数学理·广东省广州市海珠区2017届高三上学期调研测试（一）数学理试题+Word版含解析

数学理·广东省广州市海珠区2017届高三上学期调研测试（一）数学理试题+Word版含解析

海珠区2017届第一学期高三综合调研测试（一）‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）若复数满足,则的虚部为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知集合，若，则实数的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（3）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则 ‎ 的大小关系是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4） 双曲线的中心在原点，离心率等于，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）某食品厂为了促销，制作了种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐 ‎ ‎ 种卡片可获奖，现购买该食品袋，能获奖的概率为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）在中，内角的对边分别是，若，则为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（7）公差不为0的等差数列的部分项,…构成等比数列，且 ‎ ，则为 ‎（A）20 （B）22 （C）24 （D）28 ‎ ‎（8）已知函数，则的图像大致为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）若满足，则的最大值为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（10）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于 ‎ ‎ （A）5 （B）4 （C）3 （D）2‎ ‎（12）已知函数，给出下列四个说法：①函数的周期为；②若，则；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称．其中正确说法的个数是 ‎（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 ‎ ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共４小题，每小题5分．‎ ‎（13）二项式的展开式中常数项为_______． ‎ ‎（14）已知，则的值是_______． ‎ ‎（15）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 ．‎ ‎（16）已知△ABC的外接圆的圆心为O，若，且，则与的夹角为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）(本小题满分12分)‎ 已知数列{}的前项和为，=1，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明: ．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 社区服务是综合实践活动课程的重要内容.某市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段,,,,（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线与椭圆交于两点，且，是否存在圆使得恰好是该圆的切线，若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ R ‎ 已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程； ‎ ‎（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．‎ ‎2016-2017学年广东省广州市海珠区高三（上）调研数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2016秋•海珠区月考）若复数z满足（1+i）z=2，则z的虚部为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣i C．i D．1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足（1+i）z=2，∴（1﹣i）（1+i）z=2（1﹣i），∴2z=2（1﹣i），‎ ‎∴z=1﹣i，‎ 则z的虚部为﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知集合A={x|x2＜16}，B={x|x＜m}，若A∩B=A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，4]‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；集合．‎ ‎【分析】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，由A与B交集为集合A，得到A为B的子集，据此来求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由集合A中的不等式x2＜16，‎ 解得：﹣4＜x＜4，‎ ‎∴A=（﹣4，4），‎ ‎∵A∩B=A，‎ ‎∴A⊆B，‎ 则m≥4，‎ 综上，实数m的取值范围是[4，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，以及集合间的包含关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014秋•兴庆区校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）‎ A．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） C．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是偶函数且当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，‎ ‎∴f（π）＞f（3）＞f（2），‎ 即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016秋•海珠区月考）双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（　　）‎ A．4 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出抛物线的y2=8x的焦点，确定双曲线的几何量，即可求得双曲线E的虚轴长．‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线的y2=8x的焦点是（2，0），所以a=2‎ ‎∵双曲线离心率等于2，‎ ‎∴c=4‎ ‎∴双曲线E的虚轴长2b=2=4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016秋•海珠区月考）某食品厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】利用对立事件，先求得不能获奖的概率，用1减去此概率，即求得可获奖的概率．‎ ‎【解答】解：因为4袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有34=81种，‎ 而不能获奖表明此4袋中所放的卡片类型不超过两种，‎ 故所有的情况有C32•24﹣3=45种（此处减有是因为4袋中所抽取的卡片全是相同的情况每一种都重复记了一次，故减3）．‎ 所以获奖的概率是P=1﹣=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，古典概型及其概率计算公式，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015秋•朔州校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2=，又c=2a，可解得a2+c2﹣b2=3a2，利用余弦定理可得cosB，结合范围0＜B＜π，即可解得sinB．‎ ‎【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，‎ ‎∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，‎ 又∵c=2a，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，‎ ‎∴利用余弦定理可得：cosB===，‎ ‎∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016秋•海珠区月考）公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3…，…构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（　　）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1，a2，a6成等比数列可求得等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，从而可求得ak4，继而可求得k4．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1，a2，a6成等比数列，‎ ‎∴a22=a1•a6，即（a1+d）2=a1•（a1+5d），‎ ‎∴d=3a1．‎ ‎∴a2=4a1，‎ ‎∴等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，‎ ‎∴ak4=a1•q3=a1•43=64a1．‎ 又ak4=a1+（k4﹣1）•d=a1+（k4﹣1）•（3a1），‎ ‎∴a1+（k4﹣1）•（3a1）=64a1，a1≠0，‎ ‎∴3k4﹣2=64，‎ ‎∴k4=22．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，求得等比数列ak1，ak2，ak3…的公比是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015秋•桂林校级期中）函数f（x）=x﹣ln|x|的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】易知当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，从而利用排除法求得．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，‎ 故排除A，C，D；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，单调性表述了图象的变化趋势．