广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测 数学(文)试题

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文档介绍

广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测 数学(文)试题

广东省潮州市2020届高三上学期期末 数学(文)试题 一、单选题 ‎1.若为虚数单位,且,则 A.   B.  C.  D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】略 ‎2.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于(  )‎ ‎(A){0} (B){0,2}‎ ‎(C){-2,0} (D){-2,0,2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.‎ ‎3.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于()‎ A. B. C.2 D.9‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ 点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎4.“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的( ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎·16·‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】数列既是等差数列又是等比数列,则可知是常数列,所以充分性成立;‎ 若是常数列,则不是等比数列,所以必要性不成立,‎ 所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的充分不必要条件,故选A。‎ ‎5.函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据定义域及特殊点可判断.‎ ‎【详解】‎ 解:∵的图象与轴交于,且点的纵坐标为正,∴,故,定义域为 其函数图象间断的横坐标为正,∴,故.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ ‎·16·‎ 本题考查函数图象的识别,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎6.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩小于139分钟 运动员人数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由系统抽样的定义,所抽取的样本编号成等差数列,由此可知小于139分的能抽取的人数.‎ ‎【详解】‎ 共有35人,抽取7人,每5人中抽取一个,小于139分的有10人,应制取2人.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样,掌握系统抽样的定义是解题基础.一般系统抽样制取出的样本的编号是成等差数列的.‎ ‎7.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知式分子分母同除以,化为的等式,解之可得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,∴,解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角间的三角函数关系.在出现的齐次式可常常用弦化切的方法,直接转化为为的关系式,然后求解.‎ ‎·16·‎ ‎8.若实数满足,则的最大值和最小值分别为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由不等式组作出可行域,令,数形结合求出的最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:由作可行域如图,‎ 令,则,‎ 由图可知,当过时,截距最大,最大值为;‎ 当过时,截距最小,最小值为.‎ 的最大值和最小值分别为2,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题,数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法.属于中档题.‎ ‎9.在平行四边形中,,,则该四边形的面积为( )‎ ‎·16·‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算得,因此有.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,,∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积与向量垂直的关系,掌握向量垂直的数量积表示是解题基础.即对非零向量,.‎ ‎10.如图,四棱锥的底面为正方形,,则下列结论中不正确的是( )‎ A. B.‎ C.平面平面 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由底面正方形及,确定线线间的垂直关系,判断各个结论的正确性.‎ ‎【详解】‎ ‎,在平面的射影与垂直,则,A正确;‎ 在平面的射影与垂直,则,B正确;‎ ‎·16·‎ 利用上述垂直可得平面,从而有平面平面,C正确;‎ 若,则垂直在平面内的射影,这是不可能的,D错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的判断,掌握三垂线定理及其逆定理是解题基础.‎ ‎11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )‎ A.2 B.2 C.4 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),‎ 即点(-2,-1)在抛物线的准线上,又由抛物线y2=2px的准线方程为x="-p" 2 ,则p=4,‎ 则抛物线的焦点为(2,0);‎ 则双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2;‎ 点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为y=±1 2 x,‎ 由双曲线的性质,可得b=1;‎ 则c=" 5" ,则焦距为2c=2;‎ 故选A.‎ ‎12.已知的内角所对的边分别是,且,若边上的中线,则的外接圆面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理求出,由平方后可求得即,再由已知求得,结合正弦定理可求得外接圆半径,从而得外接圆面积.‎ ‎【详解】‎ ‎∵, ∴,.‎ ‎·16·‎ 又是中点,∴,‎ ‎∴,‎ 即,解得,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理、正弦定理,考查向量的线性运算.解题关键是是利用向量线性运算把表示为,平方后易求得.‎ 二、填空题 ‎13.曲线在点处的切线方程为 ___________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数在时的导数,得切线斜率,从而写出切线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意,∴,切线方程为,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义.求函数图象在某点处的切线,只要求出导数,即为该点处的切线斜率,由点斜式得出直线方程.‎ ‎·16·‎ ‎14.已知函数的一条对称轴为,则的值是 _______________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的对称轴,由对称轴是求出的表达式,根据范围得出结论..‎ ‎【详解】‎ ‎,,由,得,,‎ 又,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的对称性,三角函数()的对称轴为,求得,对称中心为,.‎ ‎15.若数列满足,,则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题通过递推式直接将代入在依次类推则可得出。‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 通过观察上式得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考察递推式的应用,若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解。‎ ‎16.已知抛物线上有三点,直线的斜率分别为,则 ‎·16·‎ 的重心坐标为 _______________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出三点坐标,由直线斜率公式写出斜率,化简后可求得三点坐标,从而得重心坐标.‎ ‎【详解】‎ 设,则 ‎,即,,即①,同理②,③,由①②③联立可解得,,,设重心为,则..