高二数学人教a必修5练习：第三章不等式复习课word版含解析

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高二数学人教a必修5练习：第三章不等式复习课word版含解析

第三章 章末复习课 【课时目标】 1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题． 2．掌握简单的线性规划问题的解法． 3．能用基本不等式进行证明或求函数最值． 不等式 — | — 不等关系 —|— 不等式的性质 — 实数比较大小 — 一元二次不等式 —|— 一元二次不 等式的解法 — 一元二次不 等式的应用 — 简单线性规划 —|— 二元一次不等式组 与平面区域 — 简单线性规划 — 简单线性规划的应用 — 基本不等式 —|— 算术平均数与几何平均数 — 基本不等式的应用 一、选择题 1．设 a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A．a－b<0 B．0a＋b 答案 C 2．已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解是[－1 2 ，－1 3]，则不等式 x2－bx－a<0 的解是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C．(1 3 ，1 2) D．(－∞，1 3)∪(1 2 ，＋∞) 答案 A 解析 由题意知，a<0，b a ＝－5 6 ，－1 a ＝1 6 ， ∴a＝－6，b＝5. ∴x2－5x＋6<0 的解是(2,3)． 3．若变量 x，y 满足 2x＋y≤40， x＋2y≤50， x≥0， y≥0， 则 z＝3x＋2y 的最大值是( ) A．90 B．80 C．70 D．40 答案 C 解析 作出可行域如图所示 . 由于 2x＋y＝40、x＋2y＝50 的斜率分别为－2、－1 2 ，而 3x＋2y＝0 的斜率为－3 2 ，故线 性目标函数的倾斜角大于 2x＋y＝40 的倾斜角而小于 x＋2y＝50 的倾斜角，由图知，3x＋2y ＝z 经过点 A(10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为 70. 4．不等式x－1 x ≥2 的解为( ) A．[－1,0) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A 解析 x－1 x ≥2⇔x－1 x －2≥0⇔－x－1 x ≥0 ⇔x＋1 x ≤0⇔ xx＋1≤0 x≠0 ⇔－1≤x<0. 5．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么( ) A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) 答案 A 解析 ∵ab－(a＋b)＝1，ab≤(a＋b 2 )2， ∴(a＋b 2 )2－(a＋b)≥1， 它是关于 a＋b 的一元二次不等式， 解得 a＋b≥2( 2＋1)或 a＋b≤2(1－ 2)(舍去)． ∴a＋b 有最小值 2( 2＋1)． 又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2 ab， ∴ab－2 ab≥1，它是关于 ab的一元二次不等式， 解得 ab≥ 2＋1，或 ab≤1－ 2(舍去)， ∴ab≥3＋2 2，即 ab 有最小值 3＋2 2. 6．设 x，y 满足约束条件 3x－y－6≤0， x－y＋2≥0， x≥0，y≥0， 若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值 为 12，则2 a ＋3 b 的最小值为( ) A.25 6 B.8 3 C.11 3 D．4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线 x－y＋2 ＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值 12， 即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2 a ＋3 b ＝(2 a ＋3 b)·2a＋3b 6 ＝13 6 ＋(b a ＋a b)≥13 6 ＋2＝25 6 (a＝b ＝6 5 时取等号)． 二、填空题 7．已知 x∈R，且|x|≠1，则 x6＋1 与 x4＋x2 的大小关系是________． 答案 x6＋1>x4＋x2 解析 x6＋1－(x4＋x2) ＝x6－x4－x2＋1 ＝x4(x2－1)－(x2－1) ＝(x2－1)(x4－1) ＝(x2－1)2(x2＋1) ∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2. 8．若函数 f(x)＝ 2x2－2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． 答案 [－1,0] 解析 由 f(x)＝ 2x2－2ax－a－1的定义域为 R. 可知 2x2－2ax－a≥1 恒成立，即 x2－2ax－a≥0 恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－ 1≤a≤0. 9．若 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2 xz 的最小值为____． 答案 3 解析 由 x－2y＋3z＝0，得 y＝x＋3z 2 ，将其代入y2 xz ， 得x2＋9z2＋6xz 4xz ≥6xz＋6xz 4xz ＝3，当且仅当 x＝3z 时取“＝”，∴y2 xz 的最小值为 3. 10．铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石 的价格 c 如下表： a b/ 万 吨 c/ 百 万 元 A 50 % 1 3 B 70 % 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨)，则购买铁矿石 的最少费用为________(百万元)． 答案 15 解析 设购买 A、B 两种铁矿石分别为 x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为 z 百万元， 则 z＝3x＋6y. 由题意可得约束条件为 1 2x＋ 7 10y≥1.9， x＋1 2y≤2， x≥0， y≥0. 作出可行域如图所示，由图可知，目标函数 z＝3x＋6y 在点 A(1,2)处取得最小值，zmin ＝3×1＋6×2＝15. 三、解答题 11．已知关于 x 的不等式ax－5 x2－a <0 的解集为 M. (1)若 3∈M，且 5∉M，求实数 a 的取值范围． (2)当 a＝4 时，求集合 M. 解 (1)∵3∈M，∴3a－5 9－a <0，解得 a<5 3 或 a>9； 若 5∈M，则5a－5 25－a <0， 解得 a<1 或 a>25. 则由 5∉M，知 1≤a≤25， 因此所求 a 的范围是 1≤a<5 3 或 90 x2－4<0 或 4x－5<0 x2－4>0 . ⇔ x>5 4 －22 ⇔5 43 时，求函数 y＝ 2x2 x－3 的值域． 解 ∵x>3，∴x－3>0. ∴y＝ 2x2 x－3 ＝2x－32＋12x－3＋18 x－3 ＝2(x－3)＋ 18 x－3 ＋12≥2 2x－3· 18 x－3 ＋12 ＝24. 当且仅当 2(x－3)＝ 18 x－3 ， 即 x＝6 时，上式等号成立， ∴函数 y＝ 2x2 x－3 的值域为[24，＋∞)． 【能力提升】 13．设 a＞b＞0，则 a2＋ 1 ab ＋ 1 aa－b 的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D 解析 a2＋ 1 ab ＋ 1 aa－b ＝a2－ab＋ab＋ 1 ab ＋ 1 aa－b ＝a(a－b)＋ 1 aa－b ＋ab＋ 1 ab ≥2＋2 ＝4. 当且仅当 a(a－b)＝1 且 ab＝1，即 a＝ 2，b＝ 2 2 时取等号． 14．若关于 x 的不等式(2x－1)20，整理不等式可得(4－a)x2－4x＋1<0，由于该不等 式的解集中的整数恰有 3 个，则有 4－a>0，即 a<4，故 0
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