江苏省扬州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省扬州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，0，1，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 3. 设集合，，若，则a的范围是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知，则 A. B. C. D. ‎ 5. 已知幂函数的图象过点，则 A. 27 B. 81 C. 12 D. 4‎ 6. 若函数在上是单调函数，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 或 7. 若集合其中只有一个元素，则 A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4‎ 8. 设是奇函数，且在内是增加的，又，则的解集是 A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 9. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数，不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若函数为偶函数，则实数a的值为______．‎ 14. 若，则________________‎ 15. 已知函数，若对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是______．‎ 16. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. ‎2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，0，1，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 3. 设集合，，若，则a的范围是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知，则 A. B. C. D. ‎ 5. 已知幂函数的图象过点，则 A. 27 B. 81 C. 12 D. 4‎ 6. 若函数在上是单调函数，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 或 7. 若集合其中只有一个元素，则 A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4‎ 8. 设是奇函数，且在内是增加的，又，则的解集是 A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 9. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数，不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若函数为偶函数，则实数a的值为______．‎ 14. 若，则________________‎ 15. 已知函数，若对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是______．‎ 16. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B． 求； 若不等式的解集为，求a，b的值． ‎ 1. 已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，， 求函数的表达式； 求方程的解集． ‎ 2. 设集合，． 若，求a的值； 若，求a的值． ‎ 3. 已知定义在区间上的函数为奇函数． 求实数a的值； 判断并证明函数在区间上的单调性； 解关于t的不等式． ‎ 4. 已知函数，且． 证明：当a变化，函数的图象恒经过定点； 当时，设，且，，求用m，n表示； 在的条件下，是否存在正整数k，使得不等式在区间上有解，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由． ‎ 5. 已知函数，其中a为常数 若，写出函数的单调递增区间不需写过程； 判断函数的奇偶性，并给出理由； 若对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】先解出，然后进行交集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集的运算． 【解答】 解：； ． 故选：C． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：要使函数有意义，则， 即， 且， 即函数的定义域为． 故选：C． 根据函数成立的条件，建立不等式关系即可求出函数的定义域． 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：集合，，，， 故选：A． 根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得． 本题主要考查集合中参数的取值问题，集合间的包含关系，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， 设，整理，得：， ， ． 故选：C． 设，得，从而，由此能求出． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设幂函数， 又过点， ， 解得， ， ． 故选：B． 用待定系数法求出的解析式，再计算的值． 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意有， 函数在上单调递减，在上单调递增 或， 故选：D． 配方得，根据图象即可得到或． 本题主要考查二次函数的单调性，属于基础题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题． 当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程，只需判别式为零即可． 【解答】 解：当时，方程为不成立，不满足条件 当时，，解得 故选：A． