数学理卷·2017届江西省于都县高三4月仿真训练（2017

数学理卷·2017届江西省于都县高三4月仿真训练（2017

于都县2017届高三模拟考试（二）‎ 理科数学试题 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题：于都教研室 2017.4‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.若集合，，则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（　B　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.直线与曲线围成图形的面积为（ C ）‎ A． B． 9 C． D．‎ ‎4‎ 4. 已知变量,具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若关于的线性回归方程为，则的值为（ B ）‎ A．2.9 B． 3.1 C．3.5 D．3.8‎ ‎5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前9项和等于（ C ）‎ A．-18 B．9 C．18 D．36‎ ‎6、设为实数，直线，则“”是“”的( A )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 ‎7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（ A ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ D ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 ‎ C. 关于点对称 D．关于直线对称 ‎9、在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是( D )‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．函数的导函数，对，都有成立，若，‎ 则不等式的解是（　A　）‎ A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）‎ ‎11、已知双曲线E F点为的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足，若，则E的离心率为( B )‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（　D　）‎ A．　　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则 ‎14.不共线向量，满足，且，则与的夹角为 ．‎ ‎15．已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是 [4,6] ．‎ ‎16．若，且，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2 其中正确的序号是：　④　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．‎ ‎（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求bn的前n和Sn．‎ ‎【参考答案】（1）证明：当n≥2时，，‎ ‎∴，又a1=4，∴a1﹣2=2，‎ 故是以2为首项，3为公差的等差数列，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴=，‎ 令，① 则，②‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎==，∴．‎ ‎8 16 ‎ ‎9 6 17 1 5‎ ‎8 6 18 2 4 6‎ ‎5 19 4 ‎ 甲 乙 ‎18、（本小题满分12分） 在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：‎ ‎（1）一粒水稻约为克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？‎ ‎（2）如从甲品种的6株中任选2株，记选到超过187粒的株数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【参考答案】（1）甲种水稻样本单株平均数为182粒，把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻亩产约为公斤. ‎ （2） 的可能取值为，‎ ‎，，，‎ 的分布列为： . ‎ ‎19（本小题满分12分）. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，且是边长为的等边三角形，在上，且 ‎ （1）求证: 是的中点；‎ ‎（2）在上是否存在点，使二面角 为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【参考答案】(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.‎ ‎(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.‎ 设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.‎ ‎20（本小题满分12分）.已知椭圆的离心率，右焦点，过点的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点关于轴的对称点为 ，求证: 三点共线；‎ ‎(3) 当面积最大时，求直线的方程.‎ ‎【参考答案】(1) 由，椭圆的方程是.‎ ‎(2)由（1）可得，设直线的方程为. 由方程组 ‎，得，依题意，‎ 得.设，则，由 ‎，‎ 得三点共线.‎ ‎(3)设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，得.设，则 ‎，令，则，‎ 即时，最大，最大时直线的方程为.‎ ‎21（本小题满分12分）.已知函数.‎ ‎（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意，恒有不等式成立.‎ ‎①求实数的值；②证明：.‎ ‎【参考答案】（1），则.‎ 当时，，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；‎ 当时，有唯一解，此时，则.‎ 注意到，因此.‎ ‎（2）①当时，单调递增，的值域为，不符合题意；‎ 当时，则，也不符合题意.‎ 当时，由（1）可知，，故只需.‎ 令，上式即转化为，‎ 设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.‎ 因此，，从而有.故满足条件的实数为.‎ ‎②由①可知，因而只需证明：，恒有.‎ 注意到前面已经证明：，因此只需证明：.‎ 当时，恒有，且等号不能同时成立；‎ 当时，设，则，当时，是单调递增函数，且，因而时恒有；从而时，单调递减，从而，即.故.‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线和曲线交于两点，求.‎ ‎【参考答案】：（1）因为，所以 由，得 ‎ 因为消去得 ‎ 所以直线和曲线的普通方程分别为和. ‎ ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上，‎ 设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23（本小题满分10分）．设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．‎ ‎【参考答案】（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；‎ ‎﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；‎ x≥0时，f（x）=x+1≥1‎ ‎∴f（x）的最小值为1，即a=1；‎ ‎（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，‎ ‎∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2‎ ‎=（p+q+r）2=32=9，‎ 即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．‎