上海理工大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（解析版）

上海理工大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（解析版）

第 1 页（共 16 页） 2015-2016 学年上海理工大附中高二（上）期中数学试卷 　 一、填空题 1．等差数列{an}中，a1=2，a2=5，则 a5=_　　　　　　． 　 2．数列{an}的前 n 项和 ，则其通项公式 an=　　　　　　． 　 3．已知向量 ， ，若向量 、 互相垂直，则 x=　　　　　　． 　 4．（文）等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则 a7+a8=　　　　　　． 　 5．公差不为零的等差数列{an}中，a1=10，a1，a3，a7 成等比数列，则公差 d=　　　　　　． 　 6．向量 ，则 的最大值和最小值的和是　　　　　　． 　 7．数列{an}的前 n 项和 ，则 a1+a3+…+a2n﹣1=　　　　　　． 　 8．已知点 P 在线段 AB 上且 ，若 ，则 λ=　　　　　　． 　 9．已知 ， ， 、 的夹角为 60°，则 =　　　　　　． 　 10．若 ， 是两个不共线的向量，已知 =2 +k ， = +3 ， =2 ﹣ ，若 A， B，D 三点共线，则 k=　　　　　　． 　 11．已知{an}是等差数列，其公差 d＜0，其前 n 项和记为 Sn，且 S16＞0，S17＜0，则当 Sn 取最大值 时的 n=　　　　　　． 第 2 页（共 16 页） 　 12．将正奇数排成如图所示的三角形数表： 其中第 i 行第 j 个数记为 aij（i、j∈N*），例如 a42=15，若 aij=2015，则 i+j=　　　　　　． 　 　 二、选择题 13．已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 　 14．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， = ，则 λ=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 　 15．在等比数列{an}中，a1＞1，且前 n 项和 Sn 满足 Sn= ，那么 a1 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1， ） 　 16．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ，λ∈[0，+∞），则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 　 　 三、解答题（17、18、19、20 每题 10 分；21 题 12 分，共 52 分） 17．已知 ， ，当 k 为何值时， （1） 与 垂直？ 第 3 页（共 16 页） （2） 与 平行？平行时它们是同向还是反向？ 　 18．已知数列{an}满足：a1=a， （1）求 a2，a3，a4 的值，并猜想出 an 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 　 19．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 3an+1+2Sn=3（n 为正整数）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记 S=a1+a2+…+an+…若对任意正整数 n，kS≤Sn 恒成立，求实数 k 的最大值． 　 20．设两向量 e1、e2 满足| |=2，| |=1， 、 的夹角为 60°，若向量 2t +7 与向量 +t 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围． 　 21．（1）已知数列{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn．若 a4+a5=0，试分别比较 S5 与 S3、S2 与 S6 的大小关系． （2）已知数列{an}为等差数列，{an}的前 n 项和为 Sn．证明：若存在正整数 k，使 ak+ak+1=0，则 Sm=S2k﹣m（m∈N*，m＜2k）． （3）在等比数列{bn}中，设{bn}的前 n 项乘积 Tn=b1•b2•b3…bn，类比（2）的结论，写出一个与 Tn 有关的类似的真命题，并证明． 　 　 第 4 页（共 16 页） 2015-2016 学年上海理工大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题 1．等差数列{an}中，a1=2，a2=5，则 a5=_　14　． 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知求出等差数列的公差，然后代入等差数列的通项公式求得 a5． 【解答】解：在等差数列{an}中，由 a1=2，a2=5，得 d=a2﹣a1=5﹣2=3， 则 a5=a1+4d=2+4×3=14． 故答案为：14． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题． 　 2．数列{an}的前 n 项和 ，则其通项公式 an=　 　． 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；整体思想；分析法；等差数列与等比数列． 【分析】当 n≥2 时利用 an=Sn﹣Sn﹣1 计算进而可得结论． 【解答】解：当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+3﹣2n﹣1﹣3=2n﹣1， 又∵a1=2+3=5 不满足上式， ∴通项公式 an= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题． 　 3．已知向量 ， ，若向量 、 互相垂直，则 x=　﹣4　． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算． 第 5 页（共 16 页） 【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】通过向量垂直，数量积为 0，求解即可． 