2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质教学案

2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质教学案

第1讲　函数的图象与性质 ‎[考情考向·高考导航]‎ ‎1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．‎ ‎2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．‎ ‎3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．‎ ‎[真题体验]‎ ‎1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)‎ A．y＝ln(1－x)　　　　　　 B．y＝ln(2－x)‎ C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)‎ 解析：B　[y＝ln x过点(1,0)，(1,0)关于x＝1的对称点是(1,0)，而只有B选项过此点，故选B.]‎ ‎2．(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)‎ A．e－x－1 B．e－x＋1‎ C．－e－x－1 D．－e－x＋1‎ 解析：D　[当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，‎ 又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝e－x－1，‎ 即f(x)＝－e－x＋1.]‎ ‎3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ 解析：B　[∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)是奇函数，排除选项A；又∵f(1)＝e－>1，排除选项C、D，故选B.]‎ - 15 -‎ ‎4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)‎ C．(－1,0) D．(－∞，0)‎ 解析：‎ D　[画出函数f(x)的图象如图，①当2x＜0，x＋1≥0时f(x＋1)＜f(2x)成立，∴－1≤x＜0.②当2x≤0，x＋1≤0时，要使f(x＋1)＜f(2x)成立，只需x＋1＞2x，∴x≤－1.由①②知满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．]‎ ‎[主干整合]‎ ‎1．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图．‎ 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．‎ ‎2．函数的性质 ‎(1)单调性 对于函数y＝f(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔y＝f(x)在D上是增(减)函数；‎ 对于函数y＝f(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，＞0(＜0)⇔y＝f(x)在D上是增(减)函数．‎ ‎(2)奇偶性 对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)＋f(－x)＝0⇔y＝f(x)是奇函数；‎ 对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)－f(－x)＝0⇔y＝f(x)是偶函数．‎ ‎(3)周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；‎ ‎②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；‎ ‎③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；‎ ‎④若函数满足f(x＋a)＝－，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)．‎ - 15 -‎ ‎(4)对称性 ‎①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．提醒：函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象对称轴为x＝0，并非直线x＝a.‎ ‎②若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎③若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．‎ 热点一　函数及其表示 ‎[题组突破]‎ ‎1．(2020·苏州模拟)函数f(x)的定义域是[0,3]，则函数y＝的定义域是____________________．‎ 解析：因为函数f(x)的定义域是[0,3]，所以由得即≤x＜2且x≠1，‎ 即函数的定义域为.‎ 答案： ‎2．(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．‎ 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为4，所以y＝sin(2x＋4)，f(15)＝f(－1)，f(－1)＝＝，‎ ‎∴f(f(15))＝f＝cos＝.‎ 答案： ‎3．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．‎ 解析：由题意：g(x)＝f(x)＋f＝，函数g(x)在区间(－∞，0]，，三段区间内均单调递增，且：g＝1,20＋0＋＞1，(＋1)×20－1＞1，据此x的取值范围是：.‎ 答案： ‎4．(多选题)在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)‎ - 15 -‎ A．f(x)＝x－1，g(x)＝ B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0‎ D．f(x)＝，g(x)＝ 解析：BD　[本题考查判断两个函数是否相同．对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)＝|x＋1|＝对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于D，函数f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]‎ ‎　‎ 函数及其表示问题的注意点 ‎1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．‎ ‎2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．‎ 热点二　函数的图象及其应用 ‎[例1]　(1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ ‎[解析]　D　[∵f(－x)＝＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，排除A.‎ 当x＝π时，f(π)＝＞0，排除B，C.故选D.]‎ ‎(2)‎ - 15 -‎ 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)‎ A．{x|－1＜x≤0}‎ B．{x|－1≤x≤1}‎ C．{x|－1＜x≤1}‎ D．{x|－1＜x≤2}‎ ‎[解析]　‎ C　[令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．‎ 由得 ‎∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]‎ 识图、用图的方法技巧 ‎(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．如例1(1)‎ ‎(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)‎ ‎(1)(2019·南昌三模)函数f(x)＝的部分图象大致是(　　)‎ 解析：B　[因为函数f(x)的定义域为∪∪，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，‎ 所以f(x)的图象关于y轴对称，故排除A，‎ - 15 -‎ 令f(x)＝0，即＝0，解得x＝0，‎ 所以函数f(x)只有一个零点，故排除D，‎ 当x＝1时，f(1)＝＜0，故排除C，‎ 综上所述，只有B符合．]‎ ‎(2)(2019·德州三模)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．