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•葫芦岛一模）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（　　）‎ A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；不等式．‎ ‎【分析】当x≥0时，可行域为四边形OBCD，目标函数为y=2x+z，当x＜0时，可行域为三角形AOD，目标函数为y=﹣2x+z，分别平移直线可得最大值，综合可得．‎ ‎【解答】解：作出所对应的可行域（如图△ABC），‎ 当x≥0时，可行域为四边形OBCD，目标函数可化为z=y﹣2x即y=2x+z，‎ 平移直线y=2x可知当直线经过点D（0，2）时，直线截距最大，z取最大值2；‎ 当x＜0时，可行域为三角形AOD，目标函数可化为z=y+2x即y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x可知当直线经过点D（0，2）时，直线截距最大，z取最大值2．‎ 综合可得z=y﹣2|x|的最大值为2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，涉及分类讨论思想，数形结合是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016秋•海珠区月考）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S，A的值，观察规律可得S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有当i=2017时，满足i＞2016，退出循环，输出S的值为2，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 i=0，S=1，A=2‎ i=1，S=2，A=‎ 不满足i＞2016，i=2，S=1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=3，S=﹣1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=4，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=5，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=6，S=1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=7，S=2，A=‎ 不满足i＞2016，i=8，S=1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=9，S=﹣1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=10，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=11，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=12，S=1，A=2‎ ‎…‎ 观察规律可知，S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有：‎ 不满足i＞2016，i=2014，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=2015，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=2016，S=1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=2017，S=2，A=，‎ 满足i＞2016，退出循环，输出S的值为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•丰台区二模）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；综合题；压轴题．‎ ‎【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，，‎ 又，可得，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知函数f（x）=|cosx|sinx，给出下列四个说法：‎ ‎①函数f（x）的周期为π；‎ ‎②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ，k∈Z；‎ ‎③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；‎ ‎④f（x）的图象关于点（﹣，0）中心对称．‎ 其中正确说法的个数是（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【专题】作图题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】利用一些特殊值，结合三角函数的性质和图象依次判断各结论即可．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=|cosx|sinx，‎ ‎∵f（x+π）≠f（x），函数f（x）的周期不是π，故①不正确．‎ 若|f（x1）|=|f（x2）|，即|sin2x1|=||；若x1=0，，依然成立，故②不对．‎ 由函数的图象可知，f（x）在区间[﹣，]是单调递增函数．故③对 f（x）的图象关于原点对称的，是奇函数，则（0，0）中心对称，而f（x+）=|cos|•sin（x+）≠f（x），所以点（﹣，0）不是中心对称．故④不对．‎ 综上所述：正确的是③，只有一个 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假性的判断以及三角函数的单调性，奇偶性，周期性和对称轴的综合的应用能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2015•江西校级二模）二项式（2﹣）6展开式中常数项是　﹣160　．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．‎ ‎【解答】解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．‎ 所以展开式中常数项是﹣160．‎ 故答案为：﹣160．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知cos（α﹣）=，则sin（α+）的值是　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．‎ ‎【分析】将sin（α+）变形为﹣cos（α﹣），即可求得答案．‎ ‎【解答】解：sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣cos（α﹣）=﹣，‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数．解题的关键是利用诱导公式将所求的代数式进行变形处理．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016秋•海珠区月考）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积为　32π　‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积 ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，‎ 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，‎ 如图所示：‎ 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，‎ 可得底面外接圆的半径为：r=2，‎ 由棱柱高为4，可得球心距为2，‎ 故外接球半径为：R==2 ，‎ 故外接球的表面积S=4πR2=32π；‎ 故答案为：32π．‎ ‎【点评】本题考查了空间几何体的三视图以及其外接球的表面积求法；关键是正确还原几何体，计算外接球的半径．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知△ABC的外接圆的圆心为O，若+=2，且||=||，则与的夹角为　150°　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得与的夹角．‎ ‎【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，设与的夹角为θ，‎ ‎∵+=2，∴O为线段BC的中点，故BC为直径．‎ ‎∵||=||=r（r为△ABC的外接圆的半径），‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC=60°，∠AOB=120°．‎ 又△OAB为等腰三角形，故∠OAB=∠OBA=30°，‎ 设与的夹角为θ，则θ=180﹣∠AOB=150°‎ 故答案为：150°．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016秋•海珠区月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：++…+＜2．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得an+1an+2=4Sn+1﹣1，与原递推式作差可得an+2﹣an=4，说明{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，分别求出通项公式后可得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由等差数列的前n项和求得Sn，取其倒数后利用放缩法证明++…+＜2．‎ ‎【解答】（I）解：由题设，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．‎ 两式相减得an+1（an+2﹣a）=4an+1．‎ 由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．‎ 由题设，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．‎ 故可得{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1=2•2n﹣1．