大值为( )
A. B．1 C．－ D．－2
【答案】 B 由约束条件作出可行域如图，
由z＝x－2y，得y＝－，
由图象可知，当直线y＝－过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小，z最大．
联立解得
即A(1，0)．
所以目标函数z＝x－2y的最大值为1－2×0＝1.故选B.
9．(2015·四川成都模拟，12)设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4 C．2 D．5
【答案】 B 2a2＋＋－10ac＋25c2＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋≥0＋2＋2＝4，当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立，如取a＝，b＝，c＝时满足条件．
10．(2015·广东实验中学模拟，7)已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.∪[1，＋∞)
C．[1，＋∞) D.
【答案】 B 对于函数f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，
则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.
故选B.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．(2014·福建厦门模拟，11)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－4，1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为________．
【解析】 由题意可知，－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－3＝－，－4＝，即b＝3a，
c＝－4a，
不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0可化为3x2＋x－4＜0，解得－＜x＜1.
【答案】
12．(2015·河南郑州模拟，14)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．
【解析】 由已知得＝1，
则＝＋
＝
＝
≥
＝(10＋2)＝9，
当且仅当x＝，y＝时取等号．
【答案】 9
13．(2013·大纲全国，15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
【解析】 如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，
因为直线y＝a(x＋1)表示经过点P(－1，0)且斜率为a的直线，结合图形易知kPA＝≤a≤kPB＝4，故a的取值范围是.
【答案】
14．(2015·山东济南二模，13)若点A(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋
的最小值为________．
【解析】 因为点A(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，
所以m＋n－2＝0，即＋＝1，
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，
当且仅当＝，即m2＝n2时取等号．
所以＋的最小值为2.
【答案】 2
思路点拨：把点A(1，1)代入直线mx＋ny－2＝0，得到m，n的关系，再利用基本不等式求最小值．
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)(2015·山东临沂模拟，16)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
解：(1)因为f(1)>0，所以－3＋a(6－a)＋b>0，即a2－6a＋3－b<0.
Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.
①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为∅.
②当Δ>0，即b>－6时，
方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－，a2＝3＋，
所以不等式的解集为(3－，3＋)．
综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为∅；
当b>－6时，原不等式的解集为(3－，3＋)．
(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，
即3x2－a(6－a)x－b<0.
因为它的解集为(－1，3)，
所以－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根，
所以
解得或
16．(12分)(2014·江苏扬州模拟，17)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：该商品明年的销售量a至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
解：(1)设每件定价为x元，
依题意，有[8－(x－25)×0.2]x≥25×8，
整理得x2－65x＋1 000≤0，
解得25≤x≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．
17．(12分)(2015·河南郑州质检，18)某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：
产品品种
劳动力(个)
煤(吨)
电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
解：设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，
依题意，得
目标函数为z＝7x＋12y.
作出可行域，如图所示．
当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过点M时z取最大值．
解方程组得
因此，点M的坐标为(20，24)．
所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．
18．(14分)(2014·湖北襄阳调研，18)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.
(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，f(x)＝1－2x，不满足f(x)<0恒成立；
当m≠0时，f(x)＝mx2－2x－m＋1，
要使f(x)<0恒成立，需
则m无解．
综上可知，不存在这样的m.
(2)设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，
则f(m)为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线．
由题意知当－2≤m≤2时，f(m)的图象为在x轴下方的线段，
∴
即
解①得x＜或x＞，
解②得＜x＜.
由①②，得＜x＜.
∴x的取值范围为
.
