高考数学复习专题-必背公式与知识点过关检测

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高考数学复习专题-必背公式与知识点过关检测

第七章:高考数学必背公式与知识点过关检测 第一部分:集合与常用逻辑用语 1.子集个数:含 n个元素的集合有 个子集,有 个真子集,有 个非空子集,有 个非空真子集 2.常见数集:自然数集: 正整数集: 或 整数集: 有理数集: 实数集: 3.空集: 是任何集合的 ,是任何非空集合的 . 4.元素特点: 、 、 确定性 5.集合的的运算: 集运算、 集运算、 集运算 6.四种命题:原命题:若 p,则 q;逆命题:若 ,则 ;否命题:若 ,则 ;逆否命题:若 , 则 ; 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互 ;原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ;原命题 与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 7.充要条件的判断: p q , p是 q的 条件; p q , q是 p的 条件; p q , ,p q互为 条件;若命题 p对应集合 A,命题 q对应集合B,则 p q 等价于 , p q 等价于 注意区分: “甲是乙的充分条件(甲乙)”与“甲的充分条件是乙(乙甲)”; 8.逻辑联结词:或命题: p q , ,p q有一为真即为 , ,p q均为假时才为 ;且命题: p q , ,p q均 为真时才为 , ,p q有一为假即为 ;非命题: p 和 p为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词: (1)全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用表示;全称命题 p: )(, xpMx ;全称命题 p 的否定  p: ; (2)存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用 表示;特称命题 p: )(, xpMx ;特称命题 p 的否定  p: ; 第二部分:函数与导数及其应用 1.函数的定义域:分母 0;偶次被开方数 0;0 次幂的底数 0 ;对数函数的真数 0;指数与 对数函数的底数 0 且 1 2.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论; 分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3.函数的单调性:设 1x , 2 [ , ]x a b ,且 1 2x x ,那么: (1)  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a b x x     在 上是 函数; (2)  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a b x x     在 上是 函数; (3)如果 0)(  xf ,则 )(xf 为 函数; 0)(  xf ,则 )(xf 为 函数; (4)复合函数的单调性:根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.函数的奇偶性: (1)函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件.... (2) )(xf 是 函数 )()( xfxf  ; )(xf 是 函数 )()( xfxf  . (3)奇函数 )(xf 在 0 处有定义,则 (4)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有 的单调性,偶函数有 的单调性 (5)偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于 对称 5.函数的周期性: 周期有关的结论:(约定 a>0) (1) )()( axfxf  ,则 )(xf 的周期T = ; (2) )()( xfaxf  ,或 )0)(( )( 1)(  xf xf axf ,或 1( ) ( ) f x a f x   ( ( ) 0)f x  ,则 )(xf 的周期T = (3) )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 6.函数的对称性: ① ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   ; ② ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f b x    ( ) ( )f a b x f x    ; 7.对数运算规律: (1)对数式与指数式的互化: (2)对数恒等式: log 1a  , loga a  , log b a a  . lg 2+ lg 5  , ln e  (3)对数的运算性质: ①加法: log loga aM N  ②减法: loga M N  ③数乘: log ( )n a M n R  ④恒等式: loga Na  ⑤ log m n a b  ⑥换底公式: loga N  8.二次函数: 二次函数 cbxaxy  2 (a≠0)的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 判别式 acb 42  ; 0 时,图像与 x轴有 个交点; 0 时,图像与 x轴有 个交点; 0 时,图像与 x 轴没有交点; 9. 韦达定理: 若 21, xx 是一元二次方程 )0(02  acbxax 的两个根,则: 21 xx  = , 21xx = . 10.零点定理:若  xfy  在  ba, 上满足 , 则  xfy  在  ba, 内至少有一个零点 11.