【精品】人教版 九年级下册数学 27

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27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的 判定定理. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点) 学习目标 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 导入新课 复习引入 讲授新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ AB AC k. A' B' A' C'   两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC . A' B' A' C'  证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' A' D A' E . A' B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， AB AC A' B' A' C'  ， =A' D A' E AC A' B' A' C' A' C'  ，∴ 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′，AB AC A' B' A' C'  ， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ AB AC A' B' A' C'  ， 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 典例精析 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：∵ 7 3 AB A' B'  ， =14 7 6 3 AC , A'C'  AB AC . A' B' A' C' ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F ED 证明： ∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 练一练 3 5 DF EF . AC BC  ∴ 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD= AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 都是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， AD AE . AB AC ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 解：∵ AE=1.5，AC=2， 例3 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A CB E D 3 4 AD AB  3 4 AE AD . AC AB  ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， 3 4 DE AD BC AB   ，∴ 3 9 4 4 DE BC . ∴ 提示：解题时要找准对应边. 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高， 且 ，求证： ∠ACB=90°． A B C D =AD CD CD BD ∵ AD CD CD BD  ， 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高可以转化为90°等. 当堂练习 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B CD AB BC BD AB → 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相 似”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．    A B C D 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，   4 5 AB BC . CD AC  ∴ 又∵∠B=∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， 4 5 AC BC AD AC  ∴ ， 25 4 AD .∴ 5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB · AD = AE·AC， AB AC . AE AD ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 拓展提升 两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 B A CB' A' C'