八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (5)_北师大版

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第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线（1） 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定 理； 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己 的推理证明意识和能力. 用心想一想 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边 建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建 在什么位置? A B 我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C， 且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB. A C B P M N 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在 的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌ △BPC. 而△APC≌ △BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可 推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？ 证明：∵MN⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC, PC=PC ∴△APC≌ △BPC(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A C B P M N 如果点P与 点C重合， 那么结论显 然成立. 几何语言描述 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点距离相等). 深入思考：你能写出“定理 线段垂直 平分线上的点到这条线段两个端点距离相等” 的逆命题吗? 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗? 如果是, 请你证明它. 思 考 分 析 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以 先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另 一个结论正确. A B P 试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 方法一： 过点P作PC⊥AB,垂足为C ∵PC⊥AB ∴△APC和△BPC都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB ∴Rt△APC≌ Rt△BPC (HL) ∴AC=BC (全等三角形的对应边相等) ∴ P在AB的垂直平分线上 A C B P 方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC ∵C为AB的中点 ∴AC=BC ∵PA=PB,PC=PC ∴△APC≌ △BPC(SSS) ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴PC⊥AB 即P在AB的垂直平分线上 A C B P . 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段 的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上) 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的 根据之一. A B P 练一练 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 你还有其他 证明方法吗？ 证明： ∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条 直线）. 1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点, 如果EC=7cm, 那么ED= cm; 如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° . E D A B C 7 60 2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长. B A E D C 分析提示：这是一道计算题，题目中出现了 线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习 的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论， 再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结 合，进行转化，得出最后的结果. 试一试：你能独立完成这道题目吗？ 解：∵DE为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长等于50 ∴BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 ∴AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23 2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长. B A E D C 3. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC P B D C A 解：∵AB=AC ∴A在线段BC的垂直平分线上 ∵BD=CD ∴ D在线段BC的垂直平分线上 ∴ AD是线段BC的垂直平分线 ∵P是AD上一点 ∴PB=PC 线段垂直平分线的定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等. 线段垂直平分线的逆定理 逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上. 习题1.7，第1、2题．作 业