人教版七年级上册《有理数的乘方》典例精析

人教版七年级上册《有理数的乘方》典例精析

《有理数的乘方》典例精析 1 【例 1】已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，求 2012 2013( ) ( )a b cd   ？ 【 解析】a，b 互为相反数，则 ( ) 0a b  ，0 的任何次幂都是 0；c，d 互为倒数，即 cd=1，1 的任何次幂都是 1． 【 答案】 2012 2013 2012 2013( ) ( ) 0 1 0 1 1a b cd       ． 【 点评】注意利用数的特殊关系解题． 【例 2】观察下列算式： ， ， ， ， ， ， ． 通过观察，用你发现的规律，判断 的末尾数字． 【 解析】在以上各式中，底数不变，当指数为 1、2、3、4、5、6、7 时，末尾数字分别为 3、9、7、1、3、9、7， 不难发现末尾数字按 4 个一组进行循环． 【 答案】2007 4 的余数为 3，则 的末尾数字是 7 ． 【 点评】对于规律题，要善于使用合理的方法观察、研究． 【例 3】计算： ． 【 解析】本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特 征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹象，抓住算式的结构特点对应解决． 【 答案】原式= = =8-3=5． 【点评】数与数之间的特殊关系，利用运算定律，适当改变运算顺序． 《有理数的乘方》典例精析 2 【例 1】计算： （1） 22 3     ； （2） 22 3     ； （3） 22 3      ； （4） 22 3  ； （5） 2 2 3  ． 【分析】本题的几个小题的形式各不相同，解决的关键是要分清局部乘方 与整体乘方之间的联系． 【解】（1） 22 2 2 4.3 3 3 9                      （2） 22 2 2 4.3 3 3 9                （3） 22 2 2 4.3 3 3 9                            （4） 22 2 2 4.3 3 3      （5） 2 2 2 2.3 3 3 9      【点评】特别提醒： 22 3     的底数是 2 3  ， 22 3     的底数是 2 3 ． 总结：有理数乘方的运算有以下两种方法： （1）根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计 算； （2）先确定幂的符号，再确定幂的绝对值． 【例 2】计算：－(－3)2＋(－2)3÷[(－3)－(－5)] 【分析】－(－3)2 中前面的“－”表示(－3)2 的相反数，而(－3)2 是负数的 偶次方，结果应为正，(－2)3 的负数的奇次方，结果应为负，中括号里面是两 个负数的减法运算，应转化为加法． 【解】－(－3)2＋(－2)3÷[(－3)－(－5)] ＝－9＋(－8)÷(－3＋5) ＝－9＋(－8)÷2 ＝－9＋(－4)＝－13 【点评】在有理数的混合运算中，最容易出错的就是符号，符号“－”可 以表示减号，又可以表示负号，还可以表示相反数，要结合具体情况，弄清算 式中每个“－”号的具体含义． 【例 3】计算：22011－22012． 【分析】22011 与 22012 的底数相同，指数接近，可根据乘方意义将它们写成 乘法形式后，提公因数计算． = 2 2 2 2 2 2 2 2= 2 2 2 2 1 2 2011 2012 2011 2011= 1 2 2 2 2= 2 . 2011                         【解】原式 … … … （ - ） 个 个 个 … 个 【点评】底数相同的幂进行加减运算时，可用提取公因数法计算． 【例 4】我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理中使用的是只有数 码 0 和 1 的二进制数，这两者可以相互换算，如将二进制 1101 换算成十进制数 应为 1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13，按此方式，则将十进制数 52 换算成二进 制数应为______． 【分析】本题考查数的十进制与二进制的相互换算，同时考查逆向思维能 力，即 52＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋0×20，因此十进制数 52 换 算成二进制数为 110100． 【答案】110100． 【点评】我们常用的数都是十进制数，而计算机中使用的是二进制数，它 们之间是可以相互转化的，在解答时应以双向的思路来解决这类问题． 【例 5】小刚学习了有理数运算法则后，编了一个计算程序，当他输入任 意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与 1 的 和，当他第一次输入 2，然后将所得到的结果再次输入后，显示屏上出现的结 果应是（ ） A．