北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》练习

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北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》练习

第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 专题一 有关勾股定理的折叠问题 1. 如图,将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠, 使点 D 落在 BC 边的中点 E 处,点 A 落在 F 处, 折痕为 MN,则线段 CN 长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2. 如图,EF 是正方形两对边中点的连线段,将∠A 沿 DK 折叠,使它的顶点 A 落在 EF 上的 G 点,求∠DKG 的度数. 3. 已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为 45°,半径长等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转,直线 CE、CF 分别与直线 AB 交于点 M、N. (1)如图①,当 AM=BN 时,将△ACM 沿 CM 折叠,点 A 落在弧 EF 的中 点 P 处,再将△BCN 沿 CN 折叠,点 B 也恰好落在点 P 处,此时,PM=AM,PN=BN,△PMN 的形状是_______________.线 段 AM、BN、MN 之间的数量关系是______________________________; (2)如图②,当扇形 CEF 绕点 C 在∠ACB 内部旋转时,线段 MN、AM、BN 之间的数量关系是 _______________.试证明你的猜想; (3)当扇形 C EF 绕点 C 旋转至图③的位置时,线段 MN、AM、BN 之间的数量关系是 _______________.(不要求证明) ① ② ③ 专题二 勾股定理的证明 4.在教材中,我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系,利用四个完全相同的 直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性. 问题 1:以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,探究 S′+ S″与 S 的关系(如图 1). 问题 2:以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形,探究 S′+S″与 S 的关系(如 图 2). 问题 3:以直角三角形的三边为直径向外作半圆,探究 S′+ S″与 S 的关系(如图 3). 5. 如图,是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图① 中两直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c;图②中两直角边长为 c.请你动脑,将它们拼成能够证明勾股定理的图 形. (1)请你画出一种图形,并验证勾股定理. (2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的图形(无需 证明). 答案: 1.A 【解析】设 CN=x cm,则 DN=(8-x)cm. 由折叠的性质知 EN=DN=(8-x)cm, 而 EC= 1 2 BC=4 cm,在 Rt△ECN 中,由勾股定理可知 EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=16+x2, 整理得 16x=48,所以 x=3.故选 A. 2.解:∵DF= 1 2 CD= 1 2 DG,∴∠DGF=30°.∵∠EKG+∠KGE=90°,∠KGE+∠DGF=90°, ∴∠EKG=∠DGF=30°.∵2∠DKG+∠GKE=180°,∴∠DKG=75°. 3.解:(1)根据折叠的性质知:△CAM≌△CPM,△CNB≌△CNP.∴AM=PM,∠A=∠CPM,PN=NB, ∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°,PM=PN=AM=BN. 故△PMN 是等腰直角三角形,AM2+BN2=MN2(或 AM=BN= 2 2 MN). (2)AM2+BN2=MN2. 证明:如图,将△ACM 沿 CM 折叠,得△DCM,连 DN, 则△ACM≌△DCM,∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM. 同理可知∠DCN=∠BCN,△DCN≌△BCN,DN=BN, 而∠MDC=∠A=45°,∠CDN=∠B=45°,∴∠MDN=90°, ∴DM2+DN2=MN2,故 AM2+BN2=MN2. (3)AM2+BN2=MN2;解法同(2). 4.解:探究 1:由等边三角形的性质知:S′= 3 4 a2,S″= 3 4 b2,S= 3 4 c2, 则 S′+ S″= 3 4 (a2+b2).因为 a2+b2=c2,所以 S′+ S″=S. 探究 2:由等腰直角三角形的性质知:S′= 1 4 a2,S″= 1 4 b2,S= 1 4 c2. 则 S′+S″= 1 4 (a2+b2).因为 a2+b2=c2,所以 S′+S″=S. 探究 3:由圆的面积计算公式知:S′= 1 8 πa2,S″= 1 8 πb2,S= 1 8 πc2. 则 S′+ S″= 1 8 π(a2+b2),因为 a2+b2=c2,所以 S′+ S″=S. 5.解:(1)如图所示, 根据正方形的面积可得(a+b)2=4× 1 2 ab+c2, 即 a2+b2=c2. (2)如图所示.
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