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：是奇函数，且在内递增， 在内也递增， 又，， 作出的草图，如图所示： 由图象可知， 或或， 的解集是或． 故选C． 由已知可判断在内的单调性及所过点，作出其草图，根据图象可解不等式． 本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， ，又， 故由二次函数图象可知： m的值最小为； 最大为3． m的取值范围是：， 故选：C． 根据函数的函数值，，结合函数的图象即可求解 本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由得或， 当时，单调递减， 而，由复合函数单调性可知在上是单调递增的，在上是单调递减的． 故选：A ‎． 由得或，由于当时，单调递减，由复合函数单调性可知在上是单调递增的，在上是单调递减的． 本题考查了对数函数的单调区间，同时考查了复合函数的单调性，在解决对数问题时注意其真数大于0，是个基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数满足，故为偶函数． 当时， 单调递增，当时， 单调递减， 故由不等式，故有， 即，求得， 故选：C． 分类讨论x的符号，根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性，列出不等式，求得x的范围． 本题主要考查对数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意知，当时，，为减函数， 当时，，为减函数，从而在R上为减函数， 由题意知， 若存在实数，使得的定义域与值域都为， 则，两式相加得， 即， 得或，舍 故， 综上， 故选：B． 根据函数的奇偶性求出当时的解析式，判断函数的单调性，结合函数单调性的性质建立方程进行转化求解即可． 本题主要考查函数奇偶性的应用，结合奇函数的性质求出函数的解析式，判断函数的单调性，建立方程是解决本题的关键． 13.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：为偶函数， ， ． 故答案为：1． 根据偶函数的定义即可求出a的值． 本题考查了偶函数的定义，考查了计算和推理能力，属于基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ， ． 故答案为：． 根据对数函数的恒等式，求出的值，再计算的值． 本题考查了对数恒等式的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数，若对任意实数，都有成立， 函数为定义域上的增函数， ， ． 故答案为：． 确定函数为定义域上的增函数，从而可得不等式组，即可求出实数a的取值范围． 本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意，函数图象大致如下： 令，根据图象可知， 关于x的方程有6个不同的实数解， 可转化为关于t的方程有2个不同的实数解， 且必有一个解为0，另一个解大于0， ． 则，解为，． ，即． ． 故答案为：． 本题要先画出函数大致图象，然后令，关于x的方程有6个不同的实数解，即t有两个不同的根，再经过计算可得a、b的值，即可得出结果． 本题主要考查数形结合思想的应用，以及换元法的应用，结合图形进行计算的能力．本题属中档题． 17.【答案】解：， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， ； 由得：，2为方程的两根， ， ． ‎ ‎【解析】本题考查了不等式的解法，考查集合的运算，属于基础题． 通过解不等式求出集合A、B，从而求出即可； 问题转化为，2为方程的两根，得到关于a，b的方程组，解出即可． ‎ ‎18.【答案】解：根据题意，函数是奇函数，则， 当时，，则， ， 由得： 当时，，，舍负， 当时，成立； 当时，，，舍正， 综上，方程的解集为0，． ‎ ‎【解析】根据是R上的奇函数得出，可设，从而得出，从而得出的表达式； 根据的表达式，由得出关于x的方程，解方程即可． 本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】解：由题得，是方程的根， ，，； 由题得，， 当时，，； 当或时，，，此时，成立； 当时，，， 综上，或． ‎ ‎【解析】利用，代入即可；对B进行讨论，求出a． 考查了集合和元素的关系，集合与集合的关系，基础题． 20.【答案】解：根据题意，函数为定义在区间上的奇函数， 则，即， 此时为奇函数，符合题意； 故； 在上为增函数， 证明：设， 则， 又由， 则，， 则有，故函数在上为增函数； 根据题意，由的结论，为奇函数且在上为增函数， 则， 解可得：，即t不等式的解集为 ‎ ‎【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得a的值，即可得答案； 根据题意，由作差法分析可得结论； 根据题意，由函数的单调性以及奇偶性分析可得，解可得t的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题． 21.【答案】解：证明：当时，不论a取何值，都有， 故函数的图象恒经过定点； 当时，， ，， ． 不等式化为 ‎ 即在区间上有解； 令，则， ，，， 又k是正整数，故k的最大值为3． ‎ ‎【解析】本题利用对数函数的性质求解， 利用对数函数的运算公式求解； 利用转化思想，转化为在区间上有解，再求函数的最值． 本题考查了对数函数的性质和运算法则以及转化思想和函数最值．属于中档题． 22.【答案】解：，函数，所以，递增区间为：； 当时，，为偶函数； 当时，，， 为非奇非偶函数； 转化为求函数的最小值， 设，，， 对于， 当时，；当时， 对于， 当时，，当时， 当时，， ，由，解得满足； 当时，， 由，解得或，不满足； 当时，， ，由，解得，满足题意． 所以实数a的取值范围是：或． ‎ ‎【解析】利用，直接写出函数的递增区间． 时，判断函数的奇偶性，当时，通过特殊值，说明为非奇非偶函数； 设，，，通过 对于当时，当时，求解，对于，当时，当时，求解，推出，由，解得，得到实数a的取值范围即可． 本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题． ‎