专题30+空间点、线、面的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题30+空间点、线、面的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎ 1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是(　　)‎ A．① B．①④‎ C．②③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确，故选A。‎ ‎2．如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(　　)‎ A B C D ‎【答案】D ‎【解析】A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，所以共面，故选D。‎ ‎3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 ‎【答案】D ‎4．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)‎ A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M ‎【答案】D ‎5．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)‎ A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合 ‎【答案】C ‎【解析】∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β。‎ 由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A。故α∩β＝A的写法错误。 ‎ ‎6．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求。‎ 在△A1BC1中，‎ 设AB＝a，‎ 则A1B＝BC1＝a，A1C1＝a，‎ ‎∴cos∠A1BC1‎ ‎＝＝。‎ ‎7．下列命题中，真命题的个数为(　　)‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.‎ A．1　 　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B　‎ ‎8．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件． ‎ ‎9．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) ‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．‎ ‎10．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】连接AC，AB1(图略)，由长方体性质可知AB1∥DC1，所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角．由题知AC＝＝2，AB1＝＝，CB1＝＝2，所以由余弦定理得cos∠AB1C＝＝，故选A． ‎ ‎11．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】A　‎ ‎12．已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】取AC中点为O，连接OM，ON，则易证OMBC，ONPA，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝BC＝2，ON＝AP＝2，则cos∠ONM＝＝，‎ 所以∠ONM＝30°，‎ 即异面直线PA与MN所成角的大小是30°，故选A．‎ ‎13．(已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．‎ ‎【答案】 ‎14．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．‎ ‎【答案】1或4　‎ ‎【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．‎ ‎15．在图737中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). ‎ ‎①　　　　②　　　　③　　　　④‎ 图737‎ ‎【答案】②④　‎ ‎【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．‎ ‎16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；‎ ‎③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；‎ ‎④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。‎ 其中真命题的个数是________。‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交、平行或异面，所以①错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交或平行，所以②错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交或平行，所以③错；同理④错，所以真命题的个数为0。 ‎ ‎17．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对。‎ ‎【答案】24‎ ‎18．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，‎ 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，‎ 所以AD∥BC，‎ 所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，‎ 所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，‎ 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，‎ 所以C1D＝AD，‎ 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，‎ 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为。‎ ‎19．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°。‎ ‎(1)求四棱锥的体积。‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值。‎ ‎(2)取AB的中点F，连接EF，DF，‎ 因为E为PB中点，‎ 所以EF∥PA。‎ 所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角)。‎ 在Rt△AOB中，‎ AO＝AB·cos30°＝＝OP，‎ 所以在Rt△POA中，PA＝，‎ 所以EF＝。‎ ‎20．如图所示，已知二面角α－MN－β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O。‎ ‎(1)证明：AB⊥平面ODE；‎ ‎(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值。‎ ‎【解析】(1)如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB。‎ 连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB。‎ 又DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE。 ‎ ‎(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角)。‎ 由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE。‎ 又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，从而∠DEO＝60°。‎ 不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝。‎ 在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝。‎ 连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝。‎ 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为。‎ ‎21．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点。‎ ‎(1)求证：AE与PB是异面直线；‎ ‎(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；‎ ‎(3)求三棱锥A－EBC的体积。‎ 所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为。‎ ‎(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为PA＝1，‎ VA－EBC＝VE－ABC＝××1＝。‎ ‎22.如图738所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：‎ 图738 ‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎23．如图739所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ 图739‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎【解析】　(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎24．如图7311，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．‎ 图7311‎ ‎(1)求四棱锥OABCD的体积；‎ ‎(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．‎ ‎【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，‎ 所以四棱锥OABCD的体积V＝×4×2＝.‎