人教版 九年级 数学 总复习 第二讲 解直角三角形（学生版）

人教版 九年级 数学 总复习 第二讲 解直角三角形（学生版）

解直角三角形 1 第二讲 解直角三角形 明确目标﹒定位考点 锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题， 或以锐角三角函数知识为工具将几何知识转化为解代数问题，从而将平面几何中对直角三角形的研究转化 为定量研究，达到化难为易的目的，在中考中的考察较为频繁，在综合性的大题中通常与其他知识点相结 合考查，所占的分值在 10-12 分左右。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 仰角与俯角 【例 1】 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为 30°，然后 他向气球方向前进了 50m，此时观测气球，测得仰角为 45°．若小明的眼睛离地面 1.6m ，小明如何计算 气球的高度呢（精确到 0.01m） 【规律方法】此题是在两个直角三角形中，运用三角函数列出边角关系，设两个未知数列两个方程求解的。 但是它也可以设一个未知数，在两个直角三角形中，运用边角关系（三角函数）分别把 AD、BD 用含 h 的 代数式表示出来，代入等量关系：AD—BD=AB，得到一个方程，进行求解。 【例 2】在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为 30 米的宣 传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C 处测得条幅顶端 A 的仰角为 50°，测得条幅底端 E的仰角 为 30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？ （精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20， sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58） 【规律方法】（1）根据题意构造直角三角形，利用其公共边构造方程求解． （2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法． 解直角三角形 2 【变式训练 1】 1．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 60 ，看这栋高楼底部的俯角为 30 ， 热气球与高楼的水平距离为 60 m，这栋高楼有多高？（结果精确到 0.1 m，参考数据： 73.13  ） 2．如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A处测得广告牌 B 点、C 点的仰角分别为 52°和 35°， 则广告牌的高度 BC 为__________米(精确到 0.1 米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70； sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 3．如图，一艘核潜艇在海面下 500 米 A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同 一深度直线航行 4000 米后再次在 B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据： 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ， 5 2.236≈ ） 考点 2 坡度与坡比 【例 3】如图，斜坡 AC的坡度（坡比）为 1: 3 ，AC＝10米．坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B点与 A点 有一条彩带 AB相连，AB＝14米．试求旗杆 BC的高度． A B C D6米 52° 35° 30° 60°BA D C 海面 C A B 解直角三角形 3 【规律方法】本题先要过 C作 CE垂直于 AD于 E。由“坡度 i=tanCAD=1： 3 ”求出∠CAE=30° ，再分 别在 Rt△AEC和 Rt△AEB中运用边角关系和三边关系求解的。 【例 4】如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC 为 6m，坝高为 3.2m，为了提高水坝的拦水能 力，需要将水坝加高 2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来 的 i=1：2变成 i′=1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底 HD的长为多少？ 【规律方法】此题严格按照“坡度 i=对边 邻边 ”，在两个直角三角形中列式计算的，它把梯形分割成了两个直角 三角形和一个矩形。 【变式训练 2】 1．如图，小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地 面成 30º角，且此时测得 1 米杆的影长为 2米，求电线杆的高度 解直角三角形 4 2．同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC＝2 米，滑梯着地 点 B与梯架之间的距离 BC＝4 米． （1）求滑梯 AB 的长（精确到 0.1 米）； （2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过 45°，属于安全．通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要 求？ 3．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长 96m 的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形 ABCD） 的堤面加宽 1.6m，背水坡度由原来的 1:1 改成 1:2，已知原背水坡长 AD=8.0m，求完成这一工程所需的 土方。（精确到百位） （注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值；提供数据: 2 1.41, 3 1.73, 5 2.24   ） 考点 3 方向角 【例 5】海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B在海船的北偏东 60°方向，2 小时 后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B在海船的北偏西 45°方向，求此时灯塔 B到 C处的距离． 解直角三角形 5 【规律方法】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线，构造直 角三角形． 【变式训练 3】 1．如图，在航线 l的两侧分别有观测点 A 和 B，点 A 到航线 l的距离为 2km，点 B 位于点 A 北偏东 60°方 向且与 A相距 10km 处．现有一轮船从位于点 B 南偏西 76°方向的 C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点 A的正北方向的 D 处． （1）求观测点 B 到航线 l的距离； （2）求该轮船航行的速度（结果精确到 0.1km/h）．（参考数据： 3 1.73≈ ，sin76 0.97°≈ ，cos76 0.24°≈ ， tan76 4.01°≈ ） 2．