常见函数的导数公式: ① '( )C  ;② '( nx ) ; '(nx ) ③ '(sin x ) ; ④ '(cos x ) ; ⑤ '( xe ) ; ⑥ '( xa ) ; ⑦ '(ln x ) ; ⑧ '(log x ) . 12.导数运算法则:    f x g x    (1) ;     2 f x g x       ( ) . 13.曲线的切线方程:函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率为 )( 0xf  , 相应的切线方程是 . 14.微积分基本定理: 如果  f x 是 ,a b 上的连续函数,并且有    F x f x  ,则 第三部分:三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.角度制与弧度制互化: 360°= rad,180°= rad,1°= ≈ rad,1 rad = ≈ 2.若扇形的圆心角为   为弧度制 ,半径为 r,弧长为 l,周长为C,面积为 S,则 l  ,C  ,S= = . 3.三角函数定义式:角 终边上任一点(非原点)P ),( yx ,设 rOP || 则 sin  , cos  , tan  4.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系 (2)商数关系 . 5.函数的诱导公式:口诀: . (1) sin(2 ) sink    , , .(k∈Z) (2) , ,  tan tan    . (3) , ,  tan tan    . (4) , ,  tan tan     . (5) sin( ) cos 2     , . (6) , cos( ) sin 2      . 6.特殊角的三角函数值:  0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 角 的弧 度数 sin cos tan 7.三角函数的图像与性质: siny x cosy x tany x 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 8.几个常见三角函数的周期: ① xy sin 与 xy cos 的周期为 . ② )sin(   xy 或 )cos(   xy ( 0 )的周期为 . ③ 2 tan xy  的周期为 . ④ xy cos 的周期为 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1)  cos    ;(2)  cos    ; (3)  sin    ;(4)  sin    ; (5)  tan    ;(6)  tan    . 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 2  cos 2  = = 降幂公式 2cos   , 2sin   , sin cos   , tan 2  11.引入辅助角公式: sin cosa b   . (其中,辅助角所在象限由点 ( , )a b 所在的象限决定, tan b a   ). 12. 正弦定理: . ( R是 ABC 外接圆直径) ① CBAcba sin:sin:sin::  ; ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ; ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin    13. 余弦定理:  .(变式)(以 A角和其对边来表示) 14. 三角形面积公式: ABCS  = = .(用边与角的正弦值来表示) 三角形面积导出公式: ABCS  ( r为 ABC 内切圆半径)= ( R外接圆半径) 15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = = 第四部分:平面向量、数列与不等式 1.平面向量的基本运算:设 1 1( , )a x y  , 2 2( , )b x y  ;( 0b    ) a b   = ; a b   = ; a b  (定义公式)= (坐标公式). a  在b  方向上的投影为. = (坐标公式) a b   (一般表示)  (坐标表示) . a  ∥b   (一般表示) (坐标表示). 夹角公式 cos = (坐标公式). 2.若G为 ABC 的重心,则 =0  ;且G点坐标为 ( , ) 3.三点共线的充要条件: BAP ,, 三点共线 OP xOA yOB      且 4.三角形的四心 重心:三角形三条 交点. 外心:三角形三边 相交于一点. 内心:三角形三 相交于一点. 垂心:三角形三边上 的相交于一点. 5. 数列{ na }中 na 与 nS 的关系 na  6. 等差数列与等比数列对比小结: 等差数列 等比数列 定义 公式 1. na  2. nS  1. na  2. nS  性质 1. cba ,, 成等差数列 称b为 a与 c的等差中项 2.若m n p q   , 则 ( ) 1. cba ,, 成等比数列 称b为 a与 c的等比中项 2.若m n p q   , 则 ( ) 7.常见数列的和: ①1+2+3+…+n= ②12+22+32+…+n2= ③13+23+33+…+n3= 8.一元二次不等式解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 ( 0a )的图象 一元二次方程 02  cbxax  0a 的解集 02  cbxax  0a 的解集 02  cbxax  0a 的解集 9. 均值不等式: 若 0a  , 0b  ,则  ; 10. 重要不等式: 11.极值定理:已知 yx, 都是正数,则有: (1)如果积 xy是定值 p,那么当 yx  时和 yx  有最小值 ; (2)如果和 yx  是定值 s,那么当 yx  时积 xy有最大值 . 12.