【解答】解：向量 ， ，若向量 、 互相垂直， 可得﹣12=3x，解得 x=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查向量的垂直与斜率的数量积的运算，考查计算能力． 　 4．（文）等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则 a7+a8=　240　． 【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】由等比数列的性质可得a3+a4=（a1+a2）q2，把已知的 a1+a2=30，a3+a4=60 代入求出 q2 的值 ，进而得到 q6 的值，再利用等比数列的性质得到 a7+a8=（a1+a2）q6，把已知 a1+a2=30 及求出的 q6 值代入，即可求出值． 【解答】解：由等比数列的性质可得：a3+a4=（a1+a2）q2， ∵a1+a2=30，a3+a4=60， ∴q2=2， ∴q6=（q2）3=8， 则 a7+a8=（a1+a2）q6=30×8=240． 故答案为：240 【点评】此题考查了等比数列的性质，属于利用等比数列的通项公式求解数列的项的问题，考生常 会直接利用通项公式把已知条件用首项、公比表示，解出首项及公比，代入到所求的式子，而这样 的解法一般计算量比较大，而灵活运用等比数列的性质，采用整体求解的思想，可以简化运算． 　 5．公差不为零的等差数列{an}中，a1=10，a1，a3，a7 成等比数列，则公差 d=　5　． 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】a1，a3，a7 成等比数列，可得 =a1a7，代入化简解出即可． 【解答】解：∵a1，a3，a7 成等比数列， ∴ =a1a7， 第 6 页（共 16 页） ∴（10+2d）2=10（10+6d），d≠0， 则公差 d=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 6．向量 ，则 的最大值和最小值的和是　24　． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】利用几何运用得出当 与 同方向时， 的最大值，当 与 反方向时， 的最 小值即可得出答案． 【解答】解：∵向量 ， ∴当 与 同方向时， 的最大值为 12+8=20， 当 与 反方向时， 的最小值为 12﹣8=4， 的最大值和最小值的和是 20+4=24 故答案为：24 【点评】本题考察了向量的几何运算，分类讨论的思想，属于容易题，关键判断最大值，最小值的 情况． 　 7．数列{an}的前 n 项和 ，则 a1+a3+…+a2n﹣1=　1+ 2n﹣1．　． 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知得 4Sn=an+4，4Sn﹣1=an﹣1+4，n≥2，两式相减，得 an=﹣ ，n≥2，当 n=1 时， 得 a1= ，由此能求出 a1+a3+…+a2n﹣1 的值． 【解答】解：∵数列{an}的前 n 项和 ， 第 7 页（共 16 页） ∴4Sn=an+4，4Sn﹣1=an﹣1+4，n≥2， 两式相减，得：4an=an﹣an﹣1，n≥2， ∴an=﹣ ，n≥2， 当 n=1 时， ，解得 a1= ， ∴an= ∴a1+a3+…+a2n﹣1= =1﹣（﹣ ）2n﹣1=1+ 2n﹣1．． 故答案为：1+ 2n﹣1． 【点评】本题考查数列的前 2n﹣1 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性 质的合理运用． 　 8．已知点 P 在线段 AB 上且 ，若 ，则 λ=　2　． 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由题意得 = + =2 ，从而解得． 【解答】解：∵ ， ∴ = + =2 ， ∴λ=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用． 　 9．已知 ， ， 、 的夹角为 60°，则 =　 　． 【考点】向量的模． 【专题】计算题． 【分析】利用两个向量的数量积的定义求出 的值，由 = = 求得结果． 【解答】解：∵已知 ， ， 、 的夹角为 60°，∴ =2×3cos60°=3， 第 8 页（共 16 页） ∴ = = = = ， 故答案为 ． 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出 的值，是解题的关键． 　 10．若 ， 是两个不共线的向量，已知 =2 +k ， = +3 ， =2 ﹣ ，若 A， B，D 三点共线，则 k=　﹣8　． 【考点】向量的共线定理． 【专题】计算题． 【分析】先求出 ，利用 A，B，D 三点共线， = ，求出 k 即可． 【解答】解： =（2 ﹣ ）﹣（ +3 ）= ﹣4 因为 A，B，D 三点共线， 所以 = ，已知 =2 +k ， = ﹣4 所以 k=﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查向量的共线定理，考查运算能力，是基础题． 　 11．已知{an}是等差数列，其公差 d＜0，其前 n 项和记为 Sn，且 S16＞0，S17＜0，则当 Sn 取最大值 时的 n=　8　． 【考点】等差数列的前 n 项和． 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】S16＞0，S17＜0，利用等差数列的前 n 项和公式 a8＞0，a9＜0，又公差 d＜0，即可得出． 【解答】解：∵S16＞0，S17＜0， ∴ ＞0，17a1+ ＜0， 化为 2a1+15d＞0，a1+8d＜0， 即 a8+a9＞0，a9＜0， ∴a8＞0，a9＜0， 又公差 d＜0， 第 9 页（共 16 页） ∴数列{an}是单调递减数列， ∴当 Sn 取最大值时的 n=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前 n 项和公式、数列的单调性，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题． 　 