高考数学破解命题陷阱专题14统计易错大全

高考数学破解命题陷阱专题14统计易错大全

专题 14 统计易错大全 一．知识列表 本讲模块 高考考点 高考要求 了解 理解 掌握 古典概型 频率估计概率 A 互斥事件与对立事件 C 古典概型 C 几何概型 长度型几何概型 B 面积型几何概型 C 体积型几何概型 B 统计 回归直线 B 独立性检验 C 离散型随机变量的分布列及期望方差 C 二．基础知识： 古典概型 1．频率和概率 (1)在相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，则 n 次试验中事件 A 出现的次数 m 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 ( )n mf A n  为事件 A 出现的频率； (2)如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 ( )nf A 稳定在某个常数上，把这个常数记为 ( )P A ，称为 事件 A 的概率.简称为 A 的概率； (3)频率和概率有本质区别，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；对于给定的事件 A ，由于 事件 A 发生的频率 ( )nf A 随着试验次数的增加稳定于概率 ( )P A ，因此可以用频率 ( )nf A 来估计概率 ( )P A . 概率的取值范围： 0 ( ) 1P A  2.互斥事件：如果 A B 为不可能事件 A B  ，则称事件 A 与事件 B 互斥，即事件 A 与事件 B 在任何 一次试验中不会同时发生. 互斥事件的概率加法公式： ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B    1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A      3.对立事件：若 A B 为不可能事件，而 A B 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义 是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生. 对立事件的概率： ( ) 1 ( )P A P A  4.古典概型 (1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件. 基本事件的特点： 1 任何两个基本事件是互斥. ②任何事件都可以表示成基本事件的和. (2)古典概型的两大特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ； ②每个基本事件出现的可能性相等． 5.古典概型的概率计算公式：   A mP A n  包含的基本事件个 总的基本事件个数 数 ( n 为总的基本事件个数， m 为事件 A 的结果数)． 6. 几何概型 (1)几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型，简称几何概型． (2)几何概型的概率公式   AP A  试验的全部结果所构 构成事件 的区域长度 成的的区域的长度（ （面积或 面积 体积） 或体积） 7.统计 1．抽样方法 (1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽 样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样． (2)简单随机抽样是指一个总体的个数为 (较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个 体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法． (3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样， 其中所分成的各部分叫做层． (4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取． 2．总体分布的估计 (1)作频率分布直方图的步骤： ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表(下图) 分组 频数 频率 累计频率 0 1[ )t t， 1r 1f 1f 1 2[ )t t， 2r 2f 1 2f f＋ … … … … 1[ ]k kt t－ ， kr kf 1 2 1kf f f＋ ＋ ＋ ＝ ⑤画频率分布直方图，将区间[ )a b， 标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频 率除以组距的商为高，分别画矩形，共得 k 个矩形，这样得到的图形叫频率分布直方图． 频 率 分 布 直 方 图 的 性 质 ： ① 第 i 个 矩 形 的 面 积 等 于 样 本 值 落 入 区 间 1[ )i it t－ ， 的 频 率 ； ② 由 于 1 2 1kf f f＋ ＋ ＋ ＝ ，所以所有小矩形的面积的和为 1. (2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图 会越来越近似于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线． (3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是中格中间的一列数，叶是从茎旁边长出来的一列数. 用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎 叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示． 3．平均数和方差的计算 (1)如果有 n 个数据 1 2 nx x x， ， ， ，则 1 2 1 ( )nx x x xn  + + 叫做这组数据的平均数， 2 2 2 2 1 2 1[( ) ) ( ) ]ns x x x x x xn  - +( - + - 叫做这组数据的方差，而 s 叫做标准差． (2)公式 22 2 2 2 1 2 1[( ) ]ns x x x nxn   + + (3)当一组数据 1 2 nx x x， ， ， 中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数 a ，得到 1 1x x a＝ － ， 2 2x x a＝ － ，…， n nx x a＝ － ，则 '22 '2 '2 '2 1 2 1[( ) ]ns x x x nxn   + + 4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数值. (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标. (4)极差＝最大数－最小的数. 5.两个变量的相关关系 (1)如果两个变量之间没有函数关系所具有的确定性，它们的关系带有随机性，则称这两个变量具有相关关 系. (2)有相关关系的两个变量，若一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也是由小到大，这种相关称为正 相关；反之，一个变量的值由小到大，另一个变量的值由大到小，这种相关称为负相关. (3)如果散点图中，具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，则称这两个变量 具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，方程为 其中 1 2 2 1 ( ) ˆ n i i i n i i x y nx y b x n x         ˆˆa y bx  (4)样本的相关系数 1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x y nx y r x x y y             当 0r  时，表示两个变量正相关，当 0r  时，表示两个变量负相关，| |r 越接近于 1，表明两个变量 的线性相关性越强；| |r 越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当| | 0.75r  时，认 为两个变量有很强的线性相关关系. 6.独立性检验 (1)分类变量 用变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，宗教信仰， 国籍等. (2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地，假设有两个分类变量 x 和 y ，它们的值域分别为 1 2{ , }x x 和 1 2{y , }y ，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为： 1y 2y 合计 1x a b a b 2x c d c d 合计 a c b d n 其中 n a b c d    为样本容量. (3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程 度，具体做法是：根据观测数据计算由公式 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b a c c d b d      所给出的检验随机变量的观 测值 k ，并且 k 的值越大，说明“ X 与Y 有关系”成立的可能性越大，同时可以利用以下数据来确定“ X 与Y 有关系”的可信程度. 这种利用随机变量 2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变 量的独立性检验. 3.典例分析 例 1.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少； (2)至少 3 人排队等候的概率是多少. 【答案】C 【解析】记“无人排队等候”为事件 A ，“1 人排队等候”为事件 B ，“2 人排队等候”为事件C ，“3 人排 队等候”为事件 D ，“4 人排队等候”为事件 E ，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F ，则事件 , , , , ,A B C D E F 互斥. (1)记“至多 2 人排队等候”为事件G ，则G A B C   ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.1 0.16 0.3 0.56P G P A P B P C       . (2)方法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H ，则 H D E F   ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.3 0.1 0.04 0.44P H P D P E P F       . 方法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H ，则其对立事件为事件G ，所以 ( ) 1 ( ) 1 0.56 0.44P H P G     . 练习 1.在 12 件瓷器中，有 10 件一级品，2 件二级品，从中任取 3 件. (1)“3 件都是二级品”是什么事件？ （2）“3 件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？ 【答案】（1）不可能事件（2）随机事件（3）必然事件 【解析】 （1）因为 12 件瓷器中，只有 2 件二级品，取出 3 件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事 件. （2）“3 件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件. （3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为 12 件瓷器中只有 2 件二级品，取三件必有一级品. 练习 2.盒中仅有 4 只白球 5 只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 【答案】（1）0，（2） 4 9 （3）1 例 2. 