必备中考数学专题复习课件第一部分 第二章第7课时一元二次方程及其应用

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必备中考数学专题复习课件第一部分 第二章第7课时一元二次方程及其应用

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(2)一元二次方程的一般形式:____________________, 它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式, 等式右边是零,其中ax2叫做__________,__________叫 做二次项系数;bx叫做__________,__________叫做一次 项系数; __________叫做常数项. 一个 2 整式 ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项 a 一次项 b c 2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接________求一元二次方程的解的 方法,叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 (x+a)2=b的一元二次方程.根据平方根的定义可知, x+a是b的平方根,当b≥0时,x+a=± ,x=-a± ; 当b<0时,方程 __________实数根. (2)配方法 配方法的理论根据是完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2,把公式中的a看作未知数x,并用x代替,则有 x2±2bx+b2=(x±b)2. 开平方 没有 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次 项的系数化为1,再同时加上一次项系数的一半的平方, 最后配成完全平方公式. (3)公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法,它是 解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:x= _________________(b2-4ac≥0). 公式法的步骤:把一元二次方程的各系数分别代入求根 公式,然后计算得出结果即可,这里二次项的系数为a, 一次项的系数为b,常数项的系数为c. (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的思想,使方程化为两个 一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而求出方程的解的方法,它是解一元二次方程最常 用的方法. 主要公式 3. 根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判 别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=_____________. I. 当Δ>0时,一元二次方程有________________的实数 根; II. 当Δ=0时,一元二次方程有______________的实数 根; III. 当Δ<0时,一元二次方程__________实数根. 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式: x= (b2-4ac≥0). b2-4ac 2个不相等 2个相等 没有 方法规律 5. 公式法和因式分解法的运用技巧 (1)在解一元二次方程时,最常用到的方法是公式法和 因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之 为万能法). 在使用公式法时,一定要把原方程化成一般 形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别 式的值,以便判断方程是否有解. (2)在运用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形 式,同时应使二次项系数化为正数. 典型例题 1. (2019安徽)解方程:(x-1)2=4. 中考考点精讲精练 考点1 解一元二次方程(5年1考) 解:两边直接开平方,得x-1=±2. ∴x-1=2或x-1=-2. 解得x1=3,x2=-1. 2. (2019沙坪坝区)解方程:x2+x-1=0. 解:∵a=1,b=1,c=-1, ∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=5. ∴x= ∴x1= ,x2= . 3. (2019齐齐哈尔)解方程:x2+6x=-7. 解:∵x2+6x=-7, ∴x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2. 则x+3=± . ∴x=-3± . ∴x1=-3+ ,x2=-3- . 4. (2019沙坪坝区)解方程:(x+2)(x+3)=20. 解:原方程整理,得x2+5x-14=0. ∴(x+7)(x-2)=0. ∴x+7=0或x-2=0. ∴x1=-7,x2=2. 考点演练 5. (2019无锡)解方程:x2-2x-5=0. 解:∵a=1,b=-2,c=-5, ∴Δ=4-4×1×(-5)=24>0. 则x= ∴x1=1+ ,x2=1- . 6. (2019常德)解方程:x2-3x-2=0. 解:∵a=1,b=-3,c=-2, ∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=9+8=17. ∴x= ∴x1= ,x2= 7. (2019绍兴)x为何值时,两个代数式x2+1,4x+1的 值相等? 解:根据题意,得x2+1=4x+1. ∴x2-4x=0. ∴x(x-4)=0. ∴x1=0,x2=4. 8. 解方程:(x+1)2=3(x+1). 解:∵(x+1)2=3(x+1), ∴(x+1)2-3(x+1)=0. ∴(x+1)(x-2)=0. ∴x+1=0或x-2=0. 解得x1=-1,x2=2. 考点点拨: 本考点是广东中考的高频考点,题型一般为选择题和解 答题,难度中等. 解答本考点的有关题目,关键在于掌握解一元二次方程 的基本思路和步骤. 注意以下要点: (1)解一元二次方程的基本思路是降次,解法包括直接 开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种; (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法,重 点在于掌握求根公式和因式分解的方法. 典型例题 1. (2019淮安)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有 两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. k<-1 B. k>-1 C. k<1 D. k>1 2. (2019北京)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根, 且m为正整数,求m的值及此时方程的根. 考点2 一元二次方程根的判别式与根的情况(5年4考) B 解:∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根, ∴b2-4ac=4-4(2m-1)≥0. 解得m≤1. ∵m为正整数,∴m=1. ∴x2-2x+1=0. 则(x-1)2=0. 