12．将正奇数排成如图所示的三角形数表： 其中第 i 行第 j 个数记为 aij（i、j∈N*），例如 a42=15，若 aij=2015，则 i+j=　63　． 【考点】归纳推理． 【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列；推理和证明． 【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第 i 行（其中 i∈N*）有 i 个奇数，且从左到右按从小到 大的顺序排列，则 2015 是第 1008 个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数 【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015 是第 1008 个奇数，应排在 i 行（其中 i∈N*）， 则 1+2+3+…+（i﹣1）= i（i﹣1）＜1008①， 且 1+2+3+…+i= i（i+1）＞1006②； 验证 i=45 时，①②式成立，所以 i=45； 第 45 行第 1 个奇数是 2× ×44×45+1=1981， 而 1981+2（j﹣1）=2015， ∴j=18； 所以，2015 在第 45 行第 18 个数，则 i+j=63． 故答案为：63 【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同 性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 　 二、选择题 第 10 页（共 16 页） 13．已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即 5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、 六、八、十项的和即 5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果． 【解答】解： ， 故选 C． 【点评】等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项， 有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数． 　 14．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， = ，则 λ=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】本题要求字母系数，办法是把 表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即 用 和 表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给 的条件比较，写出 λ． 【解答】解：在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点 ∵ =2 ， = ， ∴ = ， ∴λ= ， 故选 A． 【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底 给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量． 　 15．在等比数列{an}中，a1＞1，且前 n 项和 Sn 满足 Sn= ，那么 a1 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1， ） 第 11 页（共 16 页） 【考点】极限及其运算． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】在等比数列{an}中， Sn= ，由题意可知 ， = ，再由 a1＞1，|q|＜1 能 够推导出 a1 的取值范围． 【解答】解：由题意知 Sn= = ， ∴a12=1﹣q， ∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2， ∴ ． 故选 D． 【点评】本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算． 　 16．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ，λ∈[0，+∞），则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【分析】先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 + 的方向 与∠BAC 的角平分线一致，再由 可得到 =λ（ + ），可得答案． 【解答】解：∵ 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量 ∴ + 的方向与∠BAC 的角平分线一致 又∵ ，∴ =λ（ + ） 第 12 页（共 16 页） ∴向量 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选 B． 【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题． 　 三、解答题（17、18、19、20 每题 10 分；21 题 12 分，共 52 分） 17．已知 ， ，当 k 为何值时， （1） 与 垂直？ （2） 与 平行？平行时它们是同向还是反向？ 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】计算题． 【分析】先求出 的坐标， （1）利用向量垂直的充要条件：数量积为 0，列出方程求出 k． （2）利用向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等，列出方程求出 k，将 k 代入两向量 的坐标，判断出方向相反． 【解答】解：k =（1，2）﹣3（﹣3，2）=（10，﹣4） （1） ，得 =10（k﹣3）﹣4（2k+2） =2k﹣38=0，k=19 （2） ，得﹣4（k﹣3）=10（2k+2），k=﹣ 此时 k （10，﹣4），所以方向相反． 