天津市南开中学2020届高三上学期数学统练九试题

天津市南开中学2020届高三上学期数学统练九试题

‎2019年10月22日数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．‎ ‎【详解】由题意得，，则 ‎．故选C．‎ ‎【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．‎ ‎2.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=‎0”‎是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.‎ ‎【详解】 时，, 为偶函数；‎ 为偶函数时，对任意的恒成立，‎ ‎ ‎ ‎ ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.‎ ‎【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得 ‎，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．‎ ‎4.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．‎ ‎【考点】求三角函数的解析式 ‎【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的 值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.‎ ‎5.函数的最大值为（ ）．‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式以及诱导公式将函数化简成，配方并利用三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】将原函数化简，‎ 即，当时，的最大值为5．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式以及正弦型的三角函数最值，属于基础题.‎ ‎6.函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx –sinx）的最小正周期是 A. B. π C. D. 2π ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,故最小正周期,故选B.‎ ‎【考点】三角函数化简，周期公式 ‎【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为的图象关于直线对称,‎ 所以y=f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，‎ 令x=-2,则,‎ ‎,所以周期为4,‎ 所以,‎ 应选A.‎ ‎8.已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，由得，此时；由得，此时；由得，此时；综上可知时，当时，当时，所以 考点：1．二次函数值域；2．分情况讨论 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．‎ 考点：函数的性质 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题 ‎10.设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎，令，则为奇函数，‎ 所以的最大值和最小值和为0，又.‎ 有，即.‎ 答案为：2.‎ ‎11.函数满足，且在区间上，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.‎ 详解：由得函数的周期为4，所以因此 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. ‎ ‎12.下面有5个命题：‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②终边在轴上的角的集合是；‎ ‎③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；‎ ‎④把函数的图象向右平移得到的图象；‎ ‎⑤角为第一象限角的充要条件是．‎ 其中，真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的关系以及二倍角公式可判断①；利用终边相同角的写法即可判断②；研究单调性，且只有，由零点存在性定理可判断③；利用三角函数的图像变换可判断④；根据充分必要条件可判断⑤；‎ ‎【详解】①函数，最小正周期是；‎ ‎②终边在轴上的角的集合应该是；‎ ‎③因为函数的导数，所以函数单调递增．‎ 又易知，所以在同一坐标系中，‎ 函数的图象和函数的图象只有一个公共点，是原点；‎ ‎④把函数的图象向右平移得到，‎ 即得到的图象；‎ ‎⑤“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件．‎ 故答案为：①④‎ ‎【点睛】本题考查了判断命题的真假、三角函数图像的变换、导数在研究函数单调性的应用、充分必要条件、坐标轴上的角的集合、二倍角公式，属于基础题.‎ ‎13.已知函数和的图象的对称轴完全相同．若，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知两函数周期相同，即，然后利用三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】由两个三角函数图象的对称轴完全相同知其周期相同，‎ 即，所以 又因为，所以，‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期公式、三角函数的最值，属于基础题.‎ ‎14.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 略 ‎15.已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】分类讨论：①当时，即：，‎ 整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当时，，则；‎ ‎②当时，即：，整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当或时，，则；‎ 综合①②可得的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ 三、解答题 ‎16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.‎ ‎(1)证明：a＋b＝‎2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.‎ 试题解析：（1）由题意知，，‎ 化简得：‎ 即，因为，所以，‎ 从而，由正弦定理得.‎ ‎（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.‎ 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎17.设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) .‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，‎ 所以，.‎ 故，，又，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 当，‎ 即时，取得最小值.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎18.如图,在四棱锥中, 平面平面,‎ ‎.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因平面平面，，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设棱上一点，则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面，所以平面当且仅当，‎ 即，解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面，此时.‎ ‎【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；‎ ‎(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.‎ 详解：（1）的定义域为，.‎ ‎（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.‎ ‎（ii）若，令得，或.‎ 当时，；‎ 当时，.所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ‎，‎ 所以等价于.‎ 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.‎ 所以，即.‎ 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.‎ ‎20.已知函数且在上的最大值为，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明 ‎【答案】（1）（2）2个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．‎ ‎【详解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0, )，‎ 有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意；‎ 当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0, )单调递减，‎ 又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，‎ 故函数在[0, ]上的最大值为f(0)，不合题意；‎ 当a>0时,x∈(0, ),f′(x)>0,从而f(x)在(0, )单调递增，‎ 又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，‎ 故函数在[0, ]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，‎ 综上所述得；‎ ‎(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：‎ 由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=− <0,f()=π−32>0，‎ 又函数在[0, ]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点，‎ 又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。‎ 当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，‎ 由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上图象是连续不断的，‎ 故存在m∈,π),使得g(m)=0.‎ 由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，‎ 从而g(x)[,π]上单调递减。‎ 当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，‎ 从而f(x)在(,m)内单调递增 故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，‎ 从而(x)在(,m)内无零点；‎ 当x∈(m,π)时,有g(x)0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，‎ 从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。‎ 综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