专题38+椭圆（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题38+椭圆（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ ‎【答案】C ‎2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的(　　)‎ A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 ‎【解析】设线段PF2的中点为D，‎ 则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，‎ ‎∴PF1⊥x轴。‎ ‎∴|PF1|＝＝＝。‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝4，‎ ‎∴|PF2|＝4－＝。‎ ‎∴|PF2|是|PF1|的7倍。‎ ‎【答案】A ‎3．在同一平面直角坐标系中，方程ax2＋by2＝ab与方程ax＋by＋ab＝0表示的曲线可能是(　　)‎ A B C D ‎【解析】直线方程变形为y＝－x－a，在选项B和C中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线， ‎ ‎【答案】C ‎6．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】B ‎7．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|‎ ‎＝2，则∠F1PF2等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，‎ 所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.‎ ‎8．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．15‎ ‎【答案】D ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即|OC|＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，‎ ‎∴5e2＋2e－3＝0，又0b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的∠AP′B最小．‎ 若椭圆C1上存在点P，‎ 所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，‎ 即α＝∠AP′O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝.‎ 又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2≥，即e≥.‎ 又0b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 由题易知|x0|x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，b2＋c2＝a2，xb2，所以e2＝>，又0c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，∴＋＝1>＋＝e2＋，即e4－3e2＋1>0，e2<＝2，∴0b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________．‎ ‎【答案】 ‎20．设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d＝ ＝ ‎＝ ，‎ ‎∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离为dmax＋＝.‎ ‎21．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________。‎ ‎【答案】 ‎22．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________。‎ ‎【解析】cosα＝⇒sinα＝，‎ 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝·±·，‎ ‎∴sinβ＝或－(舍去)。 ‎ 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，‎ 由正弦定理，得＝＝⇒＝⇒e＝＝。‎ ‎【答案】 ‎23．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________。‎ ‎【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。‎ ‎【答案】12‎ ‎24．已知椭圆C：x2＋2y2＝4。‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点。若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0。‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－。‎ 又x＋2y＝4，所以 ‎|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝2＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4(0＜x≤4)。‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8。‎ 故线段AB长度的最小值为2。‎ ‎ ‎