专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题 03 导数及其应用 易错点 1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量    1 2W t W t, 与时间 t(天)的关系如图 所示，则一定有 A．两机关单位节能效果一样好 B．A 机关单位比 B 机关单位节能效果好 C．A 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率大 D．A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选 C. 因为在(0，t0)上，  1W t 的图象比  2W t 的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比 B 机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢 等要弄清． 【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量 在 0[0 ]t, 上的平均变化率都小于 0，故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好．故选 B. 【参考答案】B 1．平均变化率 函数 ( )y f x 从 1x 到 2x 的平均变化率为 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   ，若 2 1x x x   ， 2( )y f x   1( )f x ，则平 均变化率可表示为 y x   . 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数 ( )s s t 来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到t t  这段时间内，当 t 无限趋近于 0 时， s t   无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十 八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比 较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭 程度吗？ 【答案】见解析. 易错点 2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点 P(2,8)作曲线 3y x 的切线，则切线方程为 A．12 16 0x y   B．3 2 0x y   C．12 16 0x y   或3 2 0x y   D．12 16 0x y   或3 2 0x y   【错解】设   3f x x ，由定义得 f ′(2)=12， ∴所求切线方程为  8 12 2y x   ，即12 16 0x y   . 【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同．求曲线过点 P 的切线时，应注意检验点 P 是否在 曲线上，若点 P 在曲线上，应分 P 为切点和 P 不是切点讨论． 【试题解析】①易知 P 点在曲线 3y x 上，当 P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12 16 0x y   . ②当 P 点不是切点时，设切点为 A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为 2 03k x . ∵A 在曲线上，∴ 3 0 0y x ，∴ 3 20 0 0 8 32 x xx   ，∴ 3 2 0 03 4 0x x   ， ∴  2 0 01 2 0x x   ，解得 0 1x   或 x0=2(舍去)， ∴ 0 1y   ，k=3，此时切线方程为 y+1=3(x+1)，即 3 2 0x y   . 故经过点 P 的曲线的切线有两条，方程为12 16 0x y   或3 2 0x y   . 【参考答案】D 1．导数的几何意义 函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率 k . 2．曲线的切线的求法 若已知曲线过点 0 0( ),P x y ，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点 0 0( ),P x y 是切点时，切线方程为  0 0 0( )y y f x x x   ； （2）当点 0 0( ),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过  1 1( )P x f x ， 的切线方程为     1 1 1 y f x f x x x    ； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1 的值代入方程     1 1 1 y f x f x x x    ，可得过点 0 0( ),P x y 的切线方程． 2．过点 e, e 作曲线 exy x  的切线，则切线方程为 A．   21 e ey x    B．   2e 1 ey x   C．  e 1 e 2e 1 ey x    D．  e e 1e 1 ey x    【答案】C 在求曲线  y f x 的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线 ( )f x 上） 的切线方程，前者的切线方程为     0 0 0y f x f x x x    ，其中切点   0 0,x f x ，后者一般先设出切 点坐标，再求解. 易错点 3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数： （1） 2 2( ) 2f x a ax x   ； （2） sin( ) ln x xf x x  . 【错解】（1） 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x      ； （2） 2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln ) x x x x x x xf x x x x xx x x        . 【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是 x，a 是常量；（2）商 的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分 子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 1．导数计算的原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法 ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；学科网 ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 3．若函数  f x 满足    3 21 13f x x f x x    ，则  1f  的值为 A．0 B．2 C．1 D． 1 【答案】A 【解析】    2 2 1 1,f x x f x    令 x=1,则        21 1 2 1 1 1 2 1 , 1 0.f f f f          故答案为 A. （1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数 ( )y x  Q 与指数函数 ( 0xy a a  且 1)a  的导数公式， siny x 与 cosy x 的导数， lny x 与 lgy x 的导数及积与商的导数公式记混弄 错． （2）本题中  1f  要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解． 