【点评】本题考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、向量的坐标形式的数量积公式、向量共 线的坐标形式的充要条件． 　 18．已知数列{an}满足：a1=a， （1）求 a2，a3，a4 的值，并猜想出 an 的表达式； 第 13 页（共 16 页） （2）用数学归纳法证明你的猜想． 【考点】数学归纳法；数列递推式． 【专题】证明题；探究型；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由 a1=a， ，分别令 n=1，2，3，能求出 a2，a3，a4 的值，根据前四项的 值，总结规律能猜想出 an 的表达式． （2）当 n=1 时，验证猜相成立；再假设 n=k 时，猜想成立，由此推导出当 n=k+1 时猜想成立，由 此利用数学归纳法能证明猜想成立． 【解答】（1）解：∵数列{an}满足：a1=a， ， ∴a2= ， = ， a4= = ． 由此猜想 an= ． （2）证明：①当 n=1 时， =a，成立； ②假设 n=k 时，成立，即 ， 则 = ，成立， 由①②，得 an= ． 【点评】本题考查数列的前四项的求法和通项公式的猜想及证明，是中档题，解题时要注意递推思 想和数学归纳法的合理运用． 　 19．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 3an+1+2Sn=3（n 为正整数）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记 S=a1+a2+…+an+…若对任意正整数 n，kS≤Sn 恒成立，求实数 k 的最大值． 【考点】数列递推式；数列与不等式的综合． 第 14 页（共 16 页） 【专题】计算题． 【分析】（1）3an+1+2sn=3，3an+2sn﹣1=3，两式相减，得 3an+1﹣3an+2（Sn﹣Sn﹣1）=0，由此能求 出数列{an}的通项公式． （2）S= = ，由此能求出 k 的最大值． 【解答】解：（1）由题设条件得 3an+1+2sn=3，3an+2sn﹣1=3 两式相减，得 3an+1﹣3an+2（Sn﹣Sn﹣1）=0， 即 ，n＞1 又 ， 所以通项为： ． （2）S= = ， 要 kS≤Sn 恒成立，由于 Sn 递增 所以只要 kS=S1，即 k 的最大值为 ． 【点评】本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等 式和数列的综合应用． 　 20．设两向量 e1、e2 满足| |=2，| |=1， 、 的夹角为 60°，若向量 2t +7 与向量 +t 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围． 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题． 【分析】欲求实数 t 的取值范围，先根据条件，利用向量积的运算求出（2t +7 ）•（ +t ） 的值，由于夹角为钝角，所以计算得到的值是负值，最后解出这个不等式即可得到实数 t 的取值范 围． 【解答】解： 2=4， 2=1， • =2×1×cos60°=1， ∴（2t +7 ）•（ +t ）=2t 2+（2t2+7） • +7t 2=2t2+15t+7． ∴2t2+15t+7＜0． 第 15 页（共 16 页） ∴﹣7＜t＜﹣ ．设 2t +7 =λ（ +t ）（λ＜0）⇒ ⇒2t2=7⇒t=﹣ ， ∴λ=﹣ ． ∴当 t=﹣ 时，2t +7 与 +t 的夹角为 π． ∴t 的取值范围是（﹣7，﹣ ）∪（﹣ ，﹣ ）． 【点评】本题考查平面向量积的运算，同时考查一元二次不等式的解法． 　 21．（1）已知数列{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn．若 a4+a5=0，试分别比较 S5 与 S3、S2 与 S6 的大小关系． （2）已知数列{an}为等差数列，{an}的前 n 项和为 Sn．证明：若存在正整数 k，使 ak+ak+1=0，则 Sm=S2k﹣m（m∈N*，m＜2k）． （3）在等比数列{bn}中，设{bn}的前 n 项乘积 Tn=b1•b2•b3…bn，类比（2）的结论，写出一个与 Tn 有关的类似的真命题，并证明． 【考点】等差数列的性质． 【专题】探究型；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，由 a4+a5=0，可得 ．分别利用等差数列的前 n 项和公式可得：S5，S3，S2，S6．即可得出大小关系． （2）设等差数列{an}的公差为 d，存在正整数 k，使 ak+ak+1=0，可得 a1= ．作差 S2k﹣m﹣Sm 即可得出． （3）在等比数列{bn}中，设{bn}的前 n 项乘积 Tn=b1•b2•b3…bn，若存在正整数 k，使 bkbk+1=1，则 Tm=T2k﹣m（m∈N*，m＜2k）．利用等比数列的通项公式及其等差数列的前 n 项和公式即可得出． 【解答】（1）解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a4+a5=0， ∴2a1+7d=0，解得 ． ∴S5=5a1+ =﹣ d， S3= =﹣ d， ∴S5=S3． S2= =﹣14d； 第 16 页（共 16 页） S6=6a1+ =﹣30d． 当 d≥0 时，S2≥S6． 当 d＜0 时，S2＜S6． （2）证明：设等差数列{an}的公差为 d， ∵存在正整数 k，使 ak+ak+1=0， ∴2a1+（2k﹣1）d=0． ∴a1= ． 则 S2k﹣m﹣Sm=（2k﹣m）a1+ d﹣[ ] =（2k﹣2m）× +[2k2﹣k（2m+1）+m]d =[﹣2k2+（2m+1）k﹣m]d+[2k2﹣k（2m+1）+m]d =0． （3）在等比数列{bn}中，设{bn}的前 n 项乘积 Tn=b1•b2•b3…bn，若存在正整数 k，使 bkbk+1=1，则 Tm=T2k﹣m（m∈N*，m＜2k）． 证明：∵bkbk+1=1，∴ =1． ∴ = = = = =1． 则 Tm=T2k﹣m（m∈N*，m＜2k）． 【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．