人教A版数学必修二2-3-2平面与平面垂直的判定

人教A版数学必修二2-3-2平面与平面垂直的判定

§2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、教材分析 在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较 多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二 面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力， 提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多 角度分析、思考问题，培养学生的创新精神. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平 面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2．过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3．情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中 激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. 三、教学重点与难点 教学重点:平面与平面垂直判定. 教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）复习 两平面的位置关系： （1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行  若α∩β=,则α∥β. （2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交  若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图 1. 图 1 （二）导入新课 思路 1.(情境导入) 为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐 用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道 平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角. 思路 2.(直接导入) 前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度 在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题. （三）推进新课、新知探究、提出问题 ①二面角的有关概念、画法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③两个平面垂直的定义. ④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明. ⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？ 讨论结果：①二面角的有关概念. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二 面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图 2（教师和学生共同动手）. 直立式： 平卧式： (1) (2) 图 2 二面角的表示方法：如图 3 中，棱为 AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时 为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点 P、Q，将这个二面角记作二面角 P-AB-Q. 图 3 如果棱为 l，则这个二面角记作αlβ或 PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如图 4,在二面角αlβ的棱上任取点 O，以 O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的 射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 组成∠AOB. 图 4 再取棱上另一点 O′，在α和β内分别作 l 的垂线 O′A′和 O′B′，则它们组成角∠A′O′B′. 因为 OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角. ③直二面角的定义. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少 度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所 成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为： 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图 5. 图 5 ④两个平面垂直的判定定理. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：        AB AB  α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图 6. 图 6 证明如下： 已知 AB⊥β，AB∩β=B，AB  α. 求证：α⊥β. 分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角， 需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角. 证明：设α∩β=CD，则由 AB  α,知 AB、CD 共面. ∵AB⊥β，CD  β,∴AB⊥CD，垂足为点 B. 在平面β内过点 B 作直线 BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角. 又 AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β. ⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面 面垂直转化为证线线垂直. （四）应用示例 思路 1 例 1 如图 7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于 A、B 的任意 一点. 图 7 求证：平面 PAC⊥平面 PBC. 证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC  α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC. 又∵PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC⊥平面 PAC. ∵BC  平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC. 变式训练 如图 8，把等腰 Rt△ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置，使 CD=AC， 图 8 （1）求证：平面 ABD⊥平面 ABC； （2）求二面角 CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥平面 ABC，O 为垂足，则 OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即 AB 的中点. ∴O∈AB，即 O∈平面 ABD. ∴OD  平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 ABC. （2）解:取 BD 的中点 E，连接 CE、OE、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同（1）可证 OC⊥平面 ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设 BC=a，则 CE= a2 3 ，OE= a2 1 ，∴cos∠OEC= 3 3 CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线. 例 2 如图 9 所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 60°，堤面上有一条直道 CD，它与堤角 的水平线 AB 的夹角为 30°，沿这条直道从堤脚向上行走到 10 m 时人升高了多少？（精确 到 0.1 m） 图 9 解：取 CD 上一点 E，设 CE=10 m，过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG，垂足 为 G，则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内，作 EF⊥AB，垂足为 F，并连接 FG, 则 FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得 EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10× 2 35 2 3 2 1  ≈4.3（m）. 答：沿直道行走到 10 m 时人升高约 4.3 m. 变式训练 已知二面角αABβ等于 45°，CD  α，D∈AB，∠CDB=45°.