高考概率与统计常见题型与解法

高考概率与统计常见题型与解法

高考概率与统计常见题型与解法 题型一　几类基本概型之间的综合 在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.‎ ‎1、等可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。‎ 例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）‎ ‎(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。‎ 解 (Ⅰ)由题意可得所以，‎ ‎（Ⅱ）记从高校B中抽取的2人为，从高校C中抽取的3人为则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（），（），（），（‎ ‎），（），（），（），，，共10种，设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有，，共3种，因此故选中的2人都来自高校C的概率为 变式1（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08 ，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2[来源:学科网ZXXK]‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ 由题设知，解得， 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 变式2 （2010福建）设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得a m ⊥（a m－b n） ‎ ‎ 成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.‎ 解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个.‎ ‎(Ⅱ)由得，即. 由于｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.‎ ‎2、互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。‎ 例题1（2005全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；‎ ‎（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.‎ 解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分 则A、B、C相互独立，由题意得：‎ P（AB）=P（A）P（B）=0.05‎ P（AC）=P（A）P（C）=0.1‎ P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5 ‎ 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分 ‎（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，……………………………………7分 ‎∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 ‎……………………………10分 ‎∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为……12分 变式1 （2005福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.‎ ‎ （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.‎ 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 ‎ ‎ 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为 ‎ （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 ‎ ‎ ‎ ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 ‎ ‎ 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 ‎ ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为 变式2 （06四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响 ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）‎ 解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；‎ ‎（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件 解法1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：‎ 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 ‎（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 ‎ 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 ‎3、独立重复试验概率 若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立惩处试验中，事件A恰好发生次的概率为。‎ 高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。‎ 例题（2005湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.‎ ‎ （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；‎ ‎ （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；‎ ‎ （Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4‎ 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.‎ 解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为 ‎（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为 ‎（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为 变式 1‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的, , . 现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设. 求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少有人选择的项目属于民生工程的概率. ‎ 解 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，，，，‎ ‎，．由题意知，，相互独立，，，相互独立，，，相互独立，，，‎ ‎（，，，，，且，，互不相同）相互独立，且，，． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ‎ ‎（Ⅱ）至少有人选择的项目属于民生工程的概率 ‎．‎ 变式 2 (08天津） ‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ 解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得，于是或（舍去），故．‎ 所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为 解法二：‎ 由题设和（Ⅰ）知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 ‎（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，‎ 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为 ‎，‎ ‎，‎ 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．‎ 综合题 ‎【例1】　（08·安徽高考）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张 卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（Ⅰ）‎ 现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测 试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，‎ 拼音都带有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，‎ 求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.‎ ‎【分析】　第（Ⅰ）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独 立事件的概率公式计算；第（Ⅱ）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算.‎ ‎【解】　（Ⅰ）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有 后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，‎ 因而所求的概率为××＝.