数学理卷·2018届山西省晋中市榆社中学高三11月月考(2017

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数学理卷·2018届山西省晋中市榆社中学高三11月月考(2017

山西省榆社中学2018届高三11月月考 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设,为虚数单位,且,则( )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎2.设集合,则中整数元素的个数为( )‎ A.3 B.4 C. 5 D.6‎ ‎3.已知向量,则“”是“与反向”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问提:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之栗五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗栗.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升,升,升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )‎ A. 依次成公比为2的等比数列,且 B. 依次成公比为2的等比数列,且 C. 依次成公比为的等比数列,且 D. 依次成公比为的等比数列,且 ‎5.若函数在上递减,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等,若该几何体的体积为,则该几何体的表面积为( )‎ A.36 B.42 C. 48 D.64‎ ‎7.定义在上的奇函数的一个零点所在区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 设变量满足约束条件则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.在正四棱锥中,已知异面直线与所成的角为,给出下面三个命题:‎ ‎:若,则此四棱锥的侧面积为;‎ ‎:若分别为的中点,则平面;‎ ‎:若都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的倍. ‎ 在下列命题中,为真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设,定义运算:,则( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.设为数列的前项和,,且.记 为数列的前项和,若,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎12.当 时,恒成立,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 设向量满足,,则 .‎ ‎14. 函数的值域为 .‎ ‎15. 若函数的图象相邻的两个对称中心为,将的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到的图象,则 .‎ ‎16. 如图,在四棱锥中,底面,,底面为矩形,为线段的中点,,与底面所成角为,则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 在中,角的对边分别为,已知,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求.‎ ‎18.设为数列的前项和,,数列满足.‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)记表示的个位数字,如,求数列的前20项和.‎ ‎19.已知向量,函数.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)求在上的值域;‎ ‎(3)将的图象向左平移个单位得到的图象,设,判断的图象是否关于直线对称,请说明理由.‎ ‎20. 如图,在三棱锥中,,底面,,‎ 且.‎ ‎(1)若为上一点,且,证明:平面平面.‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎21.已知函数的图象与轴相切,且切点在轴的正半轴上.‎ ‎(1)求曲线与轴,直线及轴围成图形的面积;‎ ‎(2)若函数在上的极小值不大于,求的取值范围.‎ ‎22. 已知函数,.‎ ‎(1)当时,比较与的大小;‎ ‎(2)设,若函数在上的最小值为,求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCDB 6-10: CCDAB 11、12:AA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解:(1)∵,∴,∴,‎ ‎∵,∴,∴,从而.‎ ‎(2)∵,∴为锐角,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎18.解:(1)当时,. ‎ 由于也满足,则. ‎ ‎∵,∴,∴是首项为3,公差为 2 的等差数列,∴.‎ ‎(2)∵,∴的前 5 项依次为 1,3,5,7,9. ‎ ‎∵,∴的前 5 项依次为 3,5,7,9,1.‎ 易知,数列与的周期均为5, ‎ ‎∴的前20项和为 ‎.‎ ‎19.解:(1)∵,∴.‎ 又,‎ ‎∴或.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎∵,∴,∴.‎ 故在上的值域为.‎ ‎(3)∵,∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴的图象关于直线对称. ‎ ‎20. (1)证明:由底面,得.‎ 又,,故平面.‎ ‎∵平面,∴平面平面. ‎ ‎(2)解:∵,‎ ‎∴,则 以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎.‎ 设是平面的法向量,则即 令,得.‎ 设是平面的法向量,则 即 令,得.‎ ‎∴,‎ 由图可知,二面角为钝角,故二面角的余弦值为.‎ ‎21. (1)解:∵,∴令得,‎ 由题意可得,∴ .‎ 故,.‎ ‎(2),,‎ 当,即时,无极值.‎ 当,即时,令得;‎ 令得或得.‎ ‎∴在处取得极小值.‎ 当,即时,在上无极小值,‎ 故当时,在上有极小值,‎ 且极小值为,‎ 即.‎ ‎∵,∴,∴.‎ 又,故.‎ ‎22.解:(1),‎ 构造函数,,‎ 当时,,∴在上单调递减,‎ ‎∴,‎ 故当时,,‎ 即,即.‎ ‎(2)由题可得,则,‎ 由得到,设,,‎ 当时,;当时,.‎ 从而在上递减,在上递增.∴.‎ 当时,,即(或,设,证明亦可得到 ‎).‎ 在上,,递减;‎ 在上,,递增.‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得.‎
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