【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】

【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知复数z，“z+z‎¯‎=0‎”是“z为纯虚数”的（ ） ‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎2. 不等式x+5‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎≥2‎的解集是(        ) ‎ A.‎[-3,‎1‎‎2‎]‎ B.‎[-‎1‎‎2‎，3]‎ C.‎[‎1‎‎2‎，1)∪(1,3]‎ D.‎[-‎1‎‎2‎，1)∪(1,3]‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知角α的终边过点‎(3, -4)‎，则sin(α+π‎4‎)=‎(        ) ‎ A.‎-‎‎10‎‎10‎ B.‎-‎‎7‎‎2‎‎10‎ C.‎7‎‎2‎‎10‎ D.‎‎-‎‎2‎‎10‎ ‎ ‎ ‎4. 设f ‎(x)‎为可导函数，且满足limx→0‎f(1)-f(1-x)‎‎2x‎=-1‎，则曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线的斜率是（ ） ‎ A.‎2‎ B.‎-1‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎-2‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎5. 若实数ω>0‎，若函数f(x)‎＝cos(ωx)+sin(ωx)‎的最小正周期为π，则ω＝________． ‎ ‎ ‎ ‎6. 设全集U={x|x<5，x∈N‎*‎}‎，集合A={1，2}‎，B={2，4}‎，则‎∁‎U‎(A∪B)=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知复数z满足‎(3+i)z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是________． ‎ ‎ ‎ ‎8. 若函数f(x)=‎x‎1‎‎2‎，则f(x)‎的反函数f‎-1‎‎(x)‎的定义域是________． ‎ ‎ ‎ ‎9. 若线性方程组的增广矩阵为‎2‎‎3‎c‎1‎‎0‎‎1‎c‎2‎解为x=3‎y=5‎‎ ‎，则c‎1‎‎-‎c‎2‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图，在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB=1,BC=2,BB‎1‎=3, ∠ABC=‎‎90‎‎∘‎，点D为侧棱BB‎1‎上的动点.当AD+DC‎1‎最小时，三棱锥D-ABC‎1‎的体积为________. ‎ ‎ ‎ ‎11. 如图所示，点F是抛物线y‎2‎‎=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y‎2‎‎=8x及圆‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则‎△FAB的周长的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎12. 若a=log‎2‎3‎，则‎2‎a‎+‎2‎‎-a=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知x，y满足约束条件x-y+4≥0，‎x≤2，‎x+y+k≥0，‎且z=x+3y的最小值为‎2‎，则常数k=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎14. 五名三中学生中午打篮球，将校服放在篮球架旁边，打完球回教室时由于时间太紧，只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有________种．（具体数字作答） ‎ ‎ ‎ ‎15. 