高考数学考点归纳之 算法与程序框图
高考数学考点归纳之 算法与程序框图
一、基础知识
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
定义 由若干个依次执行的步骤组成
程序
框图
(2)条件结构
定义 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
程序
框图
(3)循环结构
定义
从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤
称为循环体
程序
框图
直到型循环结构
先循环，后判断，条件满足时终
止循环.
当型循环结构
先判断，后循环，条件满
足时执行循环.
三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．
考点一 顺序结构和条件结构
[例 1] (2019·沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输
入的实数 x 的值为( )
A．－3 B．－3 或 9
C．3 或－9 D．－3 或－9
[解析] 当 x≤0 时，y＝
1
2 x－8＝0，x＝－3；当 x>0 时，y＝2－log3x＝0，x＝9.故 x＝
－3 或 x＝9，选 B.
[答案] B
[例 2] 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )
A．f(x)＝cos x
x
－π
2
Q，所以 1＋a>7，结合选项，可知 a 的值可以为 7，故选 D.
[答案] D
[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量
的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二) 完善程序框图
[例 1] (2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 依次为 2,2,5 时，
输出的 s 为 17，那么在判断框中可以填入( )
A．kn?
C．k≥n? D．k≤n?
[解析] 执行程序框图，输入的 a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的 a＝2，s＝2×2＋
2＝6，k＝2；输入的 a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又 n＝2，所以判断框
中可以填“k>n？”，故选 B.
[答案] B
[例 2] (2018·全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－1
2
＋1
3
－1
4
＋…＋ 1
99
－ 1
100
，设计了如图所示的程序
框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
[解析] 由题意可将 S 变形为 S＝ 1＋1
3
＋…＋ 1
99 －
1
2
＋1
4
＋…＋ 1
100 ，则由 S＝N－T，
得 N＝1＋1
3
＋…＋ 1
99
，T＝1
2
＋1
4
＋…＋ 1
100.据此，结合 N＝N＋1
i
，T＝T＋ 1
i＋1
易知在空白框
中应填入 i＝i＋2.故选 B.
[答案] B
[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[题组训练]
1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为 A，从集合
A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )
A.4
7 B.4
5
C.3
5 D.3
4
解析：选 C 执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1；x＝0，y
＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环．则集合 A 中的元素有－1,0,3,8,15，
共 5 个，若函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)为增函数，则 a>0，所以所求的概率为3
5.
2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 4，则 p 的取值
范围是( )
A.
3
4
，7
8 B.
5
16
，＋∞
C.
5
16
，7
8 D.
5
16
，7
8
解析：选 A S＝0，n＝1；S＝1
2
，n＝2；S＝1
2
＋ 1
22
＝3
4
，n＝3；满足条件，所以 p>3
4
，
继续执行循环体；S＝3
4
＋ 1
23
＝7
8
，n＝4；不满足条件，所以 p≤7
8.输出的 n 的值为 4，所以3
42 THEN
a＝2＋a
ELSE
a＝a*a
END IF
PRINT a
END
若输出的结果是 9，则输入的 a 的值是________．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
a＝ 2＋a，a>2，
a×a，a≤2
的值，
当 a>2 时，由 2＋a＝9 得 a＝7；
当 a≤2 时，由 a2＝9 得 a＝－3，
综上知，a＝7 或 a＝－3.
答案：－3 或 7
[课时跟踪检测]
1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数 a，b，定义 a*b 的运算原理如图所示，则(log
22 2)*
1
8 －2
3
＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 A 因为 log 22 2＝3，
1
8 －2
3
＝4,3<4，所以输出4－1
3
＝1，故选 A.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的 x，y 分别为( )
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
解析：选 C 第一次执行循环体，y＝90，s＝86
7
＋15，不满足退出循环的条件，故 x＝
90；第二次执行循环体，y＝86，s＝90
7
＋43
3
，不满足退出循环的条件，故 x＝94；第三次执
行循环体，y＝82，s＝94
7
＋41
3
，不满足退出循环的条件，故 x＝98；第四次执行循环体，y
＝78，s＝27，满足退出循环的条件，故 x＝98，y＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 6，
则判断框内可填入的条件是( )
A．s>1
2
？ B．s> 7
10
？
C．s>3
5
？ D．s>4
5
？
解析：选 B s＝1，k＝9，满足条件；s＝ 9
10
，k＝8，满足条件；s＝4
5
，k＝7，满足条件；
s＝ 7
10
，k＝6，不满足条件．输出的 k＝6，所以判断框内可填入的条件是“s> 7
10
？”．故选
B.
4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的
值可以是( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选 A 根据程序框图可知，若输出的 k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行
了 3 次，执行第 1 次时，S＝2×0＋3＝3，执行第 2 次时，S＝2×3＋3＝9，执行第 3 次时，
S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数 a 的取值范围是 9≤a<21，故选 A.
5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝0，y＝－1，n＝1，则输
出 x，y 的值满足( )
A．y＝－2x B．y＝－3x
C．y＝－4x D．y＝－8x
解析：选 C 初始值 x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝1
2
，y
＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝3
2
，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出 x＝3
2
，y＝－6，此时
x，y 满足 y＝－4x，故选 C.
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果 s＝132，
则判断框中可以填( )
A．i≥10? B．i≥11?
C．i≤11? D．i≥12?
解析：选 B 执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i
＝10.此时输出的 s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的 y 的值为 1，则输入的 x 的值
为
( )
INPUT x
IF x>＝1 THEN
y＝x2
ELSE
y＝－x2＋1
END IF
PRINT y
END
A．0 B．1
C．0 或 1 D．－1,0 或 1
解析：选 C 当 x≥1 时，由 x2＝1 得 x＝1 或 x＝－1(舍去)；当 x<1 时，由－x2＋1＝1
得 x＝0.∴输入的 x 的值为 0 或 1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的 n＝4，则输出的 s＝( )
A．10 B．16
C．20 D．35
解析：选 C 执行程序框图，第一次循环，得 s＝4，i＝2；
第二次循环，得 s＝10，i＝3；
第三次循环，得 s＝16，i＝4；
第四次循环，得 s＝20，i＝5.
不满足 i≤n，退出循环，输出的 s＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该
算法的功能是( )
A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和
B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 019 项和
C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和
D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和
解析：选 D 由程序框图得，输出的 S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋
(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前 2 019 项中所
有奇数项的和，即首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和．故选 D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 7，则判断
框内 m 的取值范围是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选 A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8
＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足 S＝423，
lg3－x，x<3
及程序框图知，①处应填 x<3？，②处应填 y
＝lg(x－3)．
答案：x<3？ y＝lg(x－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的 N＝20，则输出的 S＝________.
解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的 N＝20 时，输出 S 的值是数列{2k－
1}的前 19 项和，即191＋37
2
＝361.
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是________．
解析：依题意，若λa＋b 与 b 垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝
－2；若λa＋b 与 b 平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图可知，
输出的λ是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，y∈R，那么输出的 S 的最大值为________．
解析：当条件 x≥0，y≥0，x＋y≤1 不成立时，输出 S 的值为 1，当条件 x≥0，y≥0，
x＋y≤1 成立时，输出 S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时 S 的最大
值．作出不等式组
x≥0，
y≥0，
x＋y≤1
表示的平面区域如图中阴影部分所示，由
图可知当直线 S＝2x＋y 经过点 M(1,0)时 S 最大，其最大值为 2×1＋0＝2，
故输出 S 的最大值为 2.
答案：2