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上 有一点 A，以 A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区．取 MN 上的另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°．已知 MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区． 北 东 C D B E A l 60° 76° 解直角三角形 6 3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力， 如图 11，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级， 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以 15 千米／时的速度沿北偏东 30°方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响． （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 归纳总结﹒思维升华 1．仰角、俯角的定义 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角．右图中的∠2 就是仰角，∠1 就是俯角． 2．坡角、坡度的定义 解直角三角形 7 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作 i，即 i＝ AC BC ，坡 度通常用 1:m 的形式，例如上图的 1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做 坡角。 从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越 陡。 3.在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型： 通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解 答。 专题训练﹒对接中考 解答题。 1．如图，小山岗的斜坡 AC的坡度是 3tan 4   ， 在与山脚C距离 200 米的D处，测得山顶 A的仰角为 26.6，求小山岗的高 AB． 2．为测山高，在点 A 处测得山顶 D 的仰角为 31°，从点 A 向山方向前进 140 米到达点 B，在 B 处测得山 顶 D的仰角为 62°（如图）． （1）在所给的图②中尺规作图：过点 D 作 DC⊥AB，交 AB 的延长线于点 C； （2）山高 DC 是多少（结果取整数）？ 第 20 题 图① 图② 31A D 62 B 笫 22 题 解直角三角形 8 3．如图，AB是高为60米的铁塔，分别在河边D处测得塔顶A的仰角为60°，在与B.D同一直线上的河对岸C 处测得塔顶A的仰角为40°. （1）求D点到铁塔距离DB的长；（结果保留根号） （2）求河岸间CD的宽度.（结果取整数） 4.如图8，某无人机于空中 A处探测到目标 B、D的俯角分别是30 、60  ,此时无人机的飞行高度 AC为60m， 随后无人机从 A处继续水平飞行30 3 m 到达 A处. (1)求A、B之间的距离. (2)求从无人机A上看目标 D的俯角的正切值. 解直角三角形 9 5.如图 10， 在东西方向的海岸线 MN 上有 A、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 58°方向，船 P在船 B 的北偏西 35°方向，AP 的距离为 30 海里. （1） 求船 P 到海岸线 MN 的距离（精确到 0.1 海里）； （2） 若船 A、船 B 分别以 20 海里/小时、15 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计 算判断哪艘船先到达船 P 处. 作业： 一、 选择题。 1．如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30°、45°，如果此时热气球 C处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点间距离是（ ） A．200 米 B．200 3米 C．220 3米 D．100( 3＋1)米 第 1 题图 A B C D 30° 45° 解直角三角形 10 第 1 题图 二、填空题。 1．如图，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 24 米，从 A点测得 D点的俯角为 30°，测得 C点的俯角为 60°，则建筑物 CD 的高为______米．（结果保留根号） 2.（2015 年番禺区一模.16,3 分）如图，从一运输船的点 A 处 观测海岸 上高为 41m 的灯塔 BC（观测点 A与灯塔底部 C在一个水平面上）， 测得灯塔顶部 B 的仰角为 35°，则点 A 到灯塔 BC 的距离约为 （精确到 1 cm）． 3．如图，有A 、B 两艘船在大海中航行， B 船在A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时 刻这两艘船同时测得在A 的东北方向，B的北偏东150方向有另一艘船C ，那么此时船C 与船B的距离是 ________海里．（结果保留根号) 三．解答题： 1.如图，两座建筑物 AB 及 CD，其中 A，C 距离为 50 米，在 AB 的顶点 B 处测得 CD 的顶部 D 的仰角β＝30°， 测得其底部 C的俯角α＝60°，求两座建筑物 AB 及 CD 的高度(精确到 0.1 米)． 第 2 题 解直角三角形 11 2.“地震无情人有情”，雅安地震牵动了全国人民的心．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 处有 生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点 、 相距 2 ，探测线与地面的夹角分别是 30º和 60º，试确定 生命所在点 的深度．（结果保留到 0.1 ） [来源:Zxxk.Com] 3.为方便市民低碳生活绿色出行，市政府计划改造如图所示的人行天桥：天桥的高是 10 米，原坡面倾斜 角∠CAB=45°． （1）若新坡面倾斜角∠CDB=28°，则新坡面的长 CD 长是多少？（精确到 0.1 米） （2）若新坡角顶点 D 前留 3 米的人行道，要使离原坡角顶点 A 处 10 米的建筑物不拆除，新坡面的倾 斜角∠CDB 度数的最小值是多少 ？（精确到 1°） 4．如图，小明在大楼 30 米高（即 PH＝30米）的窗口 P处进行观测，测得山坡上 A处的俯角为 15°，山脚 B处的俯角为 60°，已知该山坡的坡度 i（即 tan∠ABC）为 1： 3，点 P、H、B、C、A在同一个平面上．点 H、B、C在同一条直线上，且 PH⊥HC． （1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于_***_度； （2）求 A、B两点间的距离（结果精确到 0.1 米）． 第 2 题图 第 3 题 解直角三角形 12 5．目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图 8 所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼， 某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（1）求大楼与电视塔 之间的距离 AC； （2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米） 45° 39°D C A E B