‎ 解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4.故当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6.‎ 答案：6‎ 热点三　函数的性质及其应用 数学 抽象 素养 数学抽象——抽象函数与函数的“三性”‎ 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.‎ ‎　　　　确定函数的单调性、奇偶性、对称性等 ‎[例2]　(1)(2019·唐山调研)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)‎ A．f(x)在(0,2)单调递增 B．f(x)在(0,2)单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 ‎[解析]　C　[由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误；又f′(x)＝－＝(0＜x＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A、B错误．故选C.]‎ ‎(2)(2019·大同三模)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x - 15 -‎ 的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　 B.∪(1，＋∞)‎ C. D.∪ ‎[解析]　A　[f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)⇒|x|＞|2x－1|⇒＜x＜1.]‎ 函数性质的综合应用 ‎[例3]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)‎ A．－50　　　　　　　　 B．0‎ C．2 D．50‎ ‎[解析]　C　[f(x)是奇函数，图象关于原点对称，‎ 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)关于x＝1对称，故知f(x)是周期函数，周期T＝4.‎ 又∵f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(－2)＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.]‎ ‎(2)(2019·武汉三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x，则(　　)‎ A．f(－3)＜f(2)＜f B．f＜f(－3)＜f(2)‎ C．f(2)＜f(－3)＜f D．f(2)＜f＜f(－3)‎ ‎[解析]　D　[因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，即函数的周期是2，‎ 当x∈[－1,1]时，f(x)＝x＝x·，则f(－x)＝－x·＝－x·＝x·＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，‎ 当0≤x＜1时，函数y＝x为增函数，y＝1－也为增函数，则函数f(x)＝x＝x·在0≤x＜1为增函数，则f＝f＝f，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝‎ - 15 -‎ f(1)，f(2)＝f(0)，则f(0)＜f＜f(1)，即f(2)＜f＜f(－3)．]‎ 函数三个性质的应用 ‎(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．‎ ‎(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．‎ ‎(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．‎ ‎(1)(2019·贵阳调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为6的周期函数，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．‎ 又f(x)是定义在R上偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ 答案：6‎ ‎(2)(2019·青岛三模)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：‎ ‎①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是减函数；③函数y＝f(x)没有最小值；④函数f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 其中正确的序号是________．‎ 解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知①②④正确．‎ 答案：①②④‎ - 15 -‎ 限时40分钟　满分80分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．3 D．－3‎ 解析：D　[解法一　由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D.‎ 解法二　令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x)ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D.]‎ ‎2．(2020·唐山摸底)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 解析：A　[通解　由已知可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.‎ 优解　根据题意知f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]‎ ‎3．(2019·合肥调研)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．2 D．－2‎ 解析：D　[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ 设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝log2(－x＋1)，‎ 因为f(－x)＝－f(x)，‎ 所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，‎ - 15 -‎ 所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，‎ 所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，‎ 所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.]‎ ‎4．(2020·大连模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：‎ ‎(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；‎ ‎(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0.‎ ‎①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．‎ 以上四个函数中，“优美函数”的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：B　[由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．‎ 对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]‎ ‎5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝(－x＋a＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常数，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，则f(m－3)＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．6 D．－6‎ 解析：C　[由题意知f(0)＝a＋1＋m＝0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，当x≥0时，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.]