已知‎(ax+b‎)‎‎6‎的展开式中x‎4‎项的系数与x‎5‎项的系数分别为‎135‎与‎-18‎，则‎(ax+b‎)‎‎6‎展开式所有项系数之和为________． ‎ ‎ ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎16. 已知双曲线C过点‎2‎3‎,-1‎，且与双曲线x‎2‎‎12‎‎-y‎2‎‎6‎=1‎有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________． ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知平面向量a‎→‎，b‎→‎，c‎→‎满足a‎→‎‎⊥‎b‎→‎，且‎{|a‎→‎|, |b‎→‎|, |c‎→‎|}={1, 2, 3}‎，则‎|a‎→‎+b‎→‎+c‎→‎|‎的最大值是________． ‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数f(x)=sin(2x+φ) ‎（其中φ是实数），若f(x)≤|f(π‎12‎)|‎对x∈R恒成立，且f(π‎2‎)>f(0)‎，则f(x)‎的单调递减区间是________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 15 分 ，共计75分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎19. 在空间四边形ABCD中，已知AD=1,BC=‎‎3‎，且AD⊥BC，对角线BD=‎13‎‎2‎,AC=‎‎3‎‎2‎，求AC和BD所成的角． ‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数 f(x)=lnx-ax‎2‎-(2-a)x. ‎ ‎(1)‎讨论函数 f(x)‎的单调性；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎记函数g(x)=lnxx+ax‎2‎+(1-a)x+a-1‎，当a≤2-‎‎1‎e时，证明：对任意的 x∈(0,+∞)‎，都有f(x)+g(x)<0‎. ‎ ‎ ‎ ‎21. 已知函数f(x)=x+ax，(a>0)‎有如下性质：该函数在‎(0,a]‎上是减函数，在‎(a，+∞)‎上是增函数． ‎ ‎（1）若a=4‎，求f(x)‎在区间‎[1, 3]‎上的最大值与最小值；‎ ‎ ‎ ‎（2）若x∈[1, 3]‎时，不等式f(x)≥2‎恒成立，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知椭圆C：x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎4‎=1‎ ，直线l:y=‎1‎‎2‎x+t(t>0)‎与椭圆C交于A,B两点( AB‎→‎为从左向右方向)，使‎△OAB的面积最大，O为坐标原点. ‎ ‎(1)‎求直线l的方程及A，B的坐标； ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若椭圆上的两点D，E(不与顶点重合，且A，B，D，E构成顺时针方向或逆时针方向）满足DE//AB，点E关于x轴的对称点是点F，求证： BF//AD.‎ ‎ ‎ ‎23. 已知‎{an}‎是由正数组成的数列，其前n项和Sn与an之间满足an‎+‎1‎‎2‎=‎2Sn+‎‎1‎‎4‎(n∈N‎*‎)‎． ‎ ‎(1)‎求‎{an}‎的通项an；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设bn‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎nan，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：对于复数z，若z+z‎¯‎=0‎，z不一定为纯虚数，反之，若z为纯虚数，则z+z‎¯‎=0‎． ∴ “z+z‎¯‎=0‎”是“z为纯虚数”的必要非充分条件． 故选：B．‎ ‎2.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：由不等式x+5‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎≥2‎得x+5‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎-2≥0‎， 变形得‎-2x‎2‎+5x+3‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎≥0‎， 即‎(x+‎1‎‎2‎)(x-3)≤0,‎x-1≠0‎， 解得 ‎[-‎1‎‎2‎，1)∪(1,3]‎. 