解得x1=x2=1. 3. (2019黄冈)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的 两 根,则x1·x2的值为( ) A. -5 B. 5 C. -4 D. 4 4. (2019绥化)已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数 根. (1)求k的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当 x1+x2+x1x2 =4时,求k的值. A 解:(1)当k=0时,原方程为-3x+1=0, 解得x= ∴k=0符合题意. 当k≠0时,原方程为一元二次方程, ∵该一元二次方程有实数根, ∴Δ=(-3)2-4×k×1≥0. 解得k≤ 综上所述,k的取值范围为k≤ (2)∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的两个根, ∴x1+x2= ,x1x2= ∵x1+x2+x1x2=4, ∴ =4. 解得k=1. 经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意. ∴k的值为1. 考点演练 5. (2019新疆)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1 =0有两个实数根,则k的取值范围是( ) A. k≤ B. k> C. k< 且k≠1 D. k≤ 且k≠1 6. (2018北京)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 a,b的值,并求此时方程的根. D 解:(1)∵Δ=b2-4ac=(a+2)2-4a=a2+4, 又∵a≠0, ∴a2>0.∴Δ>0. ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵方程有两个相等的实数根, ∴Δ=b2-4a=0. 若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x+1=0. 解得x1=x2=-1. 7. (2019自贡)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实 数根,则实数m的取值范围是( ) A. m<1 B. m≥1 C. m≤1 D. m>1 8. (2019巴中)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1) x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)设x1,x2是方程的两根,且x12+x22+x1x2-17=0, 求m的值. D 解:(1)根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-1)>0, 解得m> (2)根据题意,得 x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1, ∴x12+x22+x1x2-17=(x1+x2)2-x1x2-17=(2m+1)2- (m2-1)- 17=0. 解得m1= ,m2=-3(不合题意,舍去). ∴m的值为 . 考点点拨: 本考点是广东中考的高频考点,题型一般为选择题,难 度中等. 解答本考点的有关题目,关键是熟练掌握一元二次方程 根的判定方法. 注意以下要点: 一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系: (1)Δ>0 方程有两个不相等的实数根; (2)Δ=0 方程有两个相等的实数根; (3)Δ<0 方程没有实数根. 典型例题 1. (2019大连)某村2016年的人均收入为20 000元, 2018年的人均收入为24 200元. (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平 均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入是多少 元? 考点3 一元二次方程的应用(5年未考) 解:(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长 率为x,根据题意,得 20 000(1+x)2=24 200. 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去). 答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为 10%. (2)24 200×(1+10%)=26 620(元). 答:预测2019年该村的人均收入是26 620元. 2. 已知某两个连续自然数的积比它们的和大109,求这 两个自然数. 解:设这两个连续自然数分别是x,x+1,依题意,得 x(x+1)-[x+(x+1)]=109. 整理,得(x-11)(x+10)=0. 解得 x1=11,x2=-10(舍去). 则x+1=12. 答:这两个自然数分别是11,12. 3. 有一条长为16 m的绳子,你能否用它围出一个面积为 15 m2的矩形,长、宽分别是多少? 解:设矩形的长为x m,则宽为(8-x)m,则 x(8-x)=15,即x2-8x+15=0. 解得x=3或x=5. 答:矩形的长为5 m,宽为3 m. 4. (2019安顺)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格 购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让 顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果 销售量 y(kg)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一 次函数关系,其图象如图2-7-1: (1)求y与x之间的函数关系式; (2)商贸公司要想获利2 090元, 则这种干果每千克应降价多少元? 解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b, 当x=2时,y=120;当x=4时,y=140. ∴ 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100. (2)由题意,得(60-40-x)(10x+100)=2 090. 整理,得x2-10x+9=0. 解得x1=1,x2=9. ∵让顾客得到更大的实惠,∴x=9. 答:商贸公司要想获利2 090元,则这种干果每千克应降 价9元. 考点演练 5. (2019德州)习近平总书记说:“读书可以让人保持 思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之 气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向 社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次, 进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若 进馆人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率; (2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500 人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图 书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由. 