北京市附属中学2020届高三上学期12月月考数学试题

北京市附属中学2020届高三上学期12月月考数学试题

清华附中高三2019年12月月考试卷数学 一、选择题（共8小题；共40分）‎ ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎2.设等差数列的前n项的和为，且，则( )‎ A. 8 B. ‎12 ‎C. 16 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 用和公差表示出和即得．‎ ‎【详解】设数列公差为，则，，‎ ‎∴.．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．‎ ‎3.若，则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算可得=,再求解即可.‎ ‎【详解】解:因为=,‎ 所以，‎ 即，‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.‎ ‎4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 ‎ A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱 ，则截去的部分是三棱柱 ，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎5.已知直线与圆：相交于，两点，若 为正三角形，则实数的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.‎ 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，‎ ‎ 即，解得或，故选D.‎ ‎6.“”是“函数为奇函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】若函数为奇函数，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 整理得,‎ 故，解得.‎ 总上可得，“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.选C.‎ ‎7.函数（）的图象大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．‎ ‎【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；‎ x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．‎ ‎8.某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 立定跳远（单位：米）‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ 在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A. 号学生进入秒跳绳决赛 B. 号学生进入秒跳绳决赛 C. 号学生进入秒跳绳决赛 D. 号学生进入秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得1-8有6人进入30秒跳绳决赛，所以当时,1,3,4,5,6,7号6人进入30秒跳绳决赛，去掉A,C; 同理9号学生不一定进入30秒跳绳决赛，所以选B. ‎ 二、填空题（共6小题；共30分）‎ ‎9.直线被圆截得的弦长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．‎ ‎【详解】直线方程一般式为，圆心为，它到已知直线的距离为，圆半径为，‎ 所以弦长为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何方法，由垂径定理知可用勾股定理求出弦长．‎ ‎10.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.‎ ‎【详解】函数,周期为 ‎【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.‎ ‎11.在△ABC中，，a=c，则=_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理知，所以，则，所以，所以，即．‎ ‎【考点】解三角形 ‎【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．‎ ‎12.已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 过点作平面，垂足为，‎ ‎ 则点在线段上，连接,‎ ‎ 在中，，‎ ‎ 在平面内过点作，垂足为，则，即到直线的最短距离为，‎ ‎ 又，当时，此时,‎ ‎ 所以.‎ ‎13.如图，在等边三角形中，，点为中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】-3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.‎ ‎【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，,AC中点.‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎∵在直线上，∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴当时，的最小值为-3.‎ 故答案为-3‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知四点共面，，，，则 的最大值为______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 解：设 ，由题意可得： ，‎ 则： ，‎ ABC构成三角形，则：，解得：，‎ 由余弦定理：‎ ‎，‎ 当时，取得最大值为10.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ 三、解答题（共6小题；共80分）‎ ‎15.已知数列，满足且.‎ ‎(1)求证是单增数列；‎ ‎(2)求数列前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出数列的通项公式，再得,直接作差可得单调性；‎ ‎（2）用裂项相消法求数列的和．‎ ‎【详解】（1）∵，∴数列是等差数列，公差为2，又，‎ ‎∴，∴．‎ 时，，所以，‎ 所以数列是递增数列．‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的单调性，考查裂项相消法求和．在数列求和中有些特殊数列求和方法需要掌握：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法等等．‎ ‎16.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最小值为，求m的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最大值．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ） ‎ ‎ .‎ 由，‎ 得.‎ 所以的单调递增区间是 ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 要使得在上的最小值为，‎ 即在上最小值为.‎ 所以，即.‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．‎ ‎17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面PAD；‎ ‎(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；‎ ‎(3)棱PD上是否存在一点E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；‎ ‎（2）取的中点，连接，得平面，以为轴，为轴，过平行于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；‎ ‎（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，由与平面的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在.‎ ‎【详解】（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，由于是等边三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，‎ 以为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，设平面的一个法向量为，‎ 则，取，则，，，‎ 平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为；‎ ‎（3）假设棱PD上存在一点E，使得平面PBC，设，‎ 由（2），，‎ ‎，又平面的一个法向量是，‎ ‎∴，解得，∴.‎ ‎∴棱PD上存在一点E，使得平面PBC，且.‎ ‎【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题建立空间直角坐标系．‎ ‎18.已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；‎ ‎（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．‎ ‎【详解】（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时 面积最大，所以，由，解得，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以当时，，，为常数．‎ 若，则，，，，，‎ 综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．‎ ‎19.已知函数，其中为常数.‎ ‎(1)当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎(2)若函数在存在极小值，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，得切线斜率，可得切线方程；‎ ‎（2）求出导函数，分类讨论求的根，讨论的单调性，得极值点．要极值点在上才能满足题意．‎ ‎【详解】（1），，，又，所以切线方程为．‎ ‎（2），‎ 由（1）知不合题意，‎ 当时，由得，且当时，，时，，是的极小值点，由题意，所以．‎ 当时，由得或，，若，则，则当时，，是减函数，所以在上是单调函数，无极值点，‎ 当时，，或时，，时，，即在，上递减，在上递增，所以在上无极小值点．‎ 综上的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，函数的极值，考查了分类讨论思想、转化与化归思想．属于难题．‎ ‎20.已知是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，记．‎ ‎（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：“数列单调递增”是“”的充要条件；‎ ‎（3）若对任意恒成立，证明：数列的通项公式为．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义可直接求得，从而可计算.‎ ‎（2）先证明充分性，可根据数列的单调性得到，从而可得，再证明必要性，先从可得，再根据可得，依次类推可以得到，从而得到数列为单调增数列.‎ ‎（3）当时，我们得到，就全为零和不全为零分类讨论即可.‎ ‎【详解】（1）当，数列是递减数列，最大为，‎ 又，‎ 所以， ，所.‎ ‎（2）充分性：数列单调递增，则，‎ 则，‎ 所以.‎ 必要性：对于数列， 即，‎ 当时，，所以，‎ 当时，，，所以，‎ 同理即数列单调递增，‎ 故“数列单调递增”是“”的充要条件．‎ ‎（3）当时，，因为，所以，‎ 所以，‎ 若设全为零，则，‎ 时，故，其中任意的.‎ 若不全为零，设诸中第一个为零的记为，‎ 则中，即，‎ 其中，所以，‎ 因为，所以对任意的总成立，‎ 所以，下面考虑，‎ 因为即，‎ 因为，所以，‎ 故对任意的，总有，‎ 则，因为，‎ 所以，这与任意的，总有矛盾，‎ 所以不全为零不成立，‎ 所以，其中任意的.‎ ‎【点睛】本题以数列新定义为载体，考查了数列通项的求法、充分必要条件的证明以及数列性质的讨论，解题中注意从具体到一般的思维方法，注意抓住关键元素进行讨论（如本题中的零元素），此类问题属于难题.‎