已知 , ,a b c 为集合 {1,2,3,4,5,6}A  中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法输出一个整数 a ，则输出的数 5a  的概率是（ ） A. 2 5 B. 1 10 C. 2 5 D. 1 5 【答案】A 【解析】根据框图判断，本框图输出的 a 为输入的三个数 , ,a b c 中的最大值 最大值是 3 的情况，输入的三个数为 1，2，3 ， 1 种情况 最大值是 4 的情况，输入的三个数为 1，2，3 里两个以及 4 ，3 种情况 最大值是 5 的情况，输入的三个数为 1，2，3，4 里两个数以及 5 ，6 种情况 最大值是 6 的情况，输入的三个数为 1，2，3，4，5 里两个数及 6，10 种情况 5a  的概率= 2 5 . 故答案为 2 5 . 练习 1.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币 正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概 率为 A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 【答案】C 故答案选 C 练习 2. 一鲜花店一个月（30 天）某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下： 日销售量（枝） 0～49 50～99 100～149 150～199 200～250 销售天数（天） 3 天 3 天 15 天 6 天 3 天 将日销售量落入各组区间的频率视为概率． （1）试求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率； （2）若此花店在日销售量低于 100 枝的 6 天中选择 2 天作促销活动，求这 2 天的日销售量都低于 50 枝的 概率（不需要枚举基本事件）． 【答案】（1） 1 5 ;（2） 1 5 【解析】（1）设日销售量为 x ，则   3 10 49 30 10P x    ，   3 150 100 30 10P x    ． 由互斥事件的概率加法公式，    0 100 0 49P x P x       1 1 150 100 10 10 5P x      ． 注：直接按照古典概型的计算公式，得   3 3 10 100 30 5P x     ．同样给分． （2）日销售量低于 100 枝共有 6 天，从中任选两天促销共有 15n  种情况；日销售量低于 50 枝共有 3 天， 从中任选两天促销共有 3m  种情况． 由古典概型的概率计算公式，所求概率 3 1 15 5P   ． 【防陷阱措施】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这 就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵 活选择. 例 3.在区间 0,4 上随机地选择一个数 p ，则方程 2 3 8 0x px p    有两个正根的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 4 【答案】 【解析】方程 2 3 8 0x px p    有两个正根，则有 1 2 1 2 0 0 0 x x x x        ，即解得 8p  或 8 43 p  ，又  0,4p ，由几何概型概率公式可得方程 2 3 8 0x px p    有两个正根的概率为 84 13 4 0 3p    ，故选 . 练习 1. 在棱长为 a 的正方体中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 3 a 的概率为 ( ) A. 1 27 B. 1 16 C. 1 9 D. 1 3 【答案】A 【解析】符合条件的点 P 落在棱长为 3 a 的正方体内， 根据几何概型的概率计算公式得 3 3 13 27 a P a       练习 2. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在 1AC 上运动（包括端点），则 BP 与 1AD 所成角的取值范围 是（ ） A. ,4 3       B. ,4 2       C. ,6 2       D. ,6 3       【答案】D 当 1x  时， cos 取最小值 1 ,2 3   . 因为 1 1/ /BC AD . 故选 D. 例 4. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化 根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 3sin 6y x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则 此点取自阴影部分的概率为（ ） A. 1 36 B. 1 18 C. 1 12 D. 1 9 【答案】B 【解析】设大圆的半径为 R，则： 1 2 62 2 6 TR      ， 则大圆面积为： 2 1 36S R   ，小圆面积为： 2 2 1 2 2S      ， 则满足题意的概率值为： 2 1 36 18p    .本题选择 B 选项. 练习 1. 北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱 孔入，而钱不湿，因曰：“我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜 钱是半径为1.2cm的圆，中间有边长为 0.4cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（油滴的大 小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ） A. 4 9 B. 1 9 C. 5 6 D. 1 6 【答案】B 【解析】概率为几何概型，测度为面积,概率 2 2 0.4 1 1.2 9   ，选 B. 练习 2. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘 船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A. 9 16 B. 1 2 C. 7 16 D. 3 8 【答案】 由几何概型概率公式得   18 18=1 24 24 SP A S    阴影 7=16 ，即这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待 的概率为 7 16 ，选 . 【防陷阱措施】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合 理的测度，进而利用概率公式求解. 几何概型应注意： (1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解； (2)依据几何概型的特点判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择恰当合理的观察角度； (3)求与角度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化成角度，然后求解. 例 5. 双十一网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12 日到18日每天送件数量的茎叶图如图 所示． （Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）； （Ⅱ）求甲送件数量的平均数； （Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取 2 个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率． 【答案】（Ⅰ）乙快递员的平均送件数量较多（Ⅱ） 254x  （Ⅲ） 20 21 【解析】（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多， ∴乙快递员的平均送件数量较多． （Ⅱ）甲送件数量的平均数：  1 244 246 251 253 254 262 268 2547x         练习 1.在某公司的职工食堂中，食堂每天以 3 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元 1 个的价格出售. 如果当天卖不完，剩下的面包以 1 元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需 求量的频率分布直方图如图所示.食堂某天购进了 90 个面包，以 x (个)(其中 60 110x  )表示面包的需 求量， T （元）表示利润. （1）根据直方图计算需求量的中位数； （2）估计利润T 不少于 100 元的概率； 【答案】(1)85 个;(2) 0.75;(3)142. 设利润T 不少于 100 元为事件 A ，利润T 不少于 100 元时，即 4 180 100X   ， ∴ 70X  ，即 70 110X  ，由直方图可知，当 70 110X  时， 所求概率：      1 1 0.025 70 60 0.75P A P A       练习 2. 2017 年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服 务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的 车速（ /km t ）分成六段：  60,65 ，  65,70 ，  70,75 ，  75,80 ，  80,85 ，  85,90 ，后得到 如图的频率分布直方图． （1）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值； （2）若从车速在 60,70 的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 65,70 的车辆恰有一辆的概率． 【答案】（1）77.5， 77.5．（2） 8 15P  ． （2）从图中可知，车速在 60,65 的车辆数为： 1 0.01 5 40 2m     （辆）， 车速在 65,70 的车辆数为： 2 0.02 5 40 4m     （辆）， 设车速在 60,65 的车辆设为 a ， b ，车速在 65,70 的车辆设为 c ， d ， e ， f ，则所有基本事件有：  ,a b ，  ,a c ，  ,a d ，  ,a e ，  ,a f ，  ,b c ，  ,b d ，  ,b e ，  ,b f ，  ,c d ，  ,c e ，  ,c f ，  ,d e ，  ,d f ，  ,e f 共 15 种， 其中车速在 65,70 的车辆恰有一辆的事件有：  ,a c ，  ,a d ，  ,a e ，  ,a f ，  ,b c ，  ,b d ，  ,b e ，  ,b f 共 8 种．所以，车速在 65,70 的车辆恰有一辆的概率为 8 15P  ． 例 6. 某媒体为调查喜爱娱乐节目 A 是否与观众性别有关，随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众，抽查结 果用等高条形图表示如图： （1）根据该等高条形图，完成下列 2 2 列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关？ （2）从性观众中按喜欢节目 A 与否，用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查．从这 5 名中任选 2 名，求 恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的概率． 附：  2P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ． 【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关； （2） 2 5 ． 【解析】（1）由题意得 2 2 列联表如表： 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计 39 21 60 假设 0H ：喜欢娱乐节目 A 与观众性别无关， 则 2K 的观测值  260 24 15 15 6 540 5.934 3.84139 21 30 30 91k         ， 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关． （2）利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名，其中喜欢娱乐节目 A 的人数为 524 430   ，不喜欢节目 A 的人数为 56 130   ． 