‎ ‎（Ⅱ）设Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，‎ 且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，‎ 因而所求概率为P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.‎ ‎【点评】　本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要 混淆了互斥事件与相互独立事件，第（Ⅱ）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等 可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算.‎ ‎【例2】（08·福建高考）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分 ‎ 别为，，，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密 ‎ 码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.‎ ‎【分析】　第（Ⅰ）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第（Ⅱ）‎ 小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用 对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小.‎ ‎【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1，2，3)，依题意有 P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且A1，A2，A3相互独立.‎ ‎(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有 B＝A‎1A2＋A‎1‎A3＋A‎2A3，且A‎1A2、A‎1‎A3、A‎2A3彼此互斥 于是P(B)＝P(A‎1A2)＋P(A‎1A3)＋P(A‎2A3)＝××＋××＋××＝.‎ 答：恰好二人破译出密码的概率为.‎ ‎20090318‎ ‎(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.‎ D＝··，且、、相互独立，则P(D)＝P()·P()·P()＝××＝.‎ 而P(C)＝1－P(D)＝，故P(C)＞P(D).‎ 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.‎ ‎【点评】　本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（Ⅰ）小题正 确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答则充分利用对立 事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑 计算对立事件的概率来解答.‎ ‎【例3】　（08·重庆高考）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确 的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(Ⅰ)恰有两道题答 对的概率；(Ⅱ)至少答对一道题的概率.‎ ‎【分析】　第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第(Ⅱ)小题可以考虑利用 正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答.‎ ‎【解】　“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选 择正确”这一事件发生的概率为.由独立重复试验的概率计算公式得：‎ ‎（Ⅰ）恰有两道题答对的概率为P4(2)＝C()2()2＝.‎ ‎（Ⅱ）解法一：至少有一道题答对的概率为1－P4(0)＝1－C()0()4＝1－＝.‎ 解法二：至少有一道题答对的概率为分为4类情形：‎ P4(1)＝C()1()3＝，P4(2)＝C()2()2＝，P4(3)＝C()3()1＝，P4(4)＝C()4()0＝.‎ 所以至少答对一道的概率为P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝＋＋＋＝.‎ ‎【点评】　本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题 的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快.‎ 题型二　求离散型随机变量的分布列、期望与方差 此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理 信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分 布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随机 变量分布列、期望与方差性质的求参数.‎ ‎1、 随机变量概率分布与期望 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。‎ 例题 1（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.‎ ‎（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.‎ 解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”‎ ‎ 为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，‎ ‎ P（A3）=0.6.‎ ‎ 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 ‎ 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.‎ ‎ P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（）‎ ‎= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）‎ ‎=2×0.4×0.5×0.6=0.24，‎ ‎1 ‎ ‎3 ‎ P ‎0.76‎ ‎0.24‎ ‎ P（=1）=1－0.24=0.76.‎ ‎ 所以的分布列为 ‎ E=1×0.76+3×0.24=1.48.‎ ‎（Ⅱ）解法一 因为 所以函数上单调递增，‎ 要使上单调递增，当且仅当 从而 解法二：的可能取值为1，3.‎ 当=1时，函数上单调递增，‎ 当=3时，函数上不单调递增.0‎ 所以 变式1 甲、乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击。‎ ‎（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。‎ ‎（2）若第次由甲射击的概率为，求数列的通项公式；求，并说明极限值的实际意义。‎ ‎ 解：记A为甲射击，B为乙射击，则 ‎1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为 AAAB，AABA，ABAA ‎ ‎ 其概率为P=‎ ‎2）第次由甲射击这一事件，包括第 n 次由甲射击，第次继续由甲射击这一事件以 第 n 次由乙射击，第 由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别为与 则有关系式 + = ‎ 其中。=（），数列为等比数列。‎ ‎==‎ 实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。‎ 变式2 （07重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：‎ ‎（Ⅰ）获赔的概率；‎ ‎（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，‎ 且，，．‎ ‎（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 ‎．‎ ‎（Ⅱ）的所有可能值为，，，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 综上知，的分布列为 求的期望有两种解法：‎ 解法一：由的分布列得 ‎（元）．‎ 解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，‎ 则有分布列 故．‎ 同理得，．‎ 综上有（元）．‎ ‎2、 离散型随变量概率分布列 设离散型随机变量的分布列为 ‎ ‎ 它有下面性质：①‎ ‎②即总概率为1；‎ ‎③期望方差 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.‎ 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.‎ 例题1 (2004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.‎ ‎①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.‎ ‎②求这名同学总得分不为负分(即)的概率.‎ 解:的取值为 ‎；‎ 所以的概率分布为 ‎§‎ ‎100‎ ‎300‎ P ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ 这名同学总得分不为负分的概率为 变式 ‎（2010天津理）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 ‎ ‎ ‎ =‎ 所以的分布列是 综合题 ‎　1、(08·湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号 的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列，期 望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值.