数学理（B）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

数学理（B）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 理科数学（B）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·石家庄质检]已知命题，，则是成立的（ ）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要 ‎2．[2018·黄山一模]已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·长春一模]下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018·天一大联考]已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3.1‎ ‎4‎ 则（ ）‎ A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6‎ ‎5．[2018·乌鲁木齐一模]若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A．0 B．2 C．5 D．6‎ ‎6．[2018·常德期末]已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·福州质检]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·衡水中学]已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·西城期末]已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·郑州一中]在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2018·西北师大附中]在等腰梯形中，且，，，其中，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·丹东一检]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________．‎ ‎14．[2018·郑州一中]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．‎ ‎15．[2018·乌鲁木齐一模]在中，，，是的外心，若，则______________．‎ ‎16．[2018·长春一模]已知函数满足，且当时．若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·渭南一模]已知在中，，且．‎ ‎（1）求角，，的大小；‎ ‎（2）设数列满足，前项和为，若，求的值．‎ ‎18．[2018·石家庄一检]某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；‎ ‎（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出 的分布列，并求出期望．‎ ‎19．[2018·亳州质检]如图，多面体中，是正方形，是梯形，，，平面且，分别为棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．[2018·闽侯四中]已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．‎ ‎（1）求与的标准方程；‎ ‎（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．‎ ‎21．[2018·淮南一模]已知函数．‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·承德期末]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求出曲线的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎23．[2018·南阳一中]已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．‎ ‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 理科数学（B）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】，因为，所以是成立的必要不充分条件，选B．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】复数，，‎ ‎．‎ 若是实数，则，解得．故选A．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在上单调递增，故满足条件；C是偶函数，在上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在上不单调．故答案为B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得，‎ ‎，，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值，．本题选C．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】由成等比数列得，，，，，，选C．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故，，故选D．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】设，，则，因为，所以，由基本不等式有，故，所以，选B．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】该三棱锥的图象如图所示，由，，，可得，，易证平面．‎ 在中，由余弦定理可得，即，‎ 以为轴，以为轴建立如图所示的坐标系，则，，，，设三棱锥的外接球球心为，‎ 则，‎ 解得：，，，∴外接球的半径为，‎ ‎∴外接球的表面积为，故选C．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】如图，过作交于，则，，所以，，所以，，所以，令，则，因，故，所以，选C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，即，‎ ‎∴，∴．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当，时，，，，运算程序依次继续：，，；，，；，，；，，；，运算程序结束，输出，应填答案．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，，，则：‎ ‎，‎ ‎，‎ 如图所示，作，，‎ 则，，‎ 综上有：，求解方程组可得：，故．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】，，当时，；‎ ‎，故函数，‎ 作函数与的图象如下，‎ 过点时，，，，；故，故，故实数的取值范围是．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1），，；（2）或．‎ ‎【解析】（1）由已知，又，所以．又由，‎ 所以，所以，‎ 所以为直角三角形，，．‎ ‎（2）．‎ 所以，，‎ 由，得，所以，所以，所以或．‎ ‎18．【答案】（1），；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题，解得，‎ ‎．‎ ‎（2）成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ 所以的分布列为：‎ ‎．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，是正方形，‎ ‎∴，∵分别为棱的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴，∵，，‎ ‎∴平面，∴，从而，‎ ‎∵，是中点，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（2）由已知，，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ ‎∴，，设平面的一个法向量为，‎ 由得，令，则，‎ 由（1）可知平面，‎ ‎∴平面的一个法向量为，‎ 设平面和平面所成锐二面角为，则，‎ 所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，，‎ 解得，，故椭圆的标准方程为．‎ 又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，‎ ‎，‎ 即，‎ 联立，消去整理得，．‎ 依题意，，是方程的两根，，‎ ‎，，‎ 将和代入得，‎ 解得，（不合题意，应舍去）‎ 联立，消去整理得，，‎ 令，解得．‎ 经检验，，符合要求．‎ 此时，，‎ ‎．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）存在两点为，．‎ ‎【解析】（1）∵，又，∴，‎ 故所求切线方程为即．‎ ‎（2）设所求两点为，，，，不妨设，‎ ‎∵，‎ 由题意：，‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴，，‎ 又，∴，∴，‎ 解得：，（舍），，（舍）‎ 所以，存在两点为，即为所求．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）的普通方程为；（2）的最小值为．‎ ‎【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；‎ ‎，① ，②‎ ‎①×②消可得：，‎ 因为，所以，所以的普通方程为．‎ ‎（2）直线的直角坐标方程为：．‎ 由（1）知曲线与直线无公共点，‎ 由于的参数方程为（为参数，，），‎ 所以曲线上的点到直线的距离为：‎ ‎，‎ 所以当时，的最小值为．‎ ‎23．【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式可化为，‎ ‎①当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式可化为，解得，所以．‎ ‎③当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 综上所述，当时，不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在恒成立，‎ 所以，即，‎ 即，所以，‎ 解得，故所求实数的取值范围是．‎