数学（理）卷·2018届天津市六校（静海一中，宝坻一中等）高三上学期期末联考（2018

数学（理）卷·2018届天津市六校（静海一中，宝坻一中等）高三上学期期末联考（2018

‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高三数学（理）试卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．‎ ‎（1）若集合，那么=（ ）.‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）已知实数满足则目标函数的最大值为（ ）.‎ ‎（A） （B） （C）4 （D）‎ 第（3）题 ‎（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为（ ）.‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）设是首项大于零的等比数列，则“”是 ‎“数列为递增数列”的（ ）.‎ ‎（A）充分而不必要条件 ‎ ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎ ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知双曲线 与抛物线共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则的值是（　 ）. ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C）4 （D）‎ ‎（6）已知函数，则, ,的大小关系是（ ）.‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）已知是的外心，，若，且，则的面积为（　 ）. ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数，函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．‎ ‎（9）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第______象限．‎ 第（12）题 ‎（10）直线l的参数方程为.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（＞0，），则圆心C到直线l的距离为______.‎ ‎（11）已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项 二项式系数的和之比为64，则展开式中的系数等于______．‎ ‎（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为的半球拼接组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该 几何体的表面积为，则=______.‎ ‎（13）在锐角中，分别为角所对的边，且，＝，且的面积为，则=______．‎ ‎（14）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上，若，则实数的取值范围为______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期，并求当时，函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，求的值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面⊥底面．‎ ‎（Ⅰ）设的中点为，求证：⊥底面；‎ ‎（Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为60°，求的值．‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的焦距为，且与椭圆有相同离心率，直线与椭圆交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足，（为坐标原点），求实数取值范围．‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）的极小值为,当时，求证：．‎ ‎（为自然对数的底）‎ ‎2017～2018学年度第一学期期末六校考试 高三数学（理）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．‎ ‎（1）A．提示：‎ ‎（2）C．提示：相交于点 ‎ ‎∴．‎ ‎（3）B．提示： ．‎ ‎（4）B．必要而不充分条件． ‎ ‎（5）D．提示：由抛物线的焦点①‎ 设公共点，代入到抛物线方程得到，‎ 从而② ‎ 由①②可得到．‎ 于是，．‎ ‎（6）A．提示： 是偶函数，在上恒大于零，‎ ‎ 所以在单调递增.‎ ‎∵，，‎ ‎.‎ ‎（7）D．提示：取AC中点D，因为是的外心，则.‎ ‎.‎ 又，‎ ‎==．‎ 又，．‎ ‎．‎ ‎（8）D．提示：由，得．‎ 作函数与函数的图象，‎ 当时，两个函数图象恒有两个公共点；‎ 当时, 两个函数图象仅有一个公共点；‎ 当时，‎ ‎①若，此时函数图象与函数，有两个公共点；‎ ‎②若，此时函数图象与函数相切，函数与函数的图象仅有一个公共点；‎ ‎③若时，此时函数与函数的图象无公共点．‎ 所以．‎ 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（9）三． 提示：．‎ ‎（10）．提示：圆和直线的直角坐标方程分别是， ，则圆心C到直线l的距离．‎ ‎（11）．提示：令，由已知，．‎ ‎（12）．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积，得到． ‎ ‎（13）．提示：由正弦定理得．又三角形是锐角三角形，∴．．再由余弦定理，有，．‎ ‎（14）．提示：令 得到，为奇函数．‎ 又∵在上，‎ 单调递增．‎ 而由奇函数性质得到上单调递增.‎ 已知，且，‎ 有，即．‎ ‎∴．解得．‎ 三、解答题：本大题6小题，满分80分．‎ ‎（15）本题满分13分．‎ 解：(Ⅰ)‎ ‎ ， ……………………3分 ‎． ……………………4分 又，所以，且在上单调递减．‎ 又，‎ 所以的值域为． ……………………7分 ‎(Ⅱ)由，则． ……………………8分 又．……………………9分 又 ……………13分 ‎（16）本题满分13分．‎ 解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，‎ 所以． …………………………4分 ‎（Ⅱ）随机变量X所有可能的取值为2，3，4，‎ ‎；‎ ‎；‎ 于是． ………………………10分 所以随机变量X的概率分布列如下表：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此随机变量X的数学期望 E(X)＝2×＋3×＋4×＝. ………………………………13分 ‎（17）本题满分13分．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵侧面是正三角形，的中点为，∴．‎ ‎∵侧面⊥底面，侧面底面，侧面，‎ ‎∴⊥底面． ……………………3分 ‎（Ⅱ）连接，设，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎．‎ ‎……………………4分 设平面的法向量 ‎，则．…………6分 ‎． ……………………8分 另解：可求得四棱锥的体积，三棱锥的体积=1，，进而可得三棱锥的高．又，于是． ‎ ‎（Ⅲ）设 ， ……………………9分 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由． ‎ 由，‎ 可取，得． ……………………11分 又平面的法向量，‎ ‎．‎ ‎．解得 ．‎ 所以，此时． ……………………13分 ‎（18）本题满分13分．‎ 解：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即．   ‎ 当时，，∴， ‎ ‎．即．而， ∴．‎ 即当时，．又，‎ ‎∴数列是首项和公差均为1的等差数列．…………………………4分 于是，∴．   ……………………………6分 ‎（Ⅱ）∵，∴ ． ………………8分 ‎∴ ‎ ‎………………10分 由，得，即，‎ 又∵单调递减，且，‎ ‎∴的最大值为4．  ………………………………13分 ‎（19）本题满分14分．‎ 解：（I）由已知可 解得．  ………………………3分 ‎ 所求椭圆的方程． ……………………………4分 ‎（II）由得， ‎ ‎．‎ 由直线直线与椭圆交于不同的两点，由． ① ‎ ‎ ……………………………6分 设点，则 ‎ 于是． ……………………8分 当时，易知点关于原点对称，则； ……………9分 当时，易知点不关于原点对称，则．‎ 由，得即． ……………11分 ‎ 点在椭圆上，∴． ……………12分 化简得．． ②‎ 由①②两式可得． ‎ 综上可得实数的取值范围是． ……………14分 ‎（20）本题满分14分．‎ 解：（Ⅰ）， …………………………………1分 则. 又，‎ 所以，曲线在点处的切线方程为. …………3分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)得.‎ 因为为增函数，所以当时，‎ ‎，‎ ‎①当时，，当且仅当，且时等号成立.‎ 所以在上为增函数.‎ 因此，当时，.‎ 所以，满足题意． …………………………………6分 ‎②当时，由，得. 解得.‎ 因为，所以，所以 当时，，因此在上为减函数.‎ 所以当时，，不合题意．‎ 综上所述，实数的取值范围是． ……………………………………9分 ‎（Ⅲ）由，得，.‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ 所以的极小值． ………………………………10分 由，得．‎ 当时，,为增函数；‎ 当时，,为减函数，‎ 所以． …………………………………11分 而．‎ 下证：时，．‎ ‎．………………12分 令，则.‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，,为增函数，‎ 所以，即．‎ 所以，即所以 综上所述，要证的不等式成立． ……………………………………………14分