故选D.‎ ‎3.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：∵ 角α的终边经过点‎(3, -4)‎，则sinα=-‎‎4‎‎5‎，cosα=‎‎3‎‎5‎， ∴ sin(α+π‎4‎)=sinαcosπ‎4‎+cosαsinπ‎4‎ ‎=-‎4‎‎5‎×‎2‎‎2‎+‎3‎‎5‎×‎2‎‎2‎ =-‎‎2‎‎10‎. 故选D．‎ ‎4.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：∵ limx→0‎f(1)-f(1-x)‎‎2x‎=-1‎， ∴ ‎1‎‎2‎limx→0‎f(1)-f(1-x)‎x‎=-1‎ ∴ limx→0‎f(1)-f(1-x)‎x‎=-2‎ ∴ f'(1)=-2‎ 即曲线y=f ‎(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线的斜率是‎-2‎， 故选D．‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ） ‎ ‎5.【答案】‎ ‎2‎ ‎【解答】‎ 实数ω>0‎，若函数f(x)‎＝cos(ωx)+sin(ωx)sin(ωx)‎的最小正周期为π， ∴ π，∴ ω＝‎2‎，‎ ‎6.【答案】‎ ‎{3}‎ ‎【解答】‎ 解：A∪B={1，2，4}‎， ‎∁‎U‎(A∪B)={3}‎. 故答案为：‎{3}‎.‎ ‎7.【答案】‎ ‎1-3i ‎【解答】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 解：∵ ‎(3+i)z=10i， ∴ ‎(3-i)(3+i)z=10i(3-i)‎， ∴ ‎10z=10(3i+1)‎， 化为z=1+3i， 则复数z的共轭复数是‎1-3i. 故答案为：‎1-3i.‎ ‎8.【答案】‎ ‎[0, +∞)‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 函数f(x)=x‎1‎‎2‎≥0‎，则f(x)‎的反函数f‎-1‎‎(x)‎的定义域是‎[0, +∞)‎． 故答案为：‎[0, +∞)‎．‎ ‎9.【答案】‎ ‎16‎ ‎【解答】‎ 解：由题意知x=3‎y=5‎‎ ‎，是方程组‎2x+3y=‎c‎1‎y=‎c‎2‎‎ ‎的解， 即c‎1‎‎=6+15=21，‎c‎2‎‎=5，‎‎ ‎ 则c‎1‎‎-c‎2‎=21-5=16‎， 故答案为：‎16‎. ‎ ‎10.【答案】‎ ‎1‎‎3‎ ‎【解答】‎ ‎ ‎ 解：三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎展开矩形ACC‎1‎A‎1‎，如图， 连接AC‎1‎交BB‎1‎于D，‎此时AD+DC‎1‎最小， ‎∵ AB=1,BC=2,BB‎1‎=3,∠ABC=‎‎90‎‎∘‎， 点D为侧棱BB‎1‎上的动点， ∴ 当AD+DC‎1‎最小时，BD=1‎， 此时三棱锥D-ABC‎1‎的体积： VD-ABC‎1‎‎=VC‎1‎‎-ABD ‎‎=‎1‎‎3‎×S‎△ABD×B‎1‎C‎1‎ ‎‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×AB×BD×B‎1‎C‎1‎ ‎‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×1×1×2 =‎‎1‎‎3‎. 故答案为：‎1‎‎3‎.‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎12.【答案】‎ ‎10‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a=log‎2‎3‎， ∴ ‎2‎a‎+‎2‎‎-a=‎2‎log‎2‎‎3‎+‎‎2‎‎-log‎2‎3‎ ‎=3+‎1‎‎3‎=‎‎10‎‎3‎. 故答案为：‎10‎‎3‎.‎ ‎13.