数学理卷·2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中考试（2017

‎2018年全国高考3+3分科综合卷（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，，则集合等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为（ ）‎ A．①系统抽样，②分层抽样 B．①分层抽样，②系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样 D．①分层抽样，②简单随机抽样 ‎4．如图，已知平行四边形中，，，为线段的中点，，则（ ）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎5．圆截直线所得弦长为2，则实数等于（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎6．已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．运行如图程序，则输出的的值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2018 D．2017‎ ‎8．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数的图象向右平移个单位后的图象关于直线对称，则实数的值可以是（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，在双曲线的一条渐近线上，为线段的中点，且，则该双曲线的渐近线为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．8‎ ‎12．若函数存在正的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．展开式中，的系数为 ．‎ ‎14．已知实数满足，则当取得最小值时， ．‎ ‎15．已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积为 ．‎ ‎16．锐角的面积为2，且，若恒成立，则实数的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知等差数列的前项和为，且的首项与公差相同，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式以及前项和为的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎18．如图，在矩形中，，，是平面同一侧面点，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎19．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.‎ ‎（Ⅰ）如果钢管的直径满足为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.‎ ‎（参考数据：若，则；；）‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.‎ ‎21．函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，且分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交曲线于两点，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对任意正数恒成立，求的取值范围.‎ ‎2018年全国高考3+3分科综合卷（一）‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:ABCDD 6-10:BDACA 11、12：BB 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）依题意，解得；‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）依题意，，‎ 故.‎ ‎18．解：（Ⅰ）∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∵，，故.‎ 又∵，∴平面.‎ 又∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵，，，∴，∴，‎ 又∵，，∴平面.‎ 故以为坐标原点，过作与底面垂直的直线作为轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎，，，.‎ 设平面的一个法向量，，，‎ 则，即，令，得.‎ 同理可求得平面的一个法向量，‎ ‎∴，所以二面角的正弦值为.‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，40根钢管中合格品为38根，次品为2根，任意挑选3根，‎ 则次品数的可能取值为0,1,2，‎ ‎，，.‎ 次品数的分布列为 数学期望.‎ ‎20．解：（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，‎ 令，解得，故，又，解得椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：联立故，‎ 设，，则，，‎ 假设，故 ‎.‎ 要使其为定值，则，解得.‎ 故定点的坐标为.‎ ‎21．解：.‎ ‎（Ⅰ）若则，，则曲线在处的切线方程为，化简得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令，得，则且，得.‎ 此时设的两根为，所以，，‎ 因为，所以，由，且得.‎ 所以.‎ 由得，代入上式得，.‎ 令，所以，，则，‎ ‎，所以在上为减函数，‎ 从而，即，所以.‎ ‎22．解：（Ⅰ）∵曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎∴曲线的普通方程为 曲线表示以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入并化简得：‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为；‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴弦长为.‎ ‎23．解：（Ⅰ）（当且仅当时“=”成立）.‎ 若存在使不等式成立，则.‎ 故，所以或，即.‎ ‎（Ⅱ）由已知，即对于任意正数恒成立，也就是，‎ 又（当且仅当时“=”成立），‎ 所以.‎ 即或或.‎ 综上所述，.‎ ‎ ‎