高考数学复习讲练12正弦余弦定理

高考数学复习讲练12正弦余弦定理

个性化教学辅导教案 学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 ‎ 姓名 阳丰泽 年级 性别 ‎ ‎ 教学课题 ‎ 正弦、余弦定理 教学 目标 1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。‎ 2. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。‎ 重点 难点 1. 正弦定理的探索和证明及其基本应用；已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。‎ 2. 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。‎ 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________‎ 第 次课 第 讲 正弦、余弦定理 知识点一：正弦定理 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。‎ 如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，，，又，则， 从而在直角三角形ABC中，。 ‎ ‎【思考】那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图，（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则， ‎ 同理可得，从而。 ‎ （2） 当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）‎ 当为钝角三角形时，如图，作边上的高线交于，则: 　　　　 在中, ，即， 　　　　 在中, ,即, 　　　　 ∴，即，同理可证， ∴。‎ 知识点二：余弦定理 运用正弦定理能解怎样的三角形？ ‎ ‎①已知三角形的任意两角及其一边， ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角， ‎ 问题1：如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？‎ 问题2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？‎ 即：在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c ？ 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ ‎ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究。 ‎ ‎ ‎ ‎ 从而 , ‎ 同理可证 , . ‎ 余弦定理：‎ 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。‎ 即： , ,.‎ 余弦定理的变形公式： 　　。‎ ‎【例1】已知在中，，，，解三角形. 　　思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 　　解析：， ∴， 　　　　　 ∴ ,又， 　　　　　 ∴． 　　总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 　　2.‎ ‎ 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解 　　　 答方式. 【变式】在中，已知，，，求、. 　　解：， 　　　　　　 根据正弦定理，∴.‎ ‎【例2】 在，求：和，． 　　思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 　　解析：由正弦定理得：， ∴， 　　　　　 （方法一）∵， ∴或， 　　　　　 　　　　　当时，，（舍去）； 　　　　　 　　　　　当时，，∴． 　　　　　 （方法二）∵，， ∴， 　　　　　 　　　　　∴即为锐角， ∴，，　∴． 　　总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 　　2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再 　　　 求出角. 　　3．一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 【变式】在中，，，，求和． 　　【答案】∵， ∴， 　　　　　　 ∵， ∴或 　　　　　　 ∴当时，，； 　　　　　　 ∴当时，，‎ ‎； 　　　　　　 所以，或． 【例3】已知中，、、，求中的最大角。 　　思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 　　解析：∵三边中最大，∴其所对角最大， 　　　　　根据余弦定理：， 　　　　　∵ ， ∴，故中的最大角是. 　　总结升华： 1．中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 　　2．用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.‎ ‎【变式】在中，若，求角. 　　【答案】∵， ∴ 　　　　　　 ∵， ∴。 【例4】在中，已知，，，求及. 　　思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角. 　　解析：⑴由余弦定理得：= 　　　　==， ∴ 　　⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 　　　（法一：余弦定理） 　　　∵， ∴ 　　　（法二：正弦定理） 　　　∵，又∵，， 　　　∴＜，即＜＜ ∴ 　　总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 【变式】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角 和。 　　【答案】根据余弦定理可得： 　　　　　　 ∵， ∴ ； 　　　　　　 ∴由正弦定理得：。‎ 1. 在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为( ) 　　A. 一个解　　　 B. 二个解　　　 C. 无解　　　 D. 无法确定 2．在△ABC中，若，则∠A的度数是 ( ) 　　A. 30°　　　 B. 45°　　　 C. 60° 　　　D. 75° 3．ΔABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=( ) 　A. 60° 　　　B. 45°　　　 C. 120°　　　 D. 30° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) 　　A. 90°　　　 B. 120°　　　 C. 135° 　　　D. 150°‎ 5. 在△ABC中，已知，，B=45°.求A、C及c. ‎ ‎ 6．在中，若，，，求. ‎ ‎ 7．在中，若，求. ‎ 课后反思：‎ ‎（1）定理的表示形式：；‎ 或，，‎ ‎（2）正弦定理的应用范围：‎ ‎①已知两角和任一边，求其它两边及一角；‎ ‎②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。‎ ‎（3）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；‎ ‎（4）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。‎ 参考答案：‎ ‎1.B　 2.A 　3.C 　4.B 5.解析：解法1：由正弦定理得：， ∴∠A=60°或120°； 　　　　　　 当∠A=60°时，∠C=75° ，； 　　　　　　 当∠A=120°时，∠C=15°，. 　　　解法2：设c=x，由余弦定理 　　　　　　 将已知条件代入，整理：， 解之：‎ ‎ 　　　　　　 当时， 　　　　　　 从而∠A=60° ，∠C=75°；当时，同理可求得：∠A=120° ，∠C=15°. 　　6.∵， ∴， 　　　∵，∴或∴当时，； 　　　当时，，所以或． 　7.∵，∴由余弦定理的推论得：， 　　　∵，∴. ‎ 课堂检测 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.‎ 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；‎ 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□‎ 课后巩固 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________‎ 签字 教学组长签字： 学习管理师:‎ 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方：‎ 老师想知道的事情：‎ 老师的建议：‎