【答案】‎ ‎-2‎ ‎【解答】‎ 解：作出不等式组x-y+4≥0，‎x≤2，‎x+y+k≥0‎所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z=x+3y得y=-‎1‎‎3‎x+‎z‎3‎，结合图形知当直线y=-‎1‎‎3‎x+‎z‎3‎过点A时，z最小，解x=2，‎x+y+k=0‎，得得A(2,-2-k)‎，此时zmin‎=2+3(-2-k)=2‎，解得k=-2‎． 故答案为：‎-2‎．‎ ‎14.【答案】‎ ‎20‎ ‎【解答】‎ 解：根据题意，分‎2‎步进行分析： ①、先从五名学生中任取‎2‎人，作为拿对自己衣服的同学，有C‎5‎‎2‎‎=10‎种情况； ②、剩余的‎3‎人，都没有拿对自己衣服， ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 假设这‎3‎人为A、B、C，则A有‎2‎种取法，B、C只有一种取法， 则剩余‎3‎人都没有拿对自己衣服的情况有‎2‎种； 故‎5‎人中只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有‎10×2=20‎种； 故答案为：‎20‎．‎ ‎15.【答案】‎ ‎64‎ ‎【解答】‎ ‎(ax+b‎)‎‎6‎的展开式中x‎4‎项的系数与x‎5‎项的系数分别为‎135‎与‎-18‎， ∴ ‎∁‎‎6‎‎4‎‎⋅a‎4‎⋅‎b‎2‎＝‎135‎①， ‎∁‎‎6‎‎5‎‎⋅a‎5‎⋅b＝‎-18‎②； 由①、②组成方程组‎15a‎4‎b‎2‎=135‎‎6a‎5‎b=-18‎‎ ‎， 解得a＝‎1‎，b＝‎-3‎或a＝‎-1‎、b＝‎3‎； ∴ 令x＝‎1‎，求得‎(ax+b‎)‎‎6‎展开式中所有项系数之和为‎2‎‎6‎＝‎64‎．‎ ‎16.【答案】‎ x‎2‎‎10‎‎-y‎2‎‎5‎=1‎ ‎【解答】‎ 解：与x‎2‎‎12‎‎-y‎2‎‎6‎=1‎有共同渐近线方程可设为：x‎2‎‎12‎‎-y‎2‎‎6‎=λ(λ≠0)‎， 代入‎(2‎3‎,-1)‎， 解得λ=‎‎5‎‎6‎， ‎∴ ‎双曲线方程为x‎2‎‎10‎‎-y‎2‎‎5‎=1‎． 故答案为：x‎2‎‎10‎‎-y‎2‎‎5‎=1‎．‎ ‎17.【答案】‎ ‎3+‎‎5‎ ‎【解答】‎ 解：分别以a‎→‎‎，‎b‎→‎所在的直线为x，y轴建立直角坐标系， ①当‎{|a‎→‎|, |b‎→‎|}={1, 2}‎，‎|c‎→‎|=3‎，则a‎→‎‎+b‎→‎=(1,2)‎， 设c‎→‎‎=(x,y)‎，则x‎2‎‎+y‎2‎=9‎， ∴ a‎→‎‎+b‎→‎+c‎→‎=(1+x, 2+y)‎， ∴ ‎|a‎→‎+b‎→‎+c‎→‎|=‎‎(x+1‎)‎‎2‎+(y+2‎‎)‎‎2‎的最大值， 其几何意义是圆x‎2‎‎+y‎2‎=9‎上点‎(x, y)‎与定点‎(-1, -2)‎的距离的最大值为 ‎3+‎(0+2‎)‎‎2‎+(0+1‎‎)‎‎2‎=3+‎‎5‎； ②当‎{|a‎→‎|, |b‎→‎|}={1, 3}‎，‎|c‎→‎|=2‎， 则a‎→‎‎+b‎→‎=(1,3)‎， 设c‎→‎‎=(x, y)‎，则x‎2‎‎+y‎2‎=4‎， ∴ a‎→‎‎+b‎→‎+c‎→‎=(1+x, 3+y)‎， ∴ ‎|a‎→‎+b‎→‎+c‎→‎|=‎‎(x+1‎)‎‎2‎+(y+3‎‎)‎‎2‎的最大值， 其几何意义是圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎上点‎(x, y)‎与定点‎(-1, -3)‎的距离的最大值为 ‎2+‎(0+1‎)‎‎2‎+(0+3‎‎)‎‎2‎=2+‎‎10‎， ③当‎{|a‎→‎|, |b‎→‎|}={2, 3}‎，‎|c‎→‎|=1‎，则a‎→‎‎+b‎→‎=(2,3)‎， 设c‎→‎‎=(x,y)‎，则x‎2‎‎+y‎2‎=1‎， ∴ a‎→‎‎+b‎→‎+c‎→‎=(2+x, 3+y)‎， ∴ ‎|a‎→‎+b‎→‎+c‎→‎|=‎‎(x+2‎)‎‎2‎+(y+3‎‎)‎‎2‎的最大值，其几何意义是圆x‎2‎‎+y‎2‎=1‎ 上点‎(x, y)‎与定点‎(-2, -3)‎的距离的最大值为‎1+‎(0+2‎)‎‎2‎+(0+3‎‎)‎‎2‎=1+‎‎13‎， ∵ ‎1+‎13‎<3+‎5‎，2+‎10‎<3+‎‎5‎， 故‎|a‎→‎+b‎→‎+c‎→‎|‎的最大值为‎3+‎‎5‎． 故答案为：‎3+‎‎5‎.‎ ‎18.