被抽取的喜欢娱乐节目 A 的 4 名分别记为 a ， b ， c ， d ；不喜欢节目 A 的 1 名记为 B ． 则从 5 名中任选 2 人的所有可能的结果为：  ,a b ，  ,a c ，  ,a d ，  ,a B ，  ,b c ，  ,b d ，  ,b B ，  ,c d ，  ,b c ，  ,d B 共有 10 种，其中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的有 ,a B ，  ,b B ，  ,b c ，  ,d B 共 4 种， 所以所抽取的观众中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的观众的概率是 4 2 10 5  ． 练习 1. 假设某种设备使用的年限 x （年）与所支出的维修费用 y （万元）有以下统计资料： 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2 4 5 6 7 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.试求： （1）求 ,x y ；（2）线性回归方程 y bx a  ；（3）估计使用 10 年时，维修费用是多少？ 附：利用“最小二乘法”计算 ,a b 的值时,可根据以下公式： 1 2 2 1 ( ) ˆ n i i i n i i x y nx y b x n x         ˆˆa y bx  【答案】（1） 4, 4.8x y  (2) 1.2y x （3）维修费用为 12 万元 【解析】试题分析：（1）利用 x y， 的计算公式即可得出；（2）利用b  的计算公式得出结果，再求 a  ； （3）利用第（2）问得出的回归方程，计算 x=10 时的结果. （3）当 x=10 时，y=12，所以该设备使用 10 年，维修费用为 12 万元. 练习 2. ．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉 病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表： 感染 未感染 总计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博 拉病毒感染的效果”． 【答案】5% 【解析】由题意可得，  2 2 100 10 30 20 40 4.762 3.84150 50 30 70k         ，参照附表，可得：在犯错误的概 率不超过 05 0 的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为 05 0 . 【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制 成 2 2 列联表；（2）根据公式        2 2 n ad bcK a b a d a c b d      计算 2K 的值；(3) 查表比较 2K 与临界 值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结 论也可能犯错误.） 【防陷阱措施】1.频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两 边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识．把 统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视． 2.求解回归方程问题的三个易误点： ① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的 关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． ② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 ( , )x y 点，可能所有的样本数据点 都不在直线上． ③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)． 类型 7.两点分布 例 7. 抛掷一枚硬币，记 1,{ 1,X   正面向上 反面向上 ，则  E x  （ ） 1 2 【答案】 【解析】    1 11 1 02 2E X       ,选 练习 1.设某项试验的成功率是失败率的 倍，用随机变量 描述 1 次试验的成功次数，则 的值可以是 ________． 【答案】 【解析】 这里“成功率是失败率的 倍”是干扰条件，对 1 次试验的成功次数没有影响，故 可能取值有 两种，即 . 练习 2.篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中的 0 分.已知某运动员罚球命中率为 0.7，求他一次罚球得分 的分布列及均值. 【答案】 p 【解析】 0 1 0.3 0.7   0 0.3 1 0.7 0.7E X      类型 8 超几何分布 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np 则称 1 1 2 2( ) i i n nE X x p x p x p x p       为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若Y aX b  ，其中 ,a b 为常数，则Y 也是随机变量，因为 ( ) ( ), 1,2, ,i iP Y ax b P X x i n      所以，Y 的分布列为 Y 1ax b 2ax b … iax b … nax b P 1p 2p … ip … np 于是 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i n n i i n n i n E Y ax b p ax b p a x b p a x b p a x p x p x p x p b p p p p aE X b                               方差     n i ii pEXxDX 1 2 . 方差刻画了离散型随机变量与均值的平均偏离程度. 离散型随机变量分布列的性质：（1） ),......3,2,1(0 niPi  ；（2） 1 1   n i iP . 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 ( ) , 0,1,2, , k n k M N M n N C CP X k k mC      其中 min{ , }m M n ，且 , , , ,n N M N N M n N    ，如果随机变量具有： X 0 1  m P 0 0n M N M n N C C C   1 1n M N M n N C C C    m n m M N M n N C C C   则称随机变量 X 服从超几何分布. 例 8. —个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的 2 个白球和 3 个红球.游客向摊 主付 2 元进行 1 次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出 2 个小球，若摸出的小球同色，则游客获得 3 元奖励；若异色则游客获得 1 元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( ) 【答案】 【解析】游客摸出的 2 个小球同色的概率为 2 2 2 3 2 5 2 5 C C C   ，所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为， X 1 1 P 2 5 3 5 因此 2 31 1 0.25 5EX       所以选 练习 1. 某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能 够通关的概率分别为 1 1 1, ,2 3 4 （这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一 个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为 __________，设 X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量 X 的数学期望为__________． 【答案】 1 4 13 12 . 【解析】随机变量 X 的所有可能取值为 . 又   1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 4P X                              ，   1 1 1 10 1 1 12 3 4 4P X                        ，   1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 24P X                                                   ，   1 1 1 13 2 3 4 24P X      . 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量 X 的数学期望   1 11 1 1 130 1 2 34 24 4 24 12E X          . 练习 2. 一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件，其中有 1 件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否 接受. 抽检规则如下：至多抽检 3 次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽 检，并拒收这箱产品；若 3 次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学 期望是___________. 【答案】 27 10 【解析】根据题意用户抽检次数的可能取值为 ，那么可知      1 9 1 1 9 8 81 , 2 210 10 9 10 10 9 10P P P             , 故 根 据 期 望 公 式 可 知 为 1 1 8 271 2 310 10 10 10       ， 故答案为 27 10 类型 9.期望方差 例 9.设非零常数 d 是等差数列 1 2 3 9, , , ,x x x x 的公差,随机变量  等可能地取值 1 2 3 9, , , ,x x x x ,则方差 D  （ ） 210 3 d 220 3 d 210d 26d 【答案】 【 解 析 】 因 为 等 差 数 列 1 2 3 9, , , ,x x x x 的 公 差 是 ， 所 以 1 1 1 9 89 49 2x x d x d       ，                2 2 2 2 2 2 2 22 21 20D( ) 4 3 2 0 2 3 49 3d d d d d d d d d                 故选 ． 练习 1. 袋中有大小相同的三个球，编号分别为 1,2,2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数， 则取球停止，用 表示所有被取到的球的编号之和，则 的方差为________． 【答案】 8 3 【解析】 的分布列为 1 3 5 1 3 1 3 1 3 ∵ ， ∴ 8 3 . 练习 2. 已知随机变量 的分布列如下：  -1 0 1 P 1 3 a b 若 1 4E  ，则 D  ( ) 5 6 41 48 C. 2 3 【答案】 【解析】由数学期望计算公式有： 1 1 1 71 0 1 ,3 3 4 12a b b b            ， 由 1 13 a b   可得： 1 11 3 12a b    ， 则 D  2 2 21 1 1 1 1 1 411 0 14 3 4 12 4 4 48                          . 本题选择 选项. 例 10. 已知随机变量 X 的分布列为   1 3P X k  ， 1,2,3k  ，则  3 5D X  等于( ) 【答案】 【解析】由题意，     11 2 3 23E X      ，        2 2 2 1 21 2 2 2 3 2 3 3D X            ，     23 5 9 9 63D X D X      ， 故选 A. 