易错点 4 区分复合函数的构成特征 求下列函数的导数： （1）  22 1y x  ； （2） 2 2cosy x . 【错解】（1）  22 1y x   ； （2） 2sin 2 xy   . 【错因分析】这是复合函数的导数，若    ,y f u u h x  ，则 x u xy y u     .如（1）中， 2 2, 1y u u x   ，    2 22 2 2 1 2 4 1xy u x x x x x        ，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求 导公式求导． 【试题解析】解法一：（1）∵  22 4 21 2 1y x x x     ，∴ 34 4y x x   . （2）∵ 2 2 1 coscos 2 xy x   ，∴ 1 sin2y x   . 解法二：（1）      2 2 22 1 1 4 1y x x x x        ． （2） 12cos cos 2cos sin sin2 2 2 2( ) ( ) ( 2 2)x x x x xy x           . 【参考答案】（1）  24 1y x x   ；（2） 1 sin2y x   . 1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 4．曲线 πsin 3y x     在点 30, 2       处的切线方程是__________． 【答案】 2 3 0x y   【解析】 πcos 3y x      ，所以斜率为 π 1cos 0 3 2      ，切线方程为 3 1 , 2 3 0.2 2y x x y     易错点 5 审题不细致误 设函数   2lnaf x ax xx    . （1）若  2 0f   ，求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( )f x 在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围． 【错解】（1）∵   2 2af x a x x     ，∴  2 1 04 af a     ，∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        ， 令   0f x  ，得 2x  或 1 2x  ，令   0f x  ，得 1 22 x  ， ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 1 22( ) ( )  ， ， ，单调递减区间为 1( )2 2， ． （2）∵ ( )f x 在定义域上为增函数，∴   0f x  恒成立， ∵   2 2 2 2 2a ax x af x a x x x       ，∴ 2 2 0ax x a   恒成立， ∴ 2 0 4 4 0 a a      ，∴ 1a  ，即实数 a 的取值范围是[1, ) . 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是 将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有 限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分． 【试题解析】（1）由已知得 x>0，故函数 ( )f x 的定义域为(0，+∞)． ∵   2 2af x a x x     ， ∴  2 1 04 af a     ， ∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        ， 令   0f x  ，得 2x  或 1 2x  ，令   0f x  ，得 1 22 x  ， ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ，单调递减区间为 1( )2 2， ． （2）若 ( )f x 在定义域上是增函数，则   0f x  对 x>0 恒成立， ∵   2 2 2 2 2a ax x af x a x x x       ， ∴需 x>0 时 2 2 0ax x a   恒成立，即 2 2 1 xa x   对 x>0 恒成立． ∵ 2 2 2 111 x x x x    ，当且仅当 x=1 时取等号， ∴ 1a  ，即实数 a 的取值范围是[1, ) . 【参考答案】（1）函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ，单调递减区间为 1( )2 2， ；（2）[1, ) . 用导数求函数 ( )f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式   0f x  (或   0f x  )可解时， ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数  y f x   ； ③解不等式   0f x  ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式   0f x  ，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程   0f x  可解时， ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数  y f x   ，令   0f x  ，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数 ( )f x 的间断点(即 ( )f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数 ( )f x 的定义区间分成若干个小区间； ④确定  f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式   0f x  (或   0f x  )及方程   0f x  均不可解时， ①确定函数  y f x 的定义域； ②求导数并化简，根据  f x 的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定  f x 的符号； ③得单调区间． 5．已知函数   2 lnf x x a x  . （1）若函数  f x 在点   3, 3f 处切线的斜率为 4，求实数 a 的值； （2）求函数  f x 的单调区间； （3）若函数     2 1 ln 22 2 a ag x x f x x        在 1,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）6；（2）见解析；（3） 7 ,16     . 【解析】（1）   2 af x x x   ，而  3 4f   ，即 2 3 43 a   ，解得 6a  . （2）函数  f x 的定义域为 0, . ①当 0a  时，   0f x  ，  f x 的单调递增区间为 0, ； ②当 0a  时，   2 2 22 2 222 a ax x a x af x x x x x              . 当 x 变化时，    ,f x f x 的变化情况如下: 由此可知，函数  f x 的单调递减区间是 20, 2 a      ，单调递增区间是 2 ,2 a     . （3）   21ln 22g x x ax x   ，于是   21 2 12 ax xg x axx x       . 因为函数  g x 在 1,4 上是减函数， 所以   0g x  在 1,4 上恒成立，即 2 2 1 0ax x x    在 1,4 上恒成立. 