【答案】‎ ‎[kπ-‎5π‎12‎, kπ+π‎12‎]‎‎，‎k∈Z ‎【解答】‎ 由题意，f(x)≤|f(π‎12‎)|‎对x∈R恒成立，可得x=‎π‎12‎时函数f(x)‎的对称轴． 即π‎6‎‎+φ=π‎2‎+kπ，可得φ=kπ+‎π‎3‎．k∈Z 令k=1‎，可得φ=‎‎4π‎3‎，那么f(π‎2‎)=sin(π+‎4π‎3‎)=sinπ‎3‎>f(0)=sin(‎4π‎3‎)‎， 故得f(x)‎的其中一个解析式为：f(x)=sin(2x+‎4π‎3‎)‎．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ 令π‎2‎‎+2kπ≤2x+‎4π‎3‎≤‎3π‎2‎+2kπ， 得：kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+‎π‎12‎， ∴ f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ-‎5π‎12‎, kπ+π‎12‎]‎，k∈Z，‎ 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 15 分 ，共计75分 ） ‎ ‎19.【答案】‎ ‎90‎‎∘‎ ‎【解答】‎ AB‎、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则‎∠EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EF=‎1‎‎2‎BD=‎13‎‎4‎,FG=‎1‎‎2‎AC=‎‎3‎‎4‎，再取AC的中点H，则EH//BC，HG//AD， ∵ AD⊥BC，∴ EH⊥HG， ∴ EG‎2‎=EH‎2‎+HG‎2‎=1‎. 在‎△EFG中，EG‎2‎=EF‎2‎+FG‎2‎=1‎， ∴ ‎∠EFG=‎‎90‎‎∘‎，∴ AC与BD所成的角为‎90‎‎∘‎.‎ ‎20.【答案】‎ 解：‎(1)‎由题设知，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-2ax-(2-a)‎ ‎=-‎2ax‎2‎+(2-a)x-1‎x(x>0)‎， 当a≥0‎时，f‎'‎‎(x)=-‎‎(2x-1)(ax+1)‎x, 由于x>0‎ ，所以当 x∈(0,‎1‎‎2‎)‎ 时，f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎单调递增； 当x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎，f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减. 当a<0‎ 时,f‎'‎‎(x)=-‎‎2a(x-‎1‎‎2‎)(x+‎1‎a)‎x， ①当‎1‎‎2‎‎>-‎‎1‎a，即a<-2‎时，由于 x>0‎ , 可知当x∈(-‎1‎a,‎1‎‎2‎)‎时f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减； 当x∈(0,-‎1‎a)‎ 或x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎ 时，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎ 单调递增． ②当a=-2‎时，f‎'‎‎(x)=‎4(x-‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎x≥0,x∈(0,+∞)‎，f(x)‎单调递增； ③当‎1‎‎2‎‎<-‎‎1‎a，即‎-20‎， 可知当x∈(‎1‎‎2‎,-‎1‎a)‎ 时，f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减； 当x∈(0,‎1‎‎2‎)‎或 x∈(-‎1‎a,+∞)‎，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎单调递增． ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)‎设F(x)=f(x)+g(x)‎ ，由题设 F(x)=lnx-ax‎2‎-(2-a)x+lnxx+ax‎2‎+(1-a)x+a-1 ‎‎=lnx-x+lnxx+a-1, ‎当a≤2-‎‎1‎e时，要证F(x)<0‎ 在‎(0,+∞)‎上恒成立， 可只需证lnx-x<-lnxx-a+1‎在‎(0,+∞)‎上恒成立， 令h(x)=lnx-x,φ(x)=-lnxx-a+1‎, 因为h‎'‎‎(x)=‎1‎x-1‎ ,易得h(x)‎在‎(0,1)‎上递增，在‎(1,+∞)‎上递减， 故h(x)≤h(1)=-1‎， 由φ(x)=-lnxx-a+1‎得φ‎'‎‎(x)=-‎1-lnxx‎2‎=lnx-1‎x‎2‎(x>0)‎， 当‎0e时，φ‎'‎‎(x)>0‎， 所以φ(x)‎在‎(0,e)‎上递减，在‎(e,+∞)‎上递增， 所以φ(x)≥φ(e)=-‎1‎e+1-a 又a≤2-‎1‎e,∴ -‎1‎e+1-a≥-1，‎  即h(x‎)‎max≤φ(x‎)‎min,但等号不可取， 所以lnx-x<-lnxx-a+1‎在‎(0,+∞)‎上恒成立， 故当a≤2-‎‎1‎e 时，对任意的x∈(0,+∞)‎，f(x)+g(x)<0‎恒成立‎.‎ ‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎由题设知，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-2ax-(2-a)‎ ‎=-‎2ax‎2‎+(2-a)x-1‎x(x>0)‎， 当a≥0‎时，f‎'‎‎(x)=-‎‎(2x-1)(ax+1)‎x, 由于x>0‎ ，所以当 x∈(0,‎1‎‎2‎)‎ 时，f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎单调递增； 当x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎，f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减. 当a<0‎ 时,f‎'‎‎(x)=-‎‎2a(x-‎1‎‎2‎)(x+‎1‎a)‎x， ①当‎1‎‎2‎‎>-‎‎1‎a，即a<-2‎时，由于 x>0‎ , 可知当x∈(-‎1‎a,‎1‎‎2‎)‎时f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减； 当x∈(0,-‎1‎a)‎ 或x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎ 时，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎ 单调递增． ②当a=-2‎时，f‎'‎‎(x)=‎4(x-‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎x≥0,x∈(0,+∞)‎，f(x)‎单调递增； ③当‎1‎‎2‎‎<-‎‎1‎a，即‎-20‎， 可知当x∈(‎1‎‎2‎,-‎1‎a)‎ 时，f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎单调递减； 当x∈(0,‎1‎‎2‎)‎或 x∈(-‎1‎a,+∞)‎，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎单调递增． ‎ ‎(2)‎设F(x)=f(x)+g(x)‎ ，由题设 F(x)=lnx-ax‎2‎-(2-a)x+lnxx+ax‎2‎+(1-a)x+a-1 ‎‎=lnx-x+lnxx+a-1, ‎当a≤2-‎‎1‎e时，要证F(x)<0‎ 在‎(0,+∞)‎上恒成立， 可只需证lnx-x<-lnxx-a+1‎在‎(0,+∞)‎上恒成立， 令h(x)=lnx-x,φ(x)=-lnxx-a+1‎, 因为h‎'‎‎(x)=‎1‎x-1‎ ,易得h(x)‎在‎(0,1)‎上递增，在‎(1,+∞)‎上递减， 故h(x)≤h(1)=-1‎， 由φ(x)=-lnxx-a+1‎得φ‎'‎‎(x)=-‎1-lnxx‎2‎=lnx-1‎x‎2‎(x>0)‎， 当‎0e时，φ‎'‎‎(x)>0‎， 所以φ(x)‎在‎(0,e)‎上递减，在‎(e,+∞)‎上递增， 所以φ(x)≥φ(e)=-‎1‎e+1-a 又a≤2-‎1‎e,∴ -‎1‎e+1-a≥-1，‎  即h(x‎)‎max≤φ(x‎)‎min,但等号不可取， 所以lnx-x<-lnxx-a+1‎在‎(0,+∞)‎上恒成立， 故当a≤2-‎‎1‎e 时，对任意的x∈(0,+∞)‎，f(x)+g(x)<0‎恒成立‎.