练习 1. 设 4 1 2 3 410 10x x x x     ， 5 5 10x  . 随机变量 1 取值 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的概率均为 0.2，随机 变量 2 取值 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1, , , ,2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x     的概率也为 0.2.若记    1 2,D D  分别为 1 , 2 的 方差，则 （ ）    1 2D D     1 2D D     1 2D D   1D  与  2D  的大小关系与 1 2 3 4, , , ,x x x x 的取值有关 【答案】 【解析】由题意可知    1 1 2 3 4 5 1 ,5E x x x x x         2 2 3 3 4 4 5 5 11 2 1 2 3 4 5 1 1 5 2 2 2 2 2 5 x x x x x x x xx xE x x x x x                 ， 期望相等，设都为 m         22 2 2 5 11 2 1 1 5 2 1 1,5 5 2 2 x xx xD x m x m D m m                              4 1 2 3 410 10x x x x     ， 5 5 10x  .     1 2D D  练习 2. 若样本数据 10321 ,......,, xxxx 的平均数是 10，方差是 2，则数据 12,12,12,12 10321  xxxx  的 平均数与方差分别是（） 【答案】 所以答案为 ． 例 11. 来自某校一班和二班的共计 9 名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩 序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是 20 21 ． （Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班 1 人、二班 2 人的概率； （Ⅱ）设随机变量 X 为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求 X 分布列及期望． 【答案】（Ⅰ） 5 14 ; （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A ，则 A 的对立事件为“没有一班 志愿者被分到运送矿泉水岗位”， 设有一班志愿者 x 个， 1 9x  ，那么   3 9 3 9 201 21 xCP A C    ，解得 5x  ，即来自一班的志愿者有 5 人， 来自二班志愿者 4 人； 记“清扫卫生岗位恰好一班 1 人，二班 2 人”为事件C ， 那么   1 2 5 4 3 9 5 14 C CP C C   ， 所有清扫卫生岗位恰好一班 1 人，二班 2 人的概率是 5 14 ． （Ⅱ） X 的所有可能值为 0,1，2,3．   1 2 5 4 3 9 51 14 C CP X C    ，   2 1 5 4 3 9 102 21 C CP X C    ，   3 0 5 4 3 9 53 42 C CP X C    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 21 5 14 10 21 5 42   1 5 10 50 1 2 321 14 21 42E X         5 3  ． 练习 1.袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号 ；红球三个，分别编号 ，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量 X ，则  3P X  等于 ( ) 5 28 1 7 15 56 2 7 【答案】 练习 2.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有 60 名高二学生报 名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示： 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 20 15 15 10 （Ⅰ）从这 60 名高二学生中随机选出 2 人，求这 2 人在同一班级的概率； （Ⅱ）现从这 60 名高二学生中随机选出 2 人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的 2 人中宏志班的学生 人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ） 89 354P  （Ⅱ）   118 177E X  （Ⅱ）由题意的 X 的所有可能的取值为 0,1,2． 则   2 40 2 60 260 59 CP X C    ，   1 1 20 40 2 60 801 177 C CP X C    ，   2 20 2 60 192 177 CP X C    ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 26 59 80 177 19 177   26 80 19 1180 1 259 177 177 177E X        ． 【防陷阱措施】 求离散型随机变量均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解． (2)已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数 的均值、方差，可直接用 的均值、方差的性质 求解． (3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解． 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个 体个数 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 类型 10.二项分布的期望与方差 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 独立重复试验的概率公式： 一般地，如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的 概 率 ( ) (1 ) , 0,1,2,k k n k n nP X k C P P k n     ． 称 这 样 的 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 （ ) 它的数学期望：  E X np ，方差为：   (1 )D X np p  例 12. 设随机变量 X 服从二项分布，且期望   3E X  ， 1 5p  ，则方差  D X 等于( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 12 5 D. 2 【答案】 练习 1. 已知随机变量 ，且 服从二项分布  10,0.6B ，则  E  和  D  的值分别是( ) 和 2.4 . 2 和 2.4 和5.6 和5.6 【答案】 【解析】根据二项分布的特征可得：   10 0.6 6E np     ，    1 10 0.6 0.4 2.4D np p       ， 故选 A. 练习 2.一款砸金蛋游戏的规则如下：每盘游戏都需要砸三个金蛋，每次砸蛋要么出现金花，要么不出现， 已知每次砸蛋出现金花的概率为 1 2 ，且各次砸蛋出现金花与否相互独立．则玩三盘游戏，至少有一盘出现 金花的概率为( ) A. 1023 1024 B. 511 512 C. 63 64 D. 7 8 【答案】 【解析】砸蛋三次出现一次金花概率为 1 2 1 3 1 1 312 2 8C            ，出现两次金花概率为 2 1 2 3 1 1 312 2 8C            ， 出现三次金花概率为 3 0 3 3 1 1 112 2 8C            ，则每盘出现金花的概率为 3 3 1 7 8 8 8 8P     ，玩三盘游戏， 至少一盘出现金花的概率为 0 3 0 1 3 7 7 5111 18 8 512p C              ， 故选 ． 例 13. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸 奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： C ）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20,25 ，需求量为 300 瓶； 如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气 温数据，得下面的频数分布表： 最高气温  10,15  15,20  20,25  25,30  30,35  35,40 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶） 为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】（1）分布列为： X 200 300 500 P 1 5 2 5 2 5 （2）300． 【解析】(1）易知需求量可取 200，300,500，   2 16 1200 30 3 5P X    ，   36 2300 30 3 5P X    ，   25 7 4 2500 30 3 5P X     ， 则分布列为： X 200 300 500 P 1 5 2 5 2 5 （2）①当 200n  时，  6 4 2Y n n   ，此时 max 400Y  ，当 200n  时取到； ②当 200 300n  时，    4 12 200 2 200 25 5Y n n          8 800 2 6 800 5 5 5 n nn     ， 此时  max 520E Y  ，当 300n  时取到； ③当 300 500n  时，        1 2 2200 2 200 2 300 2 300 2 25 5 5Y n n n                     3200 2 5 n ，此时 520Y  ； ④当 500n  时，易知一定小于③的情况． 综上所述，当 300n  时，取到最大值为 520． 练习 1. 如果 (20, )X B p ，当 1 2p  且 ( )p X k 取得最大值时， k 的值是（ ） 【答案】 练习 2.某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备 1 台. 经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是 3000 元/台，乙型价格是 2000 元/台，这两型产品使 用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于 2 年的概率是 1 4 ，乙型产品使用寿命低于 2 年的概率是 2 3 . 若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换. (1)若该校购买甲型 2 台，乙型 1 台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是 10000 元的概率； (2)该校有购买该种设备的两种方案， A 方案：购买甲型 3 台； B 方案：购买甲型 2 台乙型 1 台.若根据 2 年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？ 