高中数学(人教版必修2)配套练习 第一章1柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

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高中数学(人教版必修2)配套练习 第一章1柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

第 2 课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 一、基础过关 1.一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的1 2 时,它的体积是原来的 ( ) A.1 2 B.1 4 C.1 8 D. 2 4 2.两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 3.已知直角三角形的两直角边长为 a、b,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形成 的几何体的体积之比为 ( ) A.a∶b B.b∶a C.a2∶b2 D.b2∶a2 4.若球的体积与表面积相等,则球的半径是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是 ________ cm. 6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为______ cm3. 7.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是______; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是______. 8.在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求这 个球的体积. 二、能力提升 9.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积和体积分别为( ) A.24π cm2,12π cm3 B.15π cm2,12π cm3 C.24π cm2,36π cm3 D.以上都不正确 10.圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则它的体积和表面积分别为 ( ) A.2π,6π B.3π,5π C.4π,6π D.2π,4π 11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________ m3. 12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 三、探究与拓展 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这 个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 答案 1.C 2.A 3.B 4.C 5.3 6.6 7.(1)球 (2)球 8.解 ∵PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC=a. ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点, ∴球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径. ∴2R= 3a,R= 3 2 a, ∴V=4 3πR3=4 3π( 3 2 a)3= 3 2 πa3. 9.A 10.A 11.9π+18 12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面. 根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积 为 V=V 圆锥-V 球=1 3π·( 3r)2·3r-4 3πr3=5 3πr3, 而将球取出后,设容器内水的深度为 h, 则水面圆的半径为 3 3 h, 从而容器内水的体积是 V′=1 3π·( 3 3 h)2·h=1 9πh3, 由 V=V′,得 h=3 15r. 即容器中水的深度为 3 15r. 13.解 设正方体的棱长为 a.如图所示. (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点 及球心作截面, 所以有 2r1=a, r1=a 2 , 所以 S1=4πr21=πa2. (2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点, 过球心作正方体的对角面得截面, 2r2= 2a,r2= 2 2 a, 所以 S2=4πr22=2πa2. (3)中正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体的对角面得截面, 所以有 2r3= 3a,r3= 3 2 a, 所以 S3=4πr23=3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
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