－8 B．5 C．－24 D．26 【分析】根据程序可得他第一次输入 2 后，所得的结果应是 22＋1＝5．然 后将 5 再次输入后，显示屏上出现的结果应是 52＋1=26，也就是 26． 【答案】D． 【点评】解答本题的关键是通过阅读题意，弄懂程序所包含的算法，再根 据算法进行计算． 【例 6】一张纸的厚度大约是 0.006 cm，地球到月球的距离约等于 3.85× 105km． 小明说：“如果将一张纸连续对折 43 次，那么纸的厚度比地球到月球的距 离还要远．” 你相信小明的说法吗？为什么？ 【分析】第一次对折得 2＝21 张，第二次对折得 2×2＝22 张，第三次对折 得 2×2×2＝23 张，依次类推，对折 43 次可得 243 张． 【解】对折 43 次后纸的厚度为 243×0.006 cm≈5.3×1010（cm）＝530000（km）＝5.3×105 千米＞3.85× 105 千米． 所以小明的说法是对的． 【点评】有理数的乘方可以解决倍增问题，一方面减少了繁杂的书写运算 过程，另一方面若指数太大时，结果写成幂的形式较为简单． 《有理数的乘方》典例精析 3 【例 1】计算： （1）25；（2）-34；（3） 32( )3  ；（4）（-1）2012；（5）02013. 【解析】25 表示的意义是 5 个 2 相乘；-34 的“-”并没有 4 次方，只有 3 被 4 次方，计算的时候要注意。 32( )3  是分数幂的运算，等于 3 个 2 3  连乘； （4）、（5）两题根据特殊情况就能准确计算 【解】（1）25=2×2×2×2×2=32； （2）-34=-（3×3×3×3）=-81； （3） 32( )3  = 2 2 2 8( )3 3 3 27      ； （4）（-1）2012=1； （5）02013=0. 【点评】要区分-34 与（-3）4 ，注意（-1）的偶数次方等于 1，（-1）的 奇数次方等于-1.0 的任何正整数次方都等于 0. 【例 2】下列说法正确的是（ ） A．如果 a＞b，那么 a2＞b2 B．如果 a2＞b2，那么 a＞b C．如果|a|＞|b|，那么 a2＞b2 D．如果 a＞b，那么|a|＞|b| 【解析】若 a=1，b=-3，则 a2＜b2，故 A 错； 若 a=-3，b=1，则 a＜b，故 B 错； 如果|a|＞|b|，那么 a2＞b2 故 C 对； 若 a=1，b=-3，则|a|＜|b|，故 D 错． 【答案】 C． 【点评】比较大小，可以举例子，验证是否正确. 【例 3】如果 a 的绝对值是 1，那么 a2013 等于（ ） A．1 B．2013 C．-2013 或 2013 D．1 或-1 【解析】根据绝对值的意义得到 a=±1，然后根据乘方的意义分别计算 a2013 的值即可． ∵|a|=1， ∴a=±1， 当 a=1，则 a2013=1； 当 a=-1，则 a2013=（-1）2013=-1． 【答案】D． 【点评】注意，⑴互为相反数的绝对值相等；⑵1 的任何次方都等于 1， （-1）的偶数次方等于 1，（-1）的奇数次方等于-1。 【例 4】计算：-17+17÷（-1）11-52×（-0.2）3 【解析】此算式以加、减分段， 应分为三段：-17，17÷（-1）11，52× （-0.2）3 这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－0.2 化为 1( )5  ， 参加计算较为方便。 【解】原式=-17+17÷（-1）11-52×（-0.2）3 =-17+17÷（-1）11-52× 1( )125  =-17+（-17） 1( )5   =-34+ 1 5 = 433 5  【点评】做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么 计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可 同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率. 【例 5】观察下列算式： 31＝3 32＝9 33＝27 34＝81 35＝243 36＝729 37＝2187 38＝6551 通过观察，用你发现的规律，判断出 3101 的末位数字是__________. 【解析】通过观察，3n 每循环 4 次，末位数字（个位）就出现周期变化. 当 n＝4k＋1 时，34k＋1 的个位数为 3 当 n＝4k＋2 时，34k＋2 的个位数为 9 当 n＝4k＋3 时，34k＋3 的个位数为 7 当 n＝4k 时，34k 的个位数为 1 而 101＝4×25＋1，于是 3101 的末位数是 3. 【答案】3 【评析】由特殊到一般发现规律后，再去解决特殊的情形，这种对比发 现，归纳的方法是一种学习数学的常见的思维技巧，请同学们一定要多体会、 多摸索。