【答案】（1） 1 2 （2）选择 方案 【解析】（1）总费用为 10000 元，说明试验期内恰好有 1 台设备使用寿命到期，概率为： 2 1 2 1 3 1 3 2 1 4 4 3 4 3 2P C          ； （2）若选择 A 方案，记试验期内更换该种设备台数为 X ，总费用为Y 元，则 1~ 3, 4X B     ，所以 3 4EX  ，又 9000 2000Y X  ， 所以 9000 2000 10500EY EX   ； 【防陷阱措施】 二项分布是 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率分布列，要注意与超几何分布区别. (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； (2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)， 对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布  ~ ,B n p ，则此随 机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(  E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望 公式，可加快解题速度. 3.例题类型演练 一．1.12 个同类产品中含有 2 个次品，现从中任意抽出 3 个，必然事件是（ ） A. 3 个都是正品 B. 至少有一个是次品 C. 3 个都是次品 D. 至少有一个是正品 【答案】D 2.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有 1 个黑球与都是黑球 B. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 C. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 D. 至少有 1 个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】依题意，从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任意取 2 个球 A 至少有 1 个黑球包含都是黑球，故至少有 1 个黑球与都是黑球不是互斥事件，故 A 错误， B 至少有 1 个黑球包含 1 黑 1 红，至少有 1 个红球包含 1 黑 1 红，两者不是互斥事件，故 B 错误，C 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故 C 正确 D 至少有 1 个黑球与都 是红球是互斥事件，也是对立事件，故 D 错误，故答案为 C。 3.从一批产品中取出三件产品，设 A  “三件产品全不是次品”， B  “三件产品全是次品”， C  “三 件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C. B 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥 【答案】A 应选答案 . 4.一名工人维护 3 台独立的游戏机，一天内 3 台游戏机需要维护的概率分别为 0.9、0.8 和 0.75，则一天内 至少有一台游戏机不需要维护的概率为（ ） A. 0.995 B. 0.54 C. 0.46 D. 0.005 【答案】C 【解析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护， ∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率： . 本题选择 C 选项. 5.下列 4 个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若 ,A B 为两个事件，则      P A B P A P B   ；③ 若事件 , ,A B C 彼此互斥，则       1P A B P C   ；④若事件 ,A B 满足     1P A P B  ，则 ,A B 是对 立事件，其中错误的有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】依据对立事件与互斥事件的内涵可知：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件， 故命题①是正确的；当 ,A B 是两个互斥事件时，      P A B P A P B   ，故命题②是错误的；若事件 , ,A B C 彼此互斥且 , ,A B C 的并集是全集时，则       1P A B P C   ，故命题③不正确；若事件 ,A B 满 足     1P A P B  ，则 ,A B 不一定是对立事件，当两个事件的全部不能包括所有事件时，且不是互斥事 件，故命题④也是错误的.应选答案 D. 6.某产品分为 A B C、 、 三级，若生产中出现 B 级品的概率为 0.03，出现C 级品的概率为 0.01，则对产品 抽查一次抽得 A 级品的概率是（ ） A. 0.09 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 【答案】D 【解析】根据题意，对该产品抽查一次抽得 A 级品的概率是 . 本题选择 D 选项. 7.从装有质地、大小均相同的3个红球和 2 个白球的口袋内任取两个球，给出下列各对事件：①至少有1个 白球；都是红球；②至少有1个白球；至少有1个红球；③恰好有1个白球；恰好有 2 个白球.其中，互斥事 件的对数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 8.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分，未击中目标得 0 分. 若甲、乙两人射击的命中率分别为 3 5 和 P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 9 20 .假设甲、 乙两人射击互不影响，则 P 值为 （ ） A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 1 4 【答案】C 【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，击中目标”为事件 B ，则“甲射击 一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件 B ，则        3 3 2( , 1 , , 15 5 5P A P A P B p P B p       ， 依题意得：  3 2 915 5 20p p     ，解得 3 4p  ，故选 C. 9.把红、蓝、白 3 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与事件“乙 分得红牌”是( ) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 以上都不对 【答案】C 故选：C． 10.口袋中装有三个编号分别为 1，2,3 的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连 续取球两次。则“两次取球中有 3 号球”的概率为（ ） A. 5 9 B. 4 9 C. 2 5 D. 1 2 【答案】 【解析】每次取球时，出现 3 号球的概率为 1 3 ，则两次取得球都是 3 号求得概率为 2 2 2 1 1 3 9C      ，两次取 得球只有一次取得 3 号求得概率为 1 2 1 2 4 3 3 9C    ， 故“两次取球中有 3 号球”的概率为 1 4 5 9 9 9   ，本题选择 选项. 11.在 4 次独立试验中，事件 A 出现的概率相同，若事件 A 至少发生 1 次的概率是 65 81 ，则 事件 A 在一次试验中出现的概率是（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 5 6 D. 2 3 【答案】A 【解析】令事件 A 在一次试验中出现的概率是 p ．由事件 A 至少发生1次的概率为 65 81 ，可知事件 A 一次都 不发生的概率为 65 161 81 81   ，由独立事件同时出现的概率知  4 161 81p  ，则 1 3p  ．故本题答案选 A ． 12.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为 0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概 率为( ) A. 0.9 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.5 【答案】D 【解析】设事件 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则 ，事件“恰有一人击中敌机” 的概率为 AB AB ) . 选 D. 13.掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件 A 为“出现奇数点”，事件 B 为“出现 2 点”，已知    1 1,2 6P A P B  ，则事件“出现奇数点或 2 点”的概率是__________． 【答案】 2 3 【解析】记“出现奇数点或出现 2 点”为事件 C ，  事件 A 与事件 B 是互斥事件，   1 2P A  ，   1 6P B  ，  根 据 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 可 得 ， 出 现 奇 数 点 或 出 现 2 点 的 概 率       1 1 2 2 6 3P C P A P B     ，故答案为 2 3 . 14 在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件 A 表示“出现不大于 4 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于 6 的 点数”，则事件  A B 发生的概率为________． 【答案】 1 2 类型二:条件概率与独立事件 1.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5，两个路口连续遇到红灯的概率 为 0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是( ) 【答案】 【解析】设第一个路口遇到红灯概率为 ，第二个路口遇到红灯的事件为 ， 则 ， 则    ( | ) 0.8P ABP B A P A   ， 本题选择 选项. 2. 已知   1 12P A  ，   1 36P AB  ，   5 12P B  ，则  | P B A 为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 15 D. 1 5 【答案】 【解析】根据条件概率公式       1 136| 1 3 12 P ABP B A P A    ， 故选 . 3. 在 5 道题中有 3 道代数题和 2 道几何题.如果不放回地依次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到代数题的条件 下，第 2 次抽到代数题的概率为 ( ) 1 5 2 5 1 2 3 5 【答案】 故选 . 4. 2017 年 5 月 30 日是我们的传统节日“端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉 馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A  “取到的两个为同一种馅”，事件 B  “取到的两个都是 豆沙馅”，则  | P B A  ( ) 1 4 3 4 1 10 3 10 【答案】 【解析】由题意， 2 2 2 3 10 C C = 4 10 ， 2 3 10 C = 3 10 ， ∴  AB A) P P（ = 3 4 ， 故选： ． 5.济南气象台预测，7 月 12 日历城区下雨的概率为 4 15 ，刮风的概率为 2 15 ，既刮风又下雨的概率为 1 10 ，设 为下雨， 为刮风，则 ( | )P A B  （ ） 1 2 3 4 2 5 3 8 【答案】 【解析】由题意 4 15 , 2 15 , 1 10 ， ∴       1 310| 2 4 15 P ABP AB P B    ， 故选 . 6. 已知 1( | ) 3P B A  ，   2 5P A  则  P AB 等于（ ） 5 6 9 10 2 15 1 15 【答案】 【解析】条件概率公式      | P ABP A B P A  ，       1 2 2| 3 5 15P AB P A P A B      ， 故答案为 2 15 . 7.从包括甲乙两人的 6 名学生中选出 3 人作为代表，记事件 A ：甲被选为代表，事件 B :乙没有被选为代表， 则  P B A│ 等于_________. 