‎ ‎ ‎21.【答案】‎ 解：（1）a=4‎时，f(x)=x+‎‎4‎x， 则f(x)‎在‎[1, 2]‎上单调递减，在‎[2, 3]‎上单调递增， fmin‎(x)=f(2)=4‎， fmax‎(x)=max ‎{f(1), f(3)}=‎‎13‎‎3‎；‎ ‎（2）①若‎00‎， x‎1‎‎+x‎2‎=-2t，x‎1‎x‎2‎‎=2t‎2‎-8‎， ‎|AB|=‎1+‎‎1‎‎4‎|x‎1‎-x‎2‎| ‎‎=‎5‎‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ =‎‎5‎‎2‎‎32-4‎t‎2‎， 点O到l的距离d=t‎5‎‎2‎=‎‎2t‎5‎， ∴ S‎△OAB‎=‎1‎‎2‎d⋅|AB|‎ ‎=t‎5‎⋅‎5‎‎2‎‎32-4‎t‎2‎ =t‎8-‎t‎2‎， S‎△OAB‎2‎‎=t‎2‎(8-t‎2‎) ‎‎=-t‎4‎+8t‎2‎ =-(t‎2‎-4‎)‎‎2‎+16≤16‎， ∴ S‎△OABmax‎=4‎ 此时t‎2‎‎=4‎，即t=2‎， ∴ l:y=‎1‎‎2‎x+2‎，x‎1‎‎+x‎2‎=-4‎，x‎1‎x‎2‎‎=0‎， ∴ x‎1‎‎=-4‎，x‎2‎‎=0‎，A(-4,0)‎，B(0,2)‎.‎ ‎(2)‎证明：∵ DE//AB， ∴ 设直线DE为l‎2‎‎:y=‎1‎‎2‎x+m，D(x‎3‎,y‎3‎)‎，E(x‎4‎,y‎4‎)‎， ∴ F(x‎4‎,-y‎4‎)‎， kAD‎=‎y‎3‎x‎3‎‎+4‎，kBF‎=‎‎-y‎4‎-2‎x‎4‎. 证BF//AD，即证kAD‎=‎kBF， 即y‎3‎x‎3‎‎+4‎‎=‎‎-y‎4‎-2‎x‎4‎， 即y‎3‎x‎4‎‎=-(y‎4‎+2)(x‎3‎+4)‎， 即x‎3‎x‎4‎‎+m(x‎3‎+x‎4‎)+2(x‎3‎+x‎4‎)+8+4m=0‎.① x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎y=‎1‎‎2‎x+m‎⇔2x‎2‎+4mx+4m‎2‎-16=0‎， Δ>0‎. 代入①式得‎2m‎2‎-8+m(-2m)+2(-2m)+8+4m=0‎. ∴ 原式得证即BF//AD.‎ ‎【解答】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(1)‎解：设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎， x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+t,‎‎⇔2x‎2‎+4tx+4t‎2‎-16=0‎. Δ>0‎， x‎1‎‎+x‎2‎=-2t，x‎1‎x‎2‎‎=2t‎2‎-8‎， ‎|AB|=‎1+‎‎1‎‎4‎|x‎1‎-x‎2‎| ‎‎=‎5‎‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ =‎‎5‎‎2‎‎32-4‎t‎2‎， 点O到l的距离d=t‎5‎‎2‎=‎‎2t‎5‎， ∴ S‎△OAB‎=‎1‎‎2‎d⋅|AB|‎ ‎=t‎5‎⋅‎5‎‎2‎‎32-4‎t‎2‎ =t‎8-‎t‎2‎， S‎△OAB‎2‎‎=t‎2‎(8-t‎2‎) ‎‎=-t‎4‎+8t‎2‎ =-(t‎2‎-4‎)‎‎2‎+16≤16‎， ∴ S‎△OABmax‎=4‎ 此时t‎2‎‎=4‎，即t=2‎， ∴ l:y=‎1‎‎2‎x+2‎，x‎1‎‎+x‎2‎=-4‎，x‎1‎x‎2‎‎=0‎， ∴ x‎1‎‎=-4‎，x‎2‎‎=0‎，A(-4,0)‎，B(0,2)‎.‎ ‎(2)‎证明：∵ DE//AB， ∴ 设直线DE为l‎2‎‎:y=‎1‎‎2‎x+m，D(x‎3‎,y‎3‎)‎，E(x‎4‎,y‎4‎)‎， ∴ F(x‎4‎,-y‎4‎)‎， kAD‎=‎y‎3‎x‎3‎‎+4‎，kBF‎=‎‎-y‎4‎-2‎x‎4‎. 证BF//AD，即证kAD‎=‎kBF， 即y‎3‎x‎3‎‎+4‎‎=‎‎-y‎4‎-2‎x‎4‎， 即y‎3‎x‎4‎‎=-(y‎4‎+2)(x‎3‎+4)‎， 即x‎3‎x‎4‎‎+m(x‎3‎+x‎4‎)+2(x‎3‎+x‎4‎)+8+4m=0‎.