两个著名不等式: (1)平均不等式: 如果 ba, 都是正数,那么 (当仅当 ba  时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均( ba, 为正数) 特别地, 2 2 2( ) 2 2 a b a bab     (当 ba  时, 2 2 2( ) 2 2 a b a b ab    ) ),,,( 33 2222 时取等cbaRcbacbacba          幂平均不等式: 2 21 22 2 2 1 )...(1... nn aaa n aaa  (2)柯西不等式: .(当且仅当 ad=bc 时取等号) 第五部分:立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图: 原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式: 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S = 球的表面积 S= 3.常见几何体体积公式: 柱体的体积 V= 锥体的体积 V = 台体的体积 V = 球体的体积 V = 4. 常见空间几何体的有关结论: (1)棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 ,截面面积与 底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离 与棱锥高的 . (2)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ,b,c,则体对角线长为 ,全面积 为 ,体积 V = (3)正方体的棱长为 a,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积 V = (4)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径=长方体的 长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. (5)正四面体的性质:设棱长为 a,则正四面体的: 1 高: ;②对棱间距离: ;③内切球半径: ;④外接球半径: 5. 空间向量中的夹角和距离公式: (1)空间中两点 A 1 1 1( , , )x y z , B 2 2 2( , , )x y z 的距离 d= (2)异面直线夹角: (0, ] 2   cosθ= (两直线方向向量为 ,a b   ) (3)线面角: [0, ] 2   ,且 sinθ= ( l  , n  为直线的方向向量与平面的法向量) (4)二面角: [0, ]  ,且 cosθ= (两平面的法向量分别为 1n  和 2n  ) (5)点到面的距离:平面 的法向量为 n  ,平面 内任一点为N ,点M 到平面 的距离 d= 6.直线的斜率: k = = ( 为直线的倾斜角, 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直线上的两点) 7. 直线方程的五种形式: 直线的点斜式方程: (直线 l过点 1 1 1( , )P x y ,且斜率为 k ). 直线的斜截式方程: (b为直线 l在 y轴上的截距). 直线的两点式方程: ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x , 1 2y y ). 直线的截距式方程: (a、b分别为直线在 x轴、 y轴上的截距,且 0,0  ba ). 直线的一般式方程: (其中 A、B 不同时为 0). 8.两条直线的位置关系: (1)若 1 1 1:l y k x b  , 2 2 2:l y k x b  ,则:① 1l ∥ 2l  且 ;② 1 2l l  . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,则:① 1l ∥ 2l  且 ;②. 1 2l l  . 9.距离公式: (1)点 1 1 1( , )P x y , 2 2 2( , )P x y 之间的距离: (2)点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   的距离: (3)平行线间的距离: 1 0Ax By C   与 2 0Ax By C   的距离: 10.圆的方程: (1)圆的标准方程: (2)圆的一般方程: ( )0422  FED 11.直线与圆的位置关系:判断圆心到直线的距离 d 与半径 R的大小关系 (1)当 时,直线和圆 (有两个交点); (2)当 时,直线和圆 (有且仅有一个交点); (3)当 时,直线和圆 (无交点); 12. 圆与圆的位置关系:判断圆心距 d与两圆半径和 1 2R R ,半径差 1 2R R ( 1 2R R )的大小关系: (1)当 时,两圆 ,有 4 条公切线; (2)当 时,两圆 ,有 3 条公切线; (3)当 时,两圆 ,有 2 条公切线; (4)当 时,两圆 ,有 1 条公切线; (5)当 时,两圆 ,没有公切线; 13. 直线与圆相交所得弦长 AB = ( d 为直线的距离 r为半径) 14.椭圆的定义: (1)第一定义:平面内与两个定点 21 FF、 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距.( 222 cba  ) (2)标准方程:焦点在 x轴上: ;焦点在 y轴上: . 15.双曲线的定义:(1)第一定义:平面内与两个定点 21 FF、 的距离之差的绝对值等于常数: 的 点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.( 222 abc  ) (2)标准方程:焦点在 x轴上: ;焦点在 y轴上: . 16.抛物线的定义: (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在 l上)的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是 抛物线的焦点,定直线是抛物线的准线. (2)标准方程:焦点在 x轴上: ;焦点在 y轴上: . 17.离心率:e= (椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率 ) 18.