【答案】 3 5 【解析】因为     2 2 5 4 3 3 6 6 1 3,2 10 C CP A P ABC C     ， 所以 3( | ) 5P B A  .应填答案 3 5 . 8.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，， 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) 5 12 1 2 1. 4C 6 1.D 【答案】 9. 某次战役中，狙击手 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首 2 次或命中机中 3 次或命中机尾 1 次， 已知 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为 ，未命中敌机的概率为 0.3，且各次射击相 互独立。若 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ） 【答案】 【解析】 A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为 0.2 0.4 0.1、 、 ,未命中敌机的概率为 0.3,且各次 射击相互独立，若 A 射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为 0.1；若 A 射击 2 次就击落 敌机，则他 2 次都击中利敌机的机首，概率为 0.2 0.2 0.04  ；或者 A 第一次没有击中机尾、且第二次击 中 了 机 尾 ， 概 率 为 0.9 0.1 0.09  , 若 A 至 多 射 击 两 次 ， 则 他 能 击 落 敌 机 的 概 率 为 0.1 0.04 0.09 0.23   ,故选 A . 10.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每周比赛结束时，负的一方在下 一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为 1 2 ，甲胜丙，乙胜丙的概率都是 2 3 ，各局的比赛相互独立， 第一局甲当裁判． 求第三局甲当裁判的概率； 【答案】第三局甲当裁判的概率为 4 9 【解析】第二局中可能乙当裁判，其概率为 1 3 ，也可能丙当裁判，其概率为 2 3 ，所以第三局甲当裁判的概 率为 1 1 2 1 4 3 3 3 2 9     ． 所以，第三局甲当裁判的概率为 4 9 ． 11. 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为 或 时，两颗骰子的点数之积大于 的概率是( ) 3 5 1 4 1 2 1 3 【答案】 类型三.古典概型与几何概型 1.某种饮料每箱装 6 听，如果其中有 2 听不合格，问质检人员从中随机抽出 2 听，检测出不合格产品的概 率为( ) 2 5 8 15 . 3 5 . 9 10 【答案】 【 解 析 】 将 6 听 饮 料 用 字 母 表 示 ， 分 别 为 从 中 随 机 抽 取 2 听 的 情 况 有 ： 共 15 种，其中符合题意的有 ，共 9 种，所以概率为 9 3 15 5P   . 2. 10 个篮球队中有 2 个强队，先任意将这 10 个队平均分成两组进行比赛，则 2 个强队不分在同一组的概 率是( ) . 5 18 . 5 9 . 1 2 . 1 4 【答案】 【解析】2 个强队不分在同一组的方法种数为 4 8C ，10 个队平均分成两组的方法为 5 10 2 C ，概率为 4 8 5 10 5 9 2 CP C   3.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个 球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) . 5 21 . 10 21 . 11 21 【答案】 【解析】从 15 个球中任取 2 个球共有 2 15C 种取法，其中有 1 个红球，1 个白球的情况有 1 1 10 5 50C C  (种)， 所以 2 15 50 10 21P C   . 4.从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为____. 【答案】 1 6 5.已知 0.2log 5a  、 3log 2b  、 0.22c  、 21 2d      ，从这四个数中任取一个数 m 使函数   3 21 23f x x mx x    有极值点的概率为（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 【答案】B 【解析】对   3 21 23f x x mx x    求导得 2' 2 1f x x mx  （ ） ，若函数 f x（ ）有极值点，则 'f x（ ）有 2 个不相等的实数根，故 24 4 0m  ＞ ，解得 1 1m m ＞ 或 ＜ ， 而 0.3 2 0.5 3 15 2 0 2 1 2 1 0 12a log b log c d    ＜ ，＜ ＜ 、 ＞ ，＜ （ ）＜ ，满足条件的有 2 个，分别是 a c， ，故 满足条件的概率 2 1 4 2p   ， 故选：B． 6 袋子中有四个小球，分别写有“世、纪、金、榜”四个字，从中任取一个小球，取到“金”就停止，用随 机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生 1 到 4 之间取整数值的随机数，且用 1,2,3,4 表示取出小球上分别写有“世、纪、金、榜”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机 模拟产生了 20 组随机数： 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计，直到第二次就停止概率为( ) A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】B 【解析】由随机数表可知，在 20 个随机数组中，第二个数字是 3 的共有 13 43 23 13 13 共 5 个，所 以其发生的概率为 5 1= 20 4P  ，故选 B. 7.一个古典型（或几何概型）中，若两个不同随机事件 ,A B 概率相等，则称 A 和 B 是“等概率事件”，如： 随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”，关于“等概率事件”， 以下判断正确的是__________. ①在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”； ②若一个古典概型的事件总数为大于 2 的质数，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事 件”；③因为所有必然事件的概率都是 1，所以任意两个必然事件是“等概率事件”； ④随机同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”. 【答案】①④ 【解析】对于①，由古典概型的定义知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之间都是“等概率 事件”.①正确. 对于②，如在 1,3,5,7,9 五个数中，任取两个数所得和为 10 包括“1 和 9”与“3 和 7”两种情况，这两种 情况的概率相等.②错误. 对于③，由本题的条件可知“等概率事件”是针对于同一个古典概型的.③不正确. 对于④，随机同时抛掷三枚硬币一次共有 8 中不同的结果，其中“仅有一个正面”包含 3 种结果，其概率 为 3 8 ；“仅有两个正面” 包含 3 种结果，其概率为 3 8 .这两个事件是“等概率事件”.④正确.综上可得①④ 正确. 答案：①④ 8 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝 上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 【答案】C 9.在 6 盒酸奶中，有 2 盒已经过了保质期，从中任取 2 盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为 （ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 3 5 D. 1 15 【答案】C 【解析】所求概率为 2 4 2 6 6 31 1 15 5 C C     ,选 C. 类型四:几何概型 1.在不等式组 0 2 0 2 x y        表示的平面区域内任取一个点  ,P x y ，则 1x y  的概率为 （ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 12 【答案】C 【解析】 所以概率为 1 12 4 8  ，故选 C. 2 在区间 0,4 上随机地选择一个数 p ，则方程 2 3 8 0x px p    有两个正根的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 4 【答案】 3 勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”， 用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6   ，现在向该正方形区域 内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ） A. 31 2  B. 3 2 C. 4 3 4  D. 3 4 【答案】A 【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为 2 ，总面积为 4 ，而阴影区域的边长为 3 1 面积为 4 2 3 ，故飞镖落在阴影区域的概率为 4 2 3 314 2    故答案选 A 。 4 如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关 于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 8  D. 4  【答案】C 【解析】概率为几何概型，测度为面积，设正方形边长为 2，则概率为： 1 2 2 2 8   ，选 C. 5. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币. 如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬 币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A. 2726 mm5  B. 2363 mm5  C. 2363 mm10  D. 2363 mm20  【答案】C 【解析】根据题意可估计军旗的面积大约是 2 230 36311100 10S mm    ，故选 C 6 如图，在菱形 ABCD 中， 3AB  ， 60BAD   ，以 4 个顶点为圆心的扇形的半径均为 1，若在该菱 形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 0p ，则圆周率 的近似值为( ) A. 07.74 p B. 07.76 p C. 07.79 p D. 07.81p 【答案】C 7 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至 少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A. 9 16 B. 1 2 C. 7 16 D. 3 8 【答案】C 【解析】设甲到达的时刻为 x，乙到达的时刻为 y，则所有基本事件构成的平面区域为  ={ , | 0 24 0 24}x y x y    ， ，设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”为事件 A，则事 件 A 包含的基本事件构成的平面区域为  ={ , | 0 24 0 24, 6}A x y x y x y     ， ，如图中阴影部分所 示. 