① x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎y=‎1‎‎2‎x+m‎⇔2x‎2‎+4mx+4m‎2‎-16=0‎， Δ>0‎. 代入①式得‎2m‎2‎-8+m(-2m)+2(-2m)+8+4m=0‎. ∴ 原式得证即BF//AD.‎ ‎23.【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ an‎+‎1‎‎2‎=‎2Sn+‎‎1‎‎4‎(‎且n∈N‎*‎)‎， 两边平方化为Sn‎=‎1‎‎2‎(an‎2‎+an)‎． ∴ a‎1‎‎=‎1‎‎2‎(a‎1‎‎2‎+a‎1‎)‎， ∵ a‎1‎‎>0‎，解得a‎1‎‎=1‎． 当n≥2‎时，Sn-1‎‎=‎1‎‎2‎(an-1‎‎2‎+an-1‎)‎， ∴ an‎=Sn-Sn-1‎=‎1‎‎2‎(an‎2‎+an)-‎1‎‎2‎(an-1‎‎2‎+an-1‎)‎， 化为‎(an+an-1‎)(an-an-1‎-1)=0‎， ∵ an‎+an-1‎>0‎，∴ an‎-an-1‎=1‎， ∴ 数列‎{an}‎为公差是‎1‎的等差数列， ∴ an‎=1+(n-1)×1=n．‎ ‎(2)bn=(‎1‎‎2‎‎)‎n⋅an=‎n‎2‎n‎， ∴ 数列‎{bn}‎的前n项和Tn‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+...+‎n‎2‎n， ∴ ‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+...+n-1‎‎2‎n+‎n‎2‎n+1‎， ∴ ‎1‎‎2‎Tn‎=Tn-‎1‎‎2‎Tn=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+...+‎1‎‎2‎n-‎n‎2‎n+1‎， ∴ Tn‎=1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+...+‎1‎‎2‎n-1‎-‎n‎2‎n ‎=‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎-n‎2‎n ‎‎=2-‎2+n‎2‎n =‎‎2‎n+1‎‎-n-2‎‎2‎n．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎∵ an‎+‎1‎‎2‎=‎2Sn+‎‎1‎‎4‎(‎且n∈N‎*‎)‎， 两边平方化为Sn‎=‎1‎‎2‎(an‎2‎+an)‎． ∴ a‎1‎‎=‎1‎‎2‎(a‎1‎‎2‎+a‎1‎)‎， ∵ a‎1‎‎>0‎，解得a‎1‎‎=1‎． 当n≥2‎时，Sn-1‎‎=‎1‎‎2‎(an-1‎‎2‎+an-1‎)‎， ∴ an‎=Sn-Sn-1‎=‎1‎‎2‎(an‎2‎+an)-‎1‎‎2‎(an-1‎‎2‎+an-1‎)‎， 化为‎(an+an-1‎)(an-an-1‎-1)=0‎， ∵ an‎+an-1‎>0‎，∴ an‎-an-1‎=1‎， ∴ 数列‎{an}‎为公差是‎1‎的等差数列， ∴ an‎=1+(n-1)×1=n．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)bn=(‎1‎‎2‎‎)‎n⋅an=‎n‎2‎n‎， ∴ 数列‎{bn}‎的前n项和Tn‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+...+‎n‎2‎n， ∴ ‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+...+n-1‎‎2‎n+‎n‎2‎n+1‎， ∴ ‎1‎‎2‎Tn‎=Tn-‎1‎‎2‎Tn=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+...+‎1‎‎2‎n-‎n‎2‎n+1‎， ∴ Tn‎=1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+...+‎1‎‎2‎n-1‎-‎n‎2‎n ‎=‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎-n‎2‎n ‎‎=2-‎2+n‎2‎n =‎‎2‎n+1‎‎-n-2‎‎2‎n．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页