‎ ‎【分析】　第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求ξ取0、1、2、3、4时的概 率，从而得分布列；第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.‎ ‎【解】　（Ⅰ）ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.‎ Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎（Ⅱ）由Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得，解得或.‎ ‎【点评】（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②‎ 计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意 结合排列与结合知识.‎ ‎ （2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解 ‎ 或通过建立方程来解决来解决.‎ ‎　‎ 题型三　抽样方法的识别与计算 此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性学 习的能力，主要考查题型：(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法；(2)‎ 根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.‎ ‎　1、(08·陕西)某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情 况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )‎ A．30 B．‎25 ‎C．20 D．15‎ ‎【分析】　利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可.‎ ‎【解】　设样本中松树苗的数量为，则＝，解得x＝20.‎ 点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断：总体中的个体数较少时，宜 用简单随机抽样；总体由差异明显的几部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计 算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算.‎ ‎2、 (2009山东卷文) ‎ ‎ 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.‎ （1） 求z的值. ‎ （2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;‎ （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.‎ 解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400‎ ‎(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.‎ ‎(3)样本的平均数为,‎ 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.‎ ‎【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.‎ 变式 （2009天津卷文）‎ 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂 ‎（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；‎ ‎（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。‎ ‎【答案】(1) 2，3，2(2) ‎ ‎【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.‎ ‎（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为 ‎【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。‎ 题型四　总体分布的估计 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布 表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要 题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频 数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率 分布表或直方图的完善.‎ ‎　1、(08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，‎ 随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45，55]，[55，65]，‎ ‎[65，75]，[75，85]，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天 生产该产品数量在[55，75)，的人数是________.‎ ‎【分析】　利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可.‎ ‎【解】　20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.‎ 点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公 式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用 频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分布直方图.‎ ‎2、（湖北理17）（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：‎ ‎（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ 分组 频数 合计 ‎（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？‎ ‎（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．‎ 样本数据 频率/组距 ‎1.30‎ ‎1.34‎ ‎1.38‎ ‎1.42‎ ‎1.46‎ ‎1.50‎ ‎1.54‎ 解：（Ⅰ）‎ 分组 频数 频率 ‎4‎ ‎0.04‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎30‎ ‎0.30‎ ‎29‎ ‎0.29‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎2‎ ‎0.02‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．‎ ‎（Ⅲ）总体数据的期望约为 ‎．‎ 变式 （2009广东卷理）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5. ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ 解：（1）由图可知，解得；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.‎ ‎【专题训练】‎ 一、选择题 ‎1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则|a－b|等于（ ）‎ A．hm B． C． D．与m，n无关 ‎2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量＝(a，b)，＝（1，－2），则向量与向量垂直的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎3．中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ‎4．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人为( )‎ A．81 B．‎152 ‎C．182 D．202‎ ‎5．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )‎ A． B． C． D． ‎6．2009年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为( )‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b。，c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的期望为2，则＋的最小值为( )‎ 信号源 A． B． C． D． ‎10．右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在 ‎ 同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收 ‎ 到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 ‎ 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把 ‎ 所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接 ‎ 收器能同时接收到信号的概率是 A． B． C． D． ‎11．已知随机变量X分布列如下表(n∈N*)：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ n－1‎ n P ‎…‎ x 则表中x为( )‎ A． B． C． D． ‎12．已经一组函数y＝2sin(ωx＋j)(ω＞0，0＜j≤2π)，其中在集合中任取一个数，j在集合{，，，π，，，2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数y＝2sinωx的图象的概率是 ( )‎ A． B． C． D． 