由几何概型概率公式得   18 18=1 24 24 SP A S    阴影 7=16 ，即这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待 的概率为 7 16 ，选 C. 8 北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔 入，而钱不湿，因曰：“我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜 钱是半径为1.2cm的圆，中间有边长为 0.4cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（油滴的大 小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ） A. 4 9 B. 1 9 C. 5 6 D. 1 6 【答案】B 【解析】概率为几何概型，测度为面积,概率 2 2 0.4 1 1.2 9   ，选 B. 9 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源 的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被 3sin 6y x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率为（ ） A. 1 36 B. 1 18 C. 1 12 D. 1 9 【答案】B 10. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水 面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若 从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A. 9 10 B. 12 13 C. 13 14 D. 14 15 【答案】B 【解析】设水深为 x 尺，则 2 2 21 5x x   ，解得 12x  ，即水深 12 尺.又葭长 13 尺，则所求概率 12 13P  , 故选 B. 11.体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在 1AC 上运动（包括端点），则 BP 与 1AD 所成角的取值范围是（ ） A. ,4 3       B. ,4 2       C. ,6 2       D. ,6 3       【答案】D 12 在棱长为 a 的正方体中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 3 a 的概率为 ( ) A. 1 27 B. 1 16 C. 1 9 D. 1 3 【答案】A 【解析】符合条件的点 P 落在棱长为 3 a 的正方体内， 根据几何概型的概率计算公式得 3 3 13 27 a P a       故选 A. 类型五:超几何分布与二项分布 1.某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了 问卷调查，根据从其中随机抽取的 50 份调查问卷，得到了如下的列联表. 同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计 男 18 7 25 女 12 13 25 合计 30 20 50 （1）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照分层抽样的方法，随机抽取 5 人在上学、放学期间在学 校门口参与维持秩序，在随机抽取的 5 人中，选出 2 人担任召集人，求至少有一名女性的概率？ （2）已知在同意限定区域停车的 12 位女性家长中，有 3 位日常开车接送孩子，现从这 12 位女性家长中随 机抽取 3 人参与维持秩序，记参与维持秩序的女性家长中，日常开车接送孩子的女性家长人数为 ，求 的 分布列. 【答案】（Ⅰ） 7 10 ;（Ⅱ）见解析. （Ⅱ）由题意知，同意限定区域停车的 12 位女性家长中，选出参与维持秩序的女性家长人数为 3 人． 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3， 所以   3 9 3 12 C 210 C 55P     ，   2 1 9 3 3 12 C C 271 C 55P     ，   1 2 9 3 3 12 C C 272 C 220P     ，   3 3 3 12 C 13 C 220P     ， 因此 的分布列为  0 1 2 3 P 21 55 27 55 27 220 1 220 所以 的期望为   21 27 27 1 30 1 2 355 55 220 220 4E           ． 2.来自某校一班和二班的共计 9 名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这 三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是 20 21 ． （Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班 1 人、二班 2 人的概率； （Ⅱ）设随机变量 X 为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求 X 分布列． 【答案】（Ⅰ） 5 14 ; （Ⅱ）见解析. （Ⅱ） X 的所有可能值为 ．   0 3 5 4 3 9 10 21 C CP X C    ，   1 2 5 4 3 9 51 14 C CP X C      2 1 5 4 3 9 102 21 C CP X C    ，   3 0 5 4 3 9 53 42 C CP X C    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 21 5 14 10 21 5 42 3.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有 60 名高二学生报名参 加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示： 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 20 15 15 10 （Ⅰ）从这 60 名高二学生中随机选出 2 人，求这 2 人在同一班级的概率； （Ⅱ）现从这 60 名高二学生中随机选出 2 人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的 2 人中宏志班的学生 人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ） 89 354P  （Ⅱ）见解析 （Ⅱ）由题意的 X 的所有可能的取值为 0,1,2． 则   2 40 2 60 260 59 CP X C    ，   1 1 20 40 2 60 801 177 C CP X C    ，   2 20 2 60 192 177 CP X C    ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 26 59 80 177 19 177 4.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于 其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市 共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100] 分成 5 组，制成如图所示频 率分直方图． (1) 求图中 x 的值； (2) 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为 2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中 随机抽取 4 人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量 X ，求 X 的分布列． 【答案】（Ⅰ） 0.009x  （Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由 0.005 0.021 0.035 0.030 10 1x      ，解得 0.009x  ． 则 分布列如下： 0 1 2 3 15 126 60 126 45 126 6 126 5. 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 标准采用世卫组织 设定的最宽限值，即 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立 方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区 2016 年全年每天的 监测数据中，随机抽取 15 天的数据作为标本，监测值如茎叶图 所示（十位为茎，个位为叶） （Ⅰ）从这 15 天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率； （Ⅱ）从这 15 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示其中空气质量达到一级的天数，求 的分布列； 【答案】（Ⅰ） 1 3 ; （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）设 B  这天空气质量为 1 级，   5 1 15 3P B   （Ⅱ） 15 5 3N M n  ， ， ，  的可能值为 ，其分布列为：     3 5 10 3 15 0,1,2,3 . k kC CP k kC       0 1 2 3 P 24 91 45 91 20 91 2 91 6.从 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开 生二胎政策的态度，某市选取 70 后作为调查对象，随机调查了 10 人，其中打算生二胎 的有 4 人，不打算生二胎的有 6 人. (1)从这 10 人中随机抽取 3 人，记打算生二胎的人数为 ，求随机变量 的分布列； (2)若以这 10 人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市 70 后中随机抽取 3 人，记打 算生二胎的人数为 ，求随机变量 的分布列. 【答案】（1）见解析；（2） 见解析； 【解析】（1）由题意知，  的值为 .   0 3 4 6 3 10 C C 10 C 6P     ，   1 2 4 6 3 10 C C 11 C 2P     ，   2 1 4 6 3 10 C C 32 C 10P     ，   3 0 3 6 3 10 C C 13 C 30P     . ∴ 的分布列为:  0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 （2）由题意可知，全市 70 后打算生二胎的概率为 4 2 10 5p   ， 0,1,2,3  . 且 23, 5B      .     3 3 2 3C 0,1,2,35 5 k k kP k k             .  的分布列为：  0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 7. 在某次问卷调查中，有 a,b 两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲 乙在内的 4 名调查者选做 a 题的概率均为 2 3 ，选做 题的概率均为 1 3 设这 4 名受访者中选做 题的人数为 ，求 的概率分布列. 【答案】见解析 【解析】随机变量 的可能取值为 ，且 14, 3B      . 所以 4 4 1 2( ) ,( 0,1,2,3,4)3 3 k k kP k C k             ， 所以变量 的分布表为：  0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 8.一名学生每天骑车上学，从他家里到学校的途中有 6 个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的事件是相 互独立的，并且概率都是 1 3 . （1）假设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列； （2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 列如下： X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 3 2 9 4 27 8 81 16 243 32 729 64 729 9.