‎ ‎∴重心坐标为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线相交问题,已知直线斜率,可设出抛物线上点的坐标,利用点在抛物线上,及斜率公式可得,同理可得,这样可求得三个点的纵坐标,可以你入抛物线方程求得相应的横坐标.从而求出重心坐标.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列满足.若,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)63‎ ‎【解析】(1)求出公差和首项,可得通项公式;‎ ‎(2)由得公比,再得,结合通项公式求得.‎ ‎·16·‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意等差数列的公差,,,‎ ‎∴;‎ ‎(2)由(1),∴,,‎ ‎∴,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列与等比数列的通项公式,掌握基本量法是解题基础.‎ ‎18.如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,,为的中点.‎ ‎(I)证明平面;‎ ‎(II)求四面体的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)取的中点,然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形,从而得到,由此结合线面平行的判断定理可证;(Ⅱ)由条件可知四面体N-BCM的高,即点到底面的距离为棱的一半,由此可顺利求得结果.‎ 试题解析:(Ⅰ)由已知得,取的中点,连接,由为中点知,.‎ 又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.‎ 因为平面,平面,所以平面.‎ ‎·16·‎ ‎(Ⅱ)因为平面,为的中点,‎ 所以到平面的距离为.‎ 取的中点,连结.由得,.‎ 由得到的距离为,故.‎ 所以四面体的体积.‎ ‎【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 ‎【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求三棱锥的体积关键是确定其高,而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置,当然有时也采取割补法、体积转换法求解.‎ ‎19.某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%,通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率:用随机数(,且)表示是否下雨:当时表示该地区下雨,当时,表示该地区不下雨,从随机数表中随机取得20组数如下 ‎332 714 740 945 593 468 491 272 073 445‎ ‎992 772 951 431 169 332 435 027 898 719‎ ‎(1)求出的值,并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率;‎ ‎(2)从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量(单位:)如下表:(其中降雨量为0表示没有下雨).‎ 时间 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 ‎2019年 ‎·16·‎ 年份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 降雨量 ‎29‎ ‎28‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎25‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎22‎ ‎21‎ 经研究表明:从2011年开始至2020年, 该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回归,求回归直线,并计算如果该地区2020年()清明节有降雨的话,降雨量为多少?(精确到0.01)‎ 参考公式:.‎ 参考数据:,,‎ ‎,.‎ ‎【答案】(1),概率为;(2)回归直线方程为:,2020年清明节有降雨的话,降雨量约为.‎ ‎【解析】(1)根据每天下雨概率可求得,在所给20组数确定表示3天中恰有2天下雨的组数,然后计算概率;‎ ‎(2)计算,根据所给数据求出回归直线方程中的系数,得回归直线方程,令可得2020年的预估值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得,即表示下雨,表示不下雨,‎ 所给20组数中有714,740,945,593,491,272,073,951,169,027共10组表示3‎ ‎·16·‎ 天中恰有两天下雨,∴所求概率为.‎ ‎(2)由所给数据得,,‎ ‎,,‎ ‎∴回归直线方程为:,‎ 时,,‎ ‎∴2020年清明节有降雨的话,降雨量约为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽样方法中的随机数表法,考查回归直线方程及应用,只要根据所给数据计算即可.本题还考查学生的数据处理能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若,求证:当时,‎ ‎【答案】(1)增区间是,减区间是;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;‎ ‎(2)时,成立,在时,变形为,取对数得,分离参数:,由(1)可求得的最小值,从而证得结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)定义域是,,当时,,递减,时,,递增,‎ ‎∴增区间是,减区间是;‎ ‎(2)时,时, 显然成立,‎ ‎·16·‎ 当时,,‎ 由(1)在上递减,在上递增,‎ ‎∴,也是上的最小值,∴,而时,,‎ ‎∴时,恒成立,∴.‎ 综上时,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数研究函数的单调性,用导数证明函数不等式.求函数的单调区间,就是求出导函数后,由确定增区间,由确定减区间;第(2)小题不等式的证明,首先对这种显而易见的情形说明,然后在时,把不等式变形,通过取对数化为证明 ‎,而可用第(1)结论求出最小值,这样就非常容易地完成证明.也符合出题者的意图.‎ ‎21.已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎(ii)当最小时,求点T的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)由题意,又,由此可求出的值,从而求得椭圆的方程.(2)椭圆方程化为.设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.(ⅰ)设PQ的中点为,求出,只要,即证得OT平分线段PQ.(ⅱ)可用表示出PQ,TF可得:化简得:.再根据取等号的条件,可得T的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎·16·‎ ‎(1),又.‎ ‎(2)椭圆方程化为.‎ ‎(ⅰ)设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.‎ 设PQ的中点为,则 又TF的方程为,则得,‎ 所以,即OT过PQ的中点,即OT平分线段PQ.‎ ‎(ⅱ),又,所以 ‎.‎ 当时取等号,此时T的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程的求解,考查了直线与圆锥曲线的位置关系,考查了最值问题的求解方法,属于中档题.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知动点都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与,为的中点.‎ ‎(1)求的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎【答案】(Ⅰ),(为参数,)(Ⅱ)过坐标原点 ‎【解析】试题分析:(1)由题,得,则,可得参数方程;(2)由两点距离公式可得点到坐标原点的距离为,由此的轨迹过坐标原点.‎ 试题解析:(1)由题意有,,因此 ‎·16·‎ ‎,的轨迹的参数方程为(为参数,).‎ ‎(2)点到坐标原点的距离为,当时,,故的轨迹过坐标原点.‎ ‎【考点】坐标系与参数方程.‎ ‎23.设函数 ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析:本题第(1)问,可由绝对值不等式的几何意义得出,从而得出结论;对第(2)问,由去掉一个绝对值号,然后去掉另一个绝对值号,解出的取值范围.‎ 试题解析:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知:,当且仅当时,取等号,所以.‎ ‎(2)因为,所以 ‎,解得:.‎ ‎【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.‎ ‎【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎·16·‎
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