又因为函数  g x 的定义域为 0, ， 所以有 2 2 1 0ax x   在 1,4 上恒成立. 于是有 2 1 2a x x   在 1,4 上恒成立， 设 1t x  ，则 1 14 t  ， 所以有  22 2 1 1a t t t     ， 1 14 t  ， 当 1 4t  时， 21 1t   有最大值 7 16  ， 于是要使   0g x  在 1,4 上恒成立，只需 7 16a   ，即实数 a 的取值范围是 7 ,16     . 若 ( )f x 的单调减区间为 ,m n ，则在 ( )x m x n  的两侧函数值异号，且    0( )0f m f n    ； 若 ( )f x 在区间 ,m n 上单调递减，则   0f x  在 ,m n 上恒成立． 易错点 6 极值的概念理解不透彻 已知   3 2 2f x x ax bx a    在 1x  处有极值10，则 a b  ________. 【错解】 7 或 0 由题得， 2( ) 3 2f x x ax b    ，由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ， 所以 a b＋ 等于 7 或 0 . 【错因分析】极值点的导数值为 0，但导数值为 0 的点不一定为极值点，错解忽视了“  1 0 1f x    是 f(x)的极值点”的情况． 【试题解析】由题得， 2( ) 3 2f x x ax b    ，由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ，所以 a b＋ 等于 7 或0 . 当 4, 11a b   时， 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x       在 x=1 两侧的符号相反，符合题意. 当 3, 3a b   时， 2( ) 3( 1)f x x   在 x=1 两侧的符号相同，所以 3, 3a b   不合题意，舍去. 综上可知， 4, 11a b   ，所以 7a b   . 【参考答案】 7 对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑  0 0f x ＝ ，又要考虑在 0x x 两侧的导数值符号不同，否 则容易产生增根． 1．函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数 ( )f x 极值的方法： ①确定函数 ( )f x 的定义域． ②求导函数  f x ． ③求方程   0f x  的根． ④检查  f x 在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 ( )f x 在这个根处取得极 大值，如果左负右正，那么 ( )f x 在这个根处取得极小值，如果  f x 在这个根的左右两侧符号不变，则 ( )f x 在这个根处没有极值．学！科网 3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数  f x ，求方程   0f x  的根的情况，得关 于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 6．若函数    2 3 exf x x ax   在 0, 内有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 A． , 2 2   B． , 2 2  C． , 3  D． , 3  【答案】C （1） ( )f x 在 0x x 处有极值时，一定有  0 0f x  ，  0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验 ( )f x 在 0x x 两侧的符号后才可下结论； （2）若  0 0f x  ，则 ( )f x 未必在 0x x 处取得极值，只有确认 1 0 2x x x  时，    1 2 0f x f x  ，才 可确定 ( )f x 在 0x x 处取得极值． （3）在本题中，不要遗漏掉 3a   这种特殊情况. 易错点 7 被积函数与积分上、下限确定不准致误 由抛物线  2 8 0y x y  与直线 6 0x y   及 y=0 所围成图形的面积为 A． 32 216 3  B． 32 216 3  C． 40 3 D．14 3 【错解】D 由  2 8 0y x y  得 8y x ，由 6 0x y   得 6y x  ， 由 2 8 6 0 y x x y       得 2 4 x y    或 18 12 x y     (舍去)． ∴所求面积 2 0 6 8( )dS x x x    3 22 2 0 1 1 146 82 12 | 3[ ]x x x    ，故选 D. 【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积 分区间致误． 【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示， 由 2 8 6 0 y x x y       得 2 4 x y    或 18 12 x y     (舍去)，所以抛物线  2 8 0y x y  与直线 6 0x y   的交点坐 标为(2,4)， 方法一：(选 y 为积分变量) 2 4 0 4 2 3 0 1 1 1 1 406 d 6 24 8 648 2 24 24( 3( ) ) |S y y y y y y           . 方法二：(选 x 为积分变量) 32 6 22 0 2 6 0 22 2 1d 6 d 8( 8 ) ( ) | 6 2 )3 ( |S xx x x x x x        2 216 1 1 406 6 6 6 2 23 2 ) ( )]2[( 3          . 【参考答案】C 用定积分求较复杂的平面图形的面积时： 一要根据图形确定 x 还是 y 作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限； 二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为 x 时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数， 积分变量为 y 时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数； 三要找准原函数． 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． 2．定积分与曲边梯形的面积的关系 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形 来确定： 设阴影部分面积为 S,则 (1)  db a S f x x  ； (2)  db a S f x x  ； (3)    d dc b a c S f x x f x x   ； (4)        d d [ ]db b b a a a S f x x g x x f x g x x      . 7．如图，若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A． 21 π  B． 2 π C． 2 2 π D． 2 21 π  【答案】A 【解析】 π 1 πS   矩形 ，又  π π 00 sin d cos | cosπ cos0 2x x x      ， π 2S  阴影 ，豆子落在图中阴影部分的概率为 π 2 21π π    . 故选 A. 在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题 主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”， 否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线 x a ，x b ， 0y  和曲 线  y f x 所围成的曲边梯形的面积是  db a f x x ． 