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）证明：，‎ 当n＞1时，由，得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查等差数列前n项和的求法，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•北海一模）某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，即X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为60人，参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20人，由此能求出从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率．‎ ‎（Ⅱ）由已知得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为：‎ ‎200×0.06×5=60（人），‎ 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为200×0.02×5=20（人），‎ ‎∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人，‎ ‎∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率p==．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为，‎ 由已知得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，‎ 则P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∵X～B（3，），∴E（X）=3×=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•洛阳模拟）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，侧面SAB为等边三角形．‎ ‎（1）证明：AB⊥SD；‎ ‎（2）求二面角A﹣SB﹣C的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（1）取AB的中点E，连结DE，推导出BE⊥DE，AB⊥SE，由此能证明AB⊥SD．‎ ‎（2）分别以DE，DC＜DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）取AB的中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，∴BE⊥DE，‎ ‎∵△SAB为等边三角形，∴AB⊥SE，‎ ‎∵SE∩DE=E，‎ ‎∴AB⊥平面SED，SD⊂平面SED，‎ ‎∴AB⊥SD．‎ 解：（2）由（1）知DE⊥DC，过D作DF⊥平面ABCD，则DE，DC，DF两两垂直，‎ 分别以DE，DC＜DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），‎ ‎∵SD=1，DE=2，SE=，‎ ‎∴SD⊥SE，∴SD⊥平面SAB，‎ ‎∴S（），=（），‎ 设平面SBC的法向量=（x，y，z），‎ ‎∵=（﹣，1，﹣），=（﹣2，0，0），‎ ‎∴，取z=1，得=（0，，1），‎ 设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，‎ 则cosθ===，‎ ‎∴sinθ==．‎ ‎∴二面角A﹣SB﹣C的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•海珠区月考）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（{2，）在椭圆上，且满足•=0．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知c=2，将A代入椭圆，列方程组，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）将直线l的方程代入椭圆方程，△＞0，根据韦达定理定理求得x1+x2及x1•x2，代入直线l方程求得y1•y2，由OP⊥OQ，根据向量数量积的坐标表示求得x1x2+y1y2=0，求得m的取值范围，l与圆x2+y2=r2相切，代入即可求得r的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴AF2⊥F1F2，‎ ‎∵A在椭圆上，‎ ‎∴，解得．…（1分）‎ ‎∴，解得a2=8，b2=4，．…（3分）‎ ‎∴椭圆．…（4分）‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 将l：y=kx+m代入，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，…（5分）‎ ‎∵△＞0，‎ ‎∴8k2﹣m2+4＞0，…（6分）‎ 且，，‎ ‎∴，…（7分）‎ ‎∵OP⊥OQ，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，即，‎ ‎∴，…（8分）‎ 由和8k2﹣m+4＞0，得即可．…（9分）‎ ‎∵l与圆x2+y2=r2相切，‎ ‎∴，…（11分）‎ 存在圆符合题意．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标表示，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•海珠区月考）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R））在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；‎ ‎（Ⅱ）问题等价于ln＞，令，则t＞1，，设，根据函数的单调性证出结论即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ ‎（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 如右图．‎ 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．‎ 令切点A（x0，lnx0），‎ 故k=y′|x=x0=，又k=，‎ 故 =，‎ 解得，x0=e，‎ 故k=，‎ 故0＜a＜．‎ ‎（解法二）转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．‎ 又g′（x）=，‎ 即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，‎ 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．‎ 故g（x）极大=g（e）=；‎ 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，‎ 故g（x）的草图如右图，‎ 可见，要想函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 只须0＜a＜．‎ ‎（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，‎ 而g′（x）=﹣ax=（x＞0），‎ 若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，‎ 此时g（x）不可能有两个不同零点．‎ 若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，‎ 所以g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）极大=g（）=ln﹣1，‎ 又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，‎ 于是只须：g（x）极大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．‎ 综上所述，0＜a＜．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，‎ 即lnx1=ax1，lnx2=ax2，‎ 设x1＞x2，作差得ln=a（x1﹣x2），即a=‎ 原不等式等价于ln＞，‎ 令，则t＞1，，‎ 设，，‎ ‎∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（t）＞g（1）=0，‎ 即不等式成立，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于综合题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE=2AD；‎ ‎（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．‎ ‎【考点】圆內接多边形的性质与判定．‎ ‎【专题】推理和证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．‎ ‎（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，‎ 由于四边形DECA是圆的内接四边形，‎ 所以：∠BDE=∠BCA ‎∠B是公共角，‎ 则：△BDE∽△BCA．‎ 则：，‎ 又：AB=2AC 所以：BE=2DE，‎ CD是∠ACB的平分线，‎ 所以：AD=DE，‎ 则：BE=2AD．‎ ‎（Ⅱ）由于AC=1，‎ 所以：AB=2AC=2．‎ 利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，‎ 由于：BE=2AD，设AD=t，‎ 则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t 解得：t=，‎ 即AD的长为．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角形相似的判定的应用，圆周角的性质的应用，割线定理得应用，主要考查学生的应用能力．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2013•郑州一模）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为极坐标方程．‎ ‎（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．‎ ‎【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，‎ 再化为极坐标方程是 ρ=4cosθ．﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（2）∵直线l的直角坐标方程为 x+y﹣4=0，‎ 由 求得 ，或 ，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），‎ 所以弦长为 =2．﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线和圆的交点坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•信阳一模）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