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有 5 发子弹， 第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是 2 3 ，求（1）油罐 被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求 的分布列． 【答案】（1） 232 243 ；（2）见解析. 【解析】（1）“油罐被引爆”的事件为事件 A ，其对立事件 A 为包括“一次都没有命中”和“只命中一次”， 即   4 5 1 5 2 1 1 3 3 3P A C               ，∴   4 5 1 5 2 1 1 2321 · 3 3 3 243P A C                     （2）射击次数 的可能取值为 2，3，4，5   22 42 3 9P        ，   1 2 2 1 2 83 · · ·3 3 3 27P C      2 1 3 2 1 2 44 ·3 3 3 27P C       ，   3 4 1 4 2 1 1 15 3 3 3 9P C                故 的分布列为：  2 3 4 5 P 4 9 8 27 4 27 1 9 类型六:离散型随机变量的分布列 1.设随机变量 X 的分布列为 2 3( ) , 1,2,3 k P X k km     ＝ ＝ ＝ ,则 的值为 ( ) A. 17 18 B. 27 38 C. 17 19 D. 27 19 【答案】B 【解析】因为 2 4 8 13 9 27m      ，所以 27 38m  ，选 B. 2.有一匹叫 Harry 的马，参加了 100 场赛马比赛，赢了 20 场，输了 80 场．在这 100 场比赛中，有 30 场是 下雨天，70 场是晴天,在 30 场下雨天的比赛中， Harry 赢了 15 场．如果明天下雨， Harry 参加赛马的 胜率是( ) A. 1 5 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 10 【答案】B 【解析】在下雨天获胜的概率 15 1 30 2P   故答案选 B 3.一只袋中放入了大小一样的红色球 3个，白色球3个，黑色球 2 个. （Ⅰ）从袋中随机取出（一次性） 2 个球，求这 2 个球为异色球的概率； （Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为 a 、b 、c ，令随机 变量 表示 a 、b 、 c 的最大值，求 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ） 3 4 ；（Ⅱ） 12 7 . 则 的分布列为 于是， 9 9 1 121 2 328 14 28 7E        . 4.一个口袋中装有 n 个红球 ( 5n  且 )n N 和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中 奖. (1)用 n 表示一次摸奖中奖的概率 np ； (2)若 5n  ，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有 X 次中奖,求 X 的数学期望 EX ； (3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率 P ,当 n 取何值时， P 最大？ 【答案】（1）    10 5 4n np n n    ；（2） 5 3 ；（3）20. 【解析】（1）由题设知：    1 1 5 2 5 10 5 4 n n n C C np C n n     （2）由（1）及题设知：  5 5 5 , ~ 3,9p X B p ∴ 5 3EX  5.某大型超市拟对店庆当天购物满 288 元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆 形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的 超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响． （Ⅰ）若 0 60x  ，求顾客转动一次转盘获得 60 元代金券的概率； （Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当 0 20x  时，求该顾客第一次获得代金券的面额不 低于第二次获得代金券的面额的概率； （Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为 X ，当 0x 取何值时， X 的方差最小？ （结论不要求证明） 【答案】(1) 1 3 ;(2) 7 9 ;(3) 0 36x  . 因此    1 1 2( )P B P C P C C  1 1 11 13 3 3               7 9  . （Ⅲ） 0 36x  . 6.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的 60 人进行了统计，得到如下数据统计表， 每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过 2 两小时的人被定义为“非微信达 人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为 3：2． （1）确定 x y p q， ， ， 的值，并补全须率分布直方图； （2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60 人 中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查，设选取的 3 人中“微信达 人”的人数为 ξ ，求 ξ 分布列和数学期望． 使用微信时间 （单位：小时） 频数 频率 （0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合计 60 1.00 【答案】（Ⅰ） 9 6 0.15 0.10x y p q   ， ， ， （II）分布列见解析； 6 5E  【解析】 1（）根据题意，有 3 9 15 18 60 18 2 3 9 15 3 x y y x              ， 解得 9 6x y ， ， 0.15 0.10p q  ， ， 补全频率分布图有下图所示．  的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 1 1 3 1 60 1 2 36 2 10 30 5E          类型 7 1. 如果 (20, )X B p ，当 1 2p  且 ( )p X k 取得最大值时， k 的值是（ ） 【答案】 【解析】因为 (20, )X B p ， 1 2p  ，所以 20 20 20 20 1 1 1 2 2 2( ) k k k kC Cp X k                      ，当 10k  时 20 kC 取得最大值， 故选 . 2. m 是从集合 1,0,1,2,3 中随机抽取的一个元素,记随机变量 cos( )3m   ,则 的数学期望 E  . 【答案】 1 10 3.若离散型随机变量 的取值分别为 ,m n ，且  P m n   ，  P n m   ， 3 8E  ，则 2 2m n 的 值为（ ） A. 1 4 B. 5 16 C. 5 8 D. 13 16 【答案】C 【解析】因为 31, 2 8m n E nm mn mn      ， 所以  22 2 3 52 1 8 8m n m n mn       ， 应选答案 C. 4. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择； 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为 4 5 .第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖， 则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获 得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖， 获得奖金 1000 元；若未中奖，则所获奖金为 0 元. 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 2 5 ，每次中奖均可获奖金 400 元. （1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X （元）的分布列； （2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？ 【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案. 5.在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量 的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了 90 个面包，以 x（单位：个， 60 110x  ）表示面包的 需求量， T （单位：元）表示利润． （Ⅰ）求T 关于 x 的函数解析式； （Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率； （III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率 作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量  60,70x ，则取 65x  ，且 65x  的概率等于需求 量落入 60,70 的频率)，求T 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）  4 180 60 90 180 (90 110) X X T X        ;（Ⅱ）见解析. （Ⅱ）由题意，设利润T 不少于 100 元为事件 A ，由（Ⅰ）知，利润T 不少于 100 元时，即 4 180 100X   ， 70X  ，即 70 110X  ， 由直方图可知，当 70 110X  时，所求概率：      1 1 0.025 70 60 0.75P A P A       （III）由题意，由于 4 65 180 80   ， 4 75 180 120   ， 4 85 180 160   ， 故利润T 的取值可为： 80 ， 120， 160， 180， 且  80 0.25TP   ，  120 0.15TP   ，  160 0.20TP   ，  180 0.40TP   ， 故T 的分布列为： T 80 120 160 180  P T 0.25 0.15 0.20 0.40 利润的数学期望   80 0.25120 0.15160 0.20180 0.40E T      142 6.一个盒子内装有 8 张卡片，每张卡片上面写着 1 个数字，这 8 个数字各不相同，且奇数有 3 个，偶数有 5 个．每张卡片被取出的概率相等． （Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片，并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得 新数是偶数的概率； （Ⅱ）现从盒子中一次随机取出 1 张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶 数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了 次才停止取出卡片，求 的分布列和数学期望． 【答案】（1） 15 28 ；（2）见解析. (2)  所有可能的取值为 1,2,3,4, 根据题意得   1 5 1 8 51 ,8 CP C       1 1 3 5 1 1 8 7 152 ,56 C CP C C        1 11 3 52 1 1 1 8 7 6 53 ,56 C CCP C C C         1 11 1 3 52 1 1 1 1 1 8 7 6 5 14 .56 C CC CP C C C C        故 的分布列为  1 2 3 4 5 8 15 56 5 56 1 56 5 15 5 1 31 2 3 48 56 56 56 2E          ．