求 CD 与平面β所成的角. 解：如图 10，作 CO⊥β交β于点 O，连接 DO，则∠CDO 为 DC 与β所成的角. 图 10 过点 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 CE，则 CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 设 CD=a,则 CE= a2 2 ,∵CO⊥OE，OC=OE， ∴CO= a2 1 .∵CO⊥DO,∴sin∠CDO= 2 1 CD CO . ∴∠CDO=30°,即 DC 与β成 30°角. 点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面 α内找一点 C，作另一个半平面β的垂线，垂足为 O,然后通过垂足 O 作棱 AB 的垂线，垂足 为 E,连接 AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记. 思路 2 例 1 如图 11，ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°. 图 11 （1）求证：平面 PBD⊥平面 PAC； （2）求点 A 到平面 PBD 的距离； （3）求二面角 APBD 的余弦值. （1）证明：设 AC 与 BD 交于点 O，连接 PO, ∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面 ABCD,BD  平面 ABCD,∴的 PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD  平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC. (2)解：作 AE⊥PO 于点 E,∵平面 PBD⊥平面 PAC,∴AE⊥平面 PBD. ∴AE 为点 A 到平面 PBD 的距离. 在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°= 3 ,∠PAO=90°, ∵PO= 722  AOPA ,∴AE= 7 212 7 32  PO AOPA . ∴点 A 到平面 PBD 的距离为 7 212 . 3）解：作 AF⊥PB 于点 F,连接 EF, ∵AE⊥平面 PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面 AEF,PB⊥EF. ∴∠AFE 为二面角 APBD 的平面角. 在 Rt△AEF 中,AE= 7 212 ,AF= 2 , ∴sin∠AFE= 7 42 AF AE ,cos∠AFE= 7 7)7 42(1 2  . ∴二面角 APBD 的余弦值为 7 7 . 变式训练 如图 12，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点. （1）求证：MN∥平面 PAD； （2）求证：MN⊥CD； （3）若二面角 PDCA=45°，求证：MN⊥平面 PDC. 图 12 图 13 证明：如图 13 所示, （1）取 PD 的中点 Q，连接 AQ、NQ,则 QN 2 1 DC,AM 2 1 DC, ∴QN AM. ∴四边形 AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ. 又∵MN  平面 PAD,AQ  平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. （2）∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. 又∵AQ  平面 PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD. （3）由（2）知，CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD. ∴∠PDA 是二面角 PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面 PDC. 例 2 如图 14,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F 为棱 BB1 的中点，M 为线段 AC1 的中点. 图 14 （1）求证：直线 MF∥平面 ABCD； （2）求证：平面 AFC1⊥平面 ACC1A1； （3）求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点， ∴F 为 C1N 的中点，B 为 CN 的中点. 又 M 是线段 AC1 的中点，故 MF∥AN. 又∵MF  平面 ABCD,AN  平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD. （2）证明：连接 BD，由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,可知 AA1⊥平面 ABCD, 又∵BD  平面 ABCD，∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC、A1A  平面 ACC1A1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中，DA∥BN 且 DA=BN， ∴四边形 DANB 为平行四边形. 故 NA∥BD，∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA  平面 AFC1, ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1. （3）解：由（2）,知 BD⊥平面 ACC1A1，又 AC1  平面 ACC1A1，∴BD⊥AC1. ∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在 Rt△C1AC 中，tan∠C1AC= 3 11  CA CC ，故∠C1AC=30°. ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°. 变式训练 如图 15 所示，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC⊥底面 ABCD， 且 AB=2，SC=SD=2. 图 15 （1）求证：平面 SAD⊥平面 SBC； （2）设 BC=x，BD 与平面 SBC 所成的角为α，求 sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD= 2 ，CD=AB=2, ∴∠DSC=90°,即 DS⊥SC. ∵底面 ABCD 是矩形,∴BC⊥CD. 又∵平面 SDC⊥平面 ABCD,∴BC⊥面 SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面 SBC. ∵DS  平面 SAD,∴平面 SAD⊥平面 SBC. （2）解：由（1）,知 DS⊥平面 SBC,∴SB 是 DB 在平面 SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是 BD 与平面 SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么 sinα= DB DS . ∵BC=x,CD=2  DB= 24 x ,∴sinα= 24 2 x . 由 0＜x＜+∞,得 0＜sinα＜ 2 2 . （五）知能训练 课本本节练习. （六）拓展提升 如图 16，在四棱锥 P—ABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，N 是 PB 中点，过 A、D、N 三点的平面交 PC 于 M，E 为 AD 的中点. 图 16 （1）求证：EN∥平面 PCD； （2）求证：平面 PBC⊥平面 ADMN； （3）求平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,BC  面 PBC,AD  面 PBC, ∴AD∥面 PBC.又面 ADN∩面 PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点 M 为 PC 的中点.∴MN 2 1 BC. 又 E 为 AD 的中点，∴四边形 DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面 PDC. （2）证明：连接 PE、BE,∵四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面 PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且 N 为 PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面 ADMN. ∴平面 PBC⊥平面 ADMN. （3）解：作 EF⊥AB，连接 PF，∵PE⊥平面 ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的平面角. 又在 Rt△AEB 中，BE= 3 ，AE=1，AB=2,∴EF= 2 3 . 又∵PE= 3 ,∴tan∠PFE= 2 3 3 EF PE =2, 即平面 PAB 与平面 ABCD 所成的二面角的正切值为 2. （七）课堂小结 知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问 题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. （八）作业 课本习题 2.3 A 组 1、2、3.