一、导数的概念及计算 1．导数的定义： 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x y f x+ x f xf x x x          . 2．导数的几何意义：函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数  0f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线 的斜率 k ，即 0( )k f x . 求曲线 ( )y f x 的切线方程的类型及方法 （1）已知切点  0 0,P x y ，求 ( )y f x 过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 ( )y f x 的切线方程：设切点  0 0,P x y ，通过方程  0k f x  解得 x0，再 由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求 ( )y f x 的切线方程：设切点  0 0,P x y ，利用导数求得切线斜率  0f x ， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率， 再由  0k f x  求出切点坐标 0 0,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线， P 一定在曲线上. ②过点 P 的切线即切线过点 P ，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C 为常数) ( )f x =0 *( )= ( )nf x x n N 1 *( )= ( )nf x nx n N f (x)=sin x ( )=cosf x x f (x)=cos x ( )= sinf x x  ( ) ( 0 1)xf x a a > a 且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a  且 ( ) exf x  ( ) exf x  ( ) log ( 0 1)af x x a a  且 1( ) = ( 0 1) ln f x a a x a   且 f (x)=ln x 1( )=f x x  4．导数的运算法则 （1）        u x v x u x v x     ＝ . （2）            ·u x v x u x v x u x v x    ＝ ＋ . （3） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x     . 5．复合函数的导数 复合函数   y f g x 的导数和函数    y f u u g x , 的导数间的关系为 x u xy y u    ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 二、导数的应用 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内： ①如果 ( ) 0f x  ，函数 f (x)在这个区间内单调递增; ②如果 ( ) 0f x  ，函数 f (x)在这个区间内单调递减; ③如果 ( )=0f x ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数． （1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内， ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条 件.例如，函数 3( )f x x 在定义域 ( , )  上是增函数，但 2( ) 3 0f x x   . （3）函数 ( )f x 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )在(a,b)内恒成立，且 ( )f x 在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ( ) 0f x  ,不影响函数 ( )f x 在区间内 的单调性. 2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数 ( )y f x ， ①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0，且在点 x= a 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ，右侧 ( ) 0f ' x  ，则称 x= a 为 f(x)的极 小值点； ( )f a 叫做函数 f (x)的极小值. ②若在点 x=b 处有 ( )f ' b =0，且在点 x=b 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ，右侧 ( ) 0f ' x  ，则称 x= b 为 f(x)的极 大值点， ( )f b 叫做函数 f (x)的极大值． ③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系 ①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言； ②在函数的定义区间[ , ]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者 没有）； ③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数 ( )y f x 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数 ( )y f x 在(a,b)内的极值； ②将函数 ( )y f x 的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值． 三、定积分与微积分基本定理 1．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续，用分点 0 1 1i i na x x x x x b         将区间[a,b]等分 成 n 个小区间，在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点  1,2, ,i i n   ，作和式 1 1 ( ) ( ) n n i i i i b af x fn        ； 当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 ( )db a f x x ， 即 ( )db a f x x = 1 lim ( ) n in i b a fn     . （2）在 ( )db a f x x 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数 ( )f x 叫做 被积函数，x 叫做积分变量，f (x)dx 叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）    d db b a a kf x x k f x x  (k 为常数)； （2） [ ( ) ( )]d ( )d ( )db b b a a a f x g x x f x x g x x     ； （3） ( )d = ( )d + ( )db c b a a c f x x f x x f x x   (其中 a

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