双曲线的渐近线: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a  , 0b  )的渐近线方程为 ,且与 2 2 2 2 1x y a b   具有相同渐 近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 x y a b   . 19.过抛物线焦点的直线: 倾斜角为 的直线过抛物线 2 2y px 的焦点 F 且与抛物线交于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点( 1 0y  ): AF BF AB = 21xx 21yy  BFAF 11 20.焦点三角形的面积:(1)椭圆: S = ;(2)双曲线: S = ( 1 2F PF   ) 21.几何距离: (1)椭圆双曲线特有距离:①长轴(实轴): ; ②短轴(虚轴): ; ③两焦点间距离: . (2)焦准距:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: . (3)通径长:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: . 22.直线被曲线所截得的弦长公式:若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx ,则 AB = = 23. 中点弦问题: 椭圆:  OPAB kk 双曲线:  OPAB kk 第六部分:统计与概率 1. 总体特征数的估计: ⑴样本平均数 x = ; ⑵样本方差;S2= = ; ⑶样本标准差 S= 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:   BAP ⑵古典概型:基本事件的总数数为 N ,随机事件 A包含的基本事件个数为M ,则事件 A发生的概率为:  AP = ⑶几何概型: )(AP 3.离散型随机变量: ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质: ip , 3,2,1i ;  21 pp ②离散型随机变量: x 1x 2x … nx p 1p 2p … np 均值(又称期望): EX = 方差:DX = 注: 2( ) ( )E aX b aEX b D aX b a DX    ; ; ③二项分布(独立重复试验):若  pnBX ,~ ,则 EX = , DX = 注: knkk n ppCkXP  )1()( ⑵条件概率:  ABP | 注:   1|0  ABP ⑶独立事件同时发生的概率:  ABP 第七部分:复数与计数原理 1. 复数的基本概念: z a bi  ( a,b R ) (1)实部: ;虚部: ; 虚数单位:i2= (2)模:|z|= = (3)共轭复数:-z = (4)在复平面内对应的点为 (5)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R) 2. 复数的基本运算: (1)加减法:(a+bi)+(c+di)= (a+bi)-(c+di)= (2)乘法:(a+bi)×(c+di)= (3)除法:(a+bi)÷(c+di)= 注:对虚数单位 i ,有 1 , ,1, 4342414   nnnn iiiiii . 3.分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理):. (1)完成一件事有 n类不同方案,在第1类方案中有 1m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 2m 种不同的方法,…, 在第 n类方案中有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. (2)完成一件事情,需要分成 n个步骤,做第1步有 1m 种不同的方法,做第 2 步有 2m 种不同的方法……做第 n步 有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 4.排列数公式: n nA = = ; m nA = (m≤ n, m、n∈N*) 规定0! 1 5.组合数公式: m nC = ( n,m N  ,且m n ); 6. 组合数性质: m nC  ; 1m m n nC C   7.二项式定理:(a+b)n= ( r nC 叫做二项式系数) 8.二项展开式的通项公式:Tr+1= (r=0,1,2……,n) 第八部分:坐标系与参数方程 1. 极坐标→直角坐标 cos sin x y        直角坐标→极坐标 2 2 tan ( 0) x y y x x          2. 圆的极坐标方程: ①以极点为圆心, a为半径的圆的极坐标方程是 ; ②以 ( ,0)a )0( a 为圆心, a为半径的圆的极坐标方程是 ; ③以 ( , ) 2 a  )0( a 为圆心, a为半径的圆的极坐标方程是 ; ④以  , ( 0)a a  为圆心, a为半径的圆的极坐标方程是 ; ⑤以 3, ( 0) 2 a a      为圆心, a为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程: 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程 参数方程 直线 过点 0 0( , )x y 倾斜角为 0 0tan ( )y y x x   或者 0x x ( t为参数) 圆 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    ( 为参数) 椭圆 12 2 2 2  b y a x (a>b>0) ( 为参数) 双曲线 12 2 2 2  b y a x (a>0,b>0) (为参数) 抛物线 2 2y px (p>0) ( t为参数)
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