‎ ‎6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：‎ 给出下列四个命题：‎ ‎①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；‎ ‎②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；‎ ‎③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；‎ - 15 -‎ ‎④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：B　[由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.‎ 对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．‎ 再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，‎ g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．‎ 对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．‎ 对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．‎ 再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．‎ 对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．‎ 综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]‎ ‎7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 022)的值为(　　)‎ A．2 018 B．－2 018‎ C．0 D．4‎ 解析：C　[依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.]‎ ‎8．(2019·苏州调研)函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ - 15 -‎ 解析：C　[令f(x)＝，‎ ‎∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，‎ ‎∴排除选项A，D.‎ 由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)，‎ 故函数f(x)的定义域关于原点对称．‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.]‎ ‎9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)．当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为(　　)‎ 解析：B　[因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＝2时取等号，且f(x)的最小值为1，所以a＝2，b＝1，所以g(x)＝|x＋1|，其图象关于直线x＝－1对称，又g(x)＝|x＋1|≤0＝1，所以B.]‎ ‎10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝＋sin x，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)等于(　　)‎ A．2 B．2 019‎ - 15 -‎ C．2 018 D．0‎ 解析：A　[由题意得f(x)＋f(－x)＝2，‎ ‎∴f(2 018)＋f(－2 018)＝2，‎ 由f(x)＋f(－x)＝2可得f(x)－1＋f(－x)－1＝0，‎ ‎∴y＝f(x)－1为奇函数，‎ ‎∴y＝f(x)－1的导函数为偶函数，‎ 即y＝f′(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，‎ ‎∴f′(2 019)－f′(－2 019)＝0，‎ ‎∴f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝2.故选A.]‎ ‎11．(2019·定州二模)已知a＞0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　)‎ A．2 017 B．2 019‎ C．4 040 D．4 036‎ 解析：D　[由题意得f(x)＝＝2 019－.‎ 因为y＝2 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，‎ 所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，‎ 所以M＋N＝f(a)＋f(－a)‎ ‎＝4 038－－＝4 036.]‎ ‎12．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数 C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：A　[因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ - 15 -‎ ‎13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f(x)＝log(x2＋2)＋，若f(2x＋1)≥f(x)，则实数x的取值范围是____________．‎ 解析：易知f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x＋1|≤|x|，解得－1≤x≤－，∴x∈.‎ 答案： ‎14．(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝____________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是____________．‎ 解析：若函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)恒成立，即(a＋1)(ex＋e－x)＝0恒成立，欲(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立．需a＋1＝0，即a＝－1时，所以a＝－1.‎ 若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.‎ 即实数a的取值范围是(－∞，0]．‎ 答案：－1　(－∞，0]‎ ‎15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f(x)＝若f(e2)＝f(1)，f(e)＝f(0)，则函数f(x)的值域为________________．‎ 解析：由题意可得解得∴当x＞0时，f(x)＝(ln x)2－2ln x＋3＝(ln x－1)2＋2≥2；当x≤0时，＜ex＋≤e0＋＝，则函数f(x)的值域为∪[2，＋∞)．‎ 答案：∪[2，＋∞)‎ ‎16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：‎ ‎①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)‎ ‎③y＝1－ex；④f(x)＝；⑤y＝.‎ 其中是“H函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)‎ 解析：因为x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，所以f(x1)(x1－x2)－f(x2)(x1－x2)≥0，即[f(x1)－f(x2)](x1－x2)≥0，分析可得，若函数f(x)为“H函数”，则函数f(x)为增函数或常函数．对于①，y＝－x3＋x＋1，则y′＝－3x2＋1，所以y＝－x3＋x＋1既不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”；对于②，y＝3x－2(sin x－cos x)，则y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－2sin＞0，所以y＝3x－2(sin x－cos x)是R - 15 -‎ 上的增函数，故其是“H函数”；对于③，y＝1－ex是R上的减函数，故其不是“H函数”；对于④，f(x)＝当x＜1时，是常函数，当x≥1时，是增函数，且当x＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝，当x≠0时，y＝，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.‎ 答案：②④‎ - 15 -‎