二、填空题 ‎13．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是_____.‎ ‎14．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．‎ ‎15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为________．‎ ‎16．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．‎ 三、解答题 ‎17．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金‎2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为，.问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。‎ ‎18．将两颗骰子先后各抛一次，a，b表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a，b)落在不等式组 表示的平面区域内的事件记为A，求事件A的概率；(Ⅱ)若点(a，b)落在直线x＋y＝m上，且使此事件的概率最大，求m的值.‎ ‎19．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝．(Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出ξ的概率分布列并计算Eξ．‎ ‎20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.‎ ‎（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.‎ ‎21．某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试.‎ ‎ 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是和.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.‎ ‎(Ⅰ)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；‎ ‎(Ⅲ)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.‎ ‎22．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎【针对训练】参考答案 一、选择题 ‎1．C 【解析】频率分布的直方图中＝高度，∴|a－b|＝.‎ ‎2．B 【解析】掷骰子是独立事件，∵·＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概率为.‎ ‎3．A 【解析】依题意，各层次数量之比为4︰3︰2︰1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个.‎ ‎4．C 【解析】设总共有x人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概率是相等的，所以可得＝，解得x＝182.‎ ‎5．C 【解析】设事件A：从0到10岁，事件B：10岁到15岁，A与B互斥，C：0到15岁，所以P(C)＝P(A)·P(B)，∴P（B）＝＝.‎ ‎6．C 【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为P＝1－＝.‎ ‎6．B 【解析】　3个月中恰有1个月有30天的情况有两种：①两个月31天，1个月30天；②31天，30天，28天，各有1个月，故所求概率.‎ ‎7．B 【解析】古典概型问题，基本事件总数为C＝ ‎＝17×16×3，能组成以3为公差的等差数列有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共12组，因此概率P＝＝.‎ ‎8．D 【解析】由题意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4.‎ ‎9．D 解析：由题‎3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1，所以＋＝·(＋)＝3＋＋＋≥＋2＝.(当且仅当a＝2b＝时取等)．‎ ‎10．D 【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有＝15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C·C·C＝8种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是.‎ ‎11．C 【解析】根据分布列的性质：x＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)]＝1－[＋＋…＋]＝＝1－[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.‎ ‎∵n∈N*，∴表格中概率P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi≥0，i＝1，2,…,n.‎ ‎12．C 【解析】这一组函数共有3×9＝21个，从中任意抽取个共有种不同的方法，其中从这些函数中任意抽取两个，向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象有三种情形，则有C＝3种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有三种情形，则有C＝3种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象有两种情形，则有C＝1种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有两种情形，则有C＝1种取法；故所求概率是＝.‎ 二、填空题 ‎13．‎3a＋2 【解析】∵xi＝a，∴(3xi＋2)＝[(3xi)＋2]＝[3xi＋2n＝3·xi＋2＝‎3a＋2.‎ ‎14．85 【解析】每年平均销售盒饭为(30×1＋45×2＋90×1.5)＝85(万盒).‎ ‎15． 【解析】由已知得‎3a＋2b＋0×c＝0，即‎3a＋2b＝2，∴ab＝·‎3a·2b≤()＝.‎ ‎16．160 【解析】：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列公差为a1，等差数列各项和为‎10a1＝1，所以a1＝0.1，最大的矩形为0.4，频数为400*0.4＝160‎ 三、解答题 ‎17．【解】设先答A、B所得奖金分别为ξ和η，则 P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝a)＝(1－)＝，P(ξ＝‎3a)＝×＝，∴Eξ＝a.‎ P(η＝0)＝1－＝，P(ξ＝‎2a)＝(1－)＝，P(ξ＝‎3a)＝×＝，∴Eη＝a.‎ 由此知，先答哪题获奖金的期望一样大.‎ ‎18．【解】(Ⅰ)x＋y＝4上有3个点，x＋y＝3上有2个点，x＋y＝2上有1个点，事件总数为36，‎ 故事件A的概率为＝.‎ ‎(Ⅱ)当点P(a，b)落在直线x＋y＝m上，所以a＋b＝m，‎ 当a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12时，点P(a，b)的个数分别为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，‎ 所以当a＋b＝7时事件的概率最大为，所以m＝7.‎ ‎19．【解】设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．‎ ‎(Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝，即＝，∴＝，解得x＝2，‎ 故文娱队共有5人．‎ ‎(Ⅱ)的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ ‎∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝．‎ ‎20．【解】(Ⅰ)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2‎ 由题意得：，解得P1＝，P2＝或P1＝，P2＝，‎ ‎∴P＝P1P2＝，即一个零件经过检测为合格品的概率为.‎ ‎(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C()4－C()5＝ ‎(Ⅲ)依题意知ξ～B(4，)，Eξ＝4×＝2，Dξ＝4××＝1.‎ ‎21．【解】(Ⅰ)记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，‎ P(A1)＝1－＝1－()3＝.‎ ‎(Ⅱ)记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则 P(A2)＝C()2(1－)＝，P(B1)＝C()2(1－)＝C··(1－)2＝.‎ ‎∴P(A2B1)＝P(A2)·P(B1)＝×＝ 两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为.‎ ‎(Ⅲ)记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，‎ P(A2)＝()2·()2＋··()2＝.‎ ‎22．【解】用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，‎ 且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是1－P()＝1－P()P()P()＝1－()3＝.‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎＝＝‎ ‎＝=‎ 所以， ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的期望 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com