解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意, 得 128+128(1+x)+128(1+x)2=608. 化简,得4x2+12x-7=0. ∴(2x-1)(2x+7)=0. ∴x=0.5=50%或x=-3.5(舍去). 答:进馆人次的月平均增长率为50%. (2)∵进馆人次的月平均增长率为50%, ∴第四个月的进馆人次为 128(1+50%)3=128× =432<500. 答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 6. (2019徐州)如图2-7-2,有一块矩形硬纸板,长30 cm,宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后 将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当 剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积 为200 cm2? 解:设剪去正方形的边长为x cm,则做成无盖长方体 盒子的底面长为(30-2x) cm, 宽为(20-2x) cm,高为x cm, 依题意,得 2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200. 整理,得2x2-25x+50=0. 解得x1= ,x2=10. 当x=10时,20-2x=0,不合题意,舍去. 答:当剪去正方形的边长为 cm时,所得长方体 盒子的侧面积为200 cm2. 7. 某种小鸡传染病传染快,一只带病毒的小鸡经过两轮 的传染后使鸡场里共有169只小鸡患病,在每轮的传染中, 平均一只小鸡传染了几只小鸡? 解:设在每轮的传染中,平均一只小鸡传染了x只小 鸡,由题意,得 x+1+x(x+1)=169. 解得x1=12,x2=-14(舍去). 答:在每轮的传染中,平均一只小鸡传染了12只小 鸡. 8. (2019东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效 益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价 促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查: 这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个; 若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电 子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销 售单价为多少元时,公司每天可获利32 000元? 解:设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可 售出[300+5(200-x)]个,依题意,得 (x-100)[300+5(200-x)]=32 000. 整理,得x2-360x+32 400=0. 解得x1=x2=180. 180<200,符合题意. 答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时, 公司每天可获利32 000元. 考点点拨: 本考点是广东中考的高频考点,题型一般为解答题和选 择题,难度中等. 解答本考点的有关题目,关键在于找到合适的等量关系. 1. (2019广东)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的 两个实数根,下列结论错误的是( ) A. x1≠x2 B. x12-2x1=0 C. x1+x2=2 D. x1·x2=2 2. (2018广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个 不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ) A. m< B. m≤ C. m> D. m≥ 广东中考 D A 3. (2017广东)若2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数 k的值为( ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 4. (2015广东)若关于x的方程x2+x-a+94=0有两个不相 等的实数根,则实数a的取值范围是( ) A. a≥2 B. a≤2 C. a>2 D. a<2 5. (2019广州)关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2 =0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2) +2x1x2=-3,则k的值为( ) A. 0或2 B. -2或2 C. -2 D. 2 B C D 6. (2016广州)定义运算:a*b=a(1-b). 若a,b是方 程x2-x+ m=0(m<0)的两根,则b*b-a*a的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 7. (2016梅州)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形. 设矩形的一边长为x cm,则可列方程为 ________________. 8. (2015广东)解方程:x2-3x+2=0. A x(20-x)=64 解:∵a=1,b=-3,c=2, ∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1. ∴x= ∴x1=1,x2=2. 9. (2019广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广 东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统 计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底, 全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数 量将达到17.34万座. (1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座? (2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数 量的年平均增长率. 解:(1)1.5×4=6(万座). 答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座. (2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均 增长率为x, 依题意,得6(1+x)2=17.34. 解得x1=0.7=70%,x2=-2.7 (舍去). 答:2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增 长率为70%.
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