2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学七

2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学七

‎2020年高考考前45天大冲刺卷 理 科 数 学（七）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知为等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知非零向量，满足且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示的程序框图输出的是，则图中空白框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．《中国诗词大会》第三季亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，则《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例（称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为，则矩形的长为（ ）（结果保留两位小数）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知椭圆的焦点为，，过椭圆上顶点与左焦点的直线交于椭圆，两点．若，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是偶函数；‎ ‎②在区间单调递减；‎ ‎③在有个零点；‎ ‎④的值域为，‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④‎ ‎12．已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，底面边长为．，分别为，的中点，，则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．曲线在处的切线方程为 ．‎ ‎14．设为等比数列的前项和，若且，则 ．‎ ‎15．甲、乙两人棋艺对弈决赛，采用五局三胜制（当一人取得三局胜利时则获胜，决赛结束），根据以往对弈成绩，甲执黑白棋安排依次为“黑白黑白白”，设甲执黑棋取胜概率为，执白棋取胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲以获胜的概率是 ．‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与圆 相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，内角，，所对的边为，，，且满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎18．（12分）如图，在正三棱柱中，，，，分别为，上的点，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）点在上，若，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）已知抛物线焦点为，不过原点的直线与抛物线交于，两点，．‎ ‎（1）若直线斜率为，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎20．（12分）已知函数，证明：‎ ‎（1）若时，函数有两个极值点；‎ ‎（2）函数有两个零点．‎ ‎21．（12分）江西是一片神奇的红色土地，在这片土地上孕育了中国革命的摇篮——井冈山，共和国的摇篮——瑞金，军旗升起的地方——南昌，等等．这一个个红色经典的称号与地名，在中华人民共和国波澜壮阔的历史长河中，已化作一颗颗与日月同辉的星辰．在红色中国气势磅礴的交响乐中，奏响雄浑激越的华彩乐章．因此随着红色旅游的发展，每年来江西参观旅游的人数数不胜数．为了合理配置旅游资源，现对已游览南昌和井冈山的游客进行随机问卷调查，若不去瑞金记1分，继续去瑞金记2分．每位游客去瑞金的概率为，且游客之间的选择意愿相互独立．‎ ‎（1）从游客中抽取4人，记总分为随机变量，求的分布列与数学期望；‎ ‎（2）若从游客中随机抽取人，记总分为分的概率为，求数列的前5项和；‎ ‎（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率是．‎ 探讨与之间的关系，并求数列的通项公式．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知，，为正数，且满足，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 参考答案与解析 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】由题意得，，则，故选D．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】设，∵，即，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】由对数函数图象可知，‎ 由指数函数图象可知，，∴．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题意可知，解得，故．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】∵，则，即，，‎ 设与夹角为，则，即夹角为．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】C中，第一次循环，，，进入下一次循环，‎ 第二次循环，，，进入下一次循环，‎ 第三次循环，，，进入下一次循环，‎ 第四次循环，，，循环结束，则输出的为．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】依题意，总的排法有种，‎ ‎《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后共有种，故，故选A．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】如下图所示，‎ 由题意可知，设，则，，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，根据黄金矩形特点可知矩形为黄金矩形，‎ 则有，解得，‎ ‎∴．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】由题意，‎ ‎∴为偶函数，排除C，‎ 又∵，排除D，‎ 由题意可得当时，，，，即，‎ 所以函数在之间有一个极小值点，排除A．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】连接，由题意可知，则，‎ 则，，，‎ ‎∴，解得，‎ 则，‎ ‎∴的方程为．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】分段函数讨论：‎ ‎①由，故①正确；‎ ‎②时，，函数递减，故②正确；‎ ‎③当时，，此时有无数个零点，故③错误；‎ ‎④，故的值域为，④正确．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】如图，‎ 三棱锥为正三棱锥，‎ 设，由题意可知，，‎ 在中，，‎ ‎∵在中，．‎ ‎∵，．‎ 在中，，解得，‎ ‎∴，‎ 过作于，则平面，，则，‎ 设球半径为，则有，解得，‎ ‎∴球的体积为．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，‎ 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线斜率为，‎ ‎∴切线方程，即．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由为等比数列，‎ ‎∵，设公比为，则有，得，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】欲使甲以获胜，则第四局甲获胜，前三局甲胜两局负一局，‎ 可能情况为：第1局负或第2局负或第3局负，‎ 故概率为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】如图，连接，‎ ‎∵，∴为的中点，‎ ‎∵与圆相切，∴，‎ 由题易知，∴，‎ ‎∵，，∴，故，∴，，‎ ‎∵，∴，，∴．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ 在中，由正弦定理得，即，‎ 由余弦定理得，‎ 又∵为内角，∴．‎ ‎（2）由，得，，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：如图所示，在上取一点，使，连接与，‎ 由题意可知，∴，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ 又∵面，面，∴平面．‎ ‎（2）如下图所示，以中点为坐标原点，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，以垂直轴，轴方向为轴建立空间直角坐标，‎ 由题意可知，，，，‎ ‎∴，，‎ 设，则，，‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，‎ 则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】设，，‎ ‎（1）设直线的方程为，由，消去，得，，得，，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，即，∴或．‎ 当时直线过原点，不合题意，∴，‎ 故直线的方程为，即．‎ ‎（2）设直线的方程为，由，消去，得，，，，∵，∴，即，得（舍）或．‎ 根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，‎ 过点，两点分别作轴的垂线，垂足分别为，，‎ ‎∵，，，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎，，即，‎ ‎∵，∴，，∴，则，‎ ‎∴，，‎ 故的方程为，．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），则，‎ 令，则，‎ ‎∵，当时，，单增；‎ 当时，，单减，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴则存在，使得，‎ 又∵当时，，则，使得．‎ 故当时，，单减；‎ 当时，，单增；‎ 当时，，单减，‎ 故时，函数有两个极值点．‎ ‎（2），‎ ‎∵，当时，，单减；‎ 当时，，单增，‎ ‎∴，‎ 令，则，当时，，单减，‎ ‎∴，，‎ ‎∴根据的单调性及零点存在定理可知，‎ 在，上各有唯一零点，∴有两个零点．‎ ‎21．【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3），．‎ ‎【解析】（1）的可能取值为．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎∴随机变量的数学期望为 ‎．‎ ‎（2）总分恰为分的概率为，故．‎ ‎（3）已调查过的累计得分恰为分的概率为，‎ 得不到分的情况只有先得到分，再得分，概率为．‎ 故，即，可得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴，则，‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎22．【答案】（1）（为参数），；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的极坐标方程为，‎ 得曲线的直角坐标方程为，‎ 故曲线的参数方程为（为参数），‎ 直线的普通方程为．‎ ‎（2）设曲线上任意一点为，‎ 则点到直线的距离为，‎ 当时，，∴点到直线的最小距离是．‎ ‎23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，，，∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故，当且仅当时取等号，‎ ‎∴．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，∴．‎