2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020 年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 若集合 ൌ ሼሼ ሼ െ ͵， ൌ ሼሼ െ ͵，则 ൌ 䁧 A. ሼ 1 ሼ 댳 ͵ B. ሼሼ െ ͵ C. ሼ 1 ሼ 댳 1͵ D. ሼ 1 댳 ሼ ͵ . 复数䁧1 䁞 的虚部为䁧 A. 1 B. 1 C. i D. . 某市出租车起步价为 5元䁧起步价内行驶里程为 香，以后每 1香价格为 1.为元䁧不足 1香 按 1香计价，则乘坐出租车的费用 䁧元与行驶的里程 ሼ䁧香之间的函数图象大致为䁧 ． A. B. C. D. 4. 过点 䁧n1且斜率为 1的直线与抛物线 ൌ ሼ䁧 െ 交于 n两点，且 M为 AB的中点，则 p的值为䁧 A. 1 B. 1 C. D. 2 5. 已知等比数列͵满足1 䁞 ൌ ， 䁞 ൌ ，则 ൌ 䁧 A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 . 已知条件 p：ሼ 䁞 1 െ ，条件 q：5ሼ െ ሼ，则￢是￢的䁧 A. 充要条件 B. 充分但不必要条件 C. 必要但不充分条件 D. 既非充分也非必要条件 . 阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则判断框中应填入的条件为䁧 A. 4 B. 5 C. D. 为. 已知实数 ሼn满足线性约束条件 ሼ 4 1 ሼ䁞 ሼ 䁞 ，则 1 ሼ 的最小值为䁧 A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 9. 已知点 P是圆 C：䁧ሼ ͵െ 䁞 䁧 െ ൌ 1上任意一点，则点 P到直线 ሼ 䁞 ൌ 1距 离的最大值为䁧 A. B. C. 䁞 1 D. 䁞 1. 已知双曲线 ： ሼ 䁞 ൌ 1䁧 െ n െ 的右焦点为 F，直线 l：ሼ 4 ൌ 与双曲线的左、右 两只分别交于 A，B两点，若 ൌ 4，且右焦点 F到直线 l的距离为 1 5 ，则该双曲线的 离心率为䁧 A. 5 B. C. D. 2 11. 已知正数 n满足 䁞 ൌ ，则 1 䁞 䁞1 的最小值为䁧 A. 9 4 B. 1 15 C. D. 9 为 1. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ 䁞 4ሼ 1nሼ 댳 ሼ ሼnሼ ，若关于 x的方程 䁧ሼ 䁞香 ൌ 有 3个实数根，则实数 m 的取值范围为䁧 A. 䁧1n B. 䁧 n 1 C. 䁧1n5 D. 䁧 5n 1 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 1. 已知䁧 ሼ ሼ 9的展开式中ሼ的系数为 9 4 ，常数 a的值为______ ． 14. 在平行四边形 ABCD中，ܥ ൌ ܦ，1 ൌ 1，则 ܦ ൌ ______ ． 15. 已知在直三棱柱 ܥ ܥ，1中ܥ11 ൌ ܥ，9 ൌ 1ܥܥ ൌ 1，若此三棱柱的外接球的体积 为 ，则 ൌ______． 1. 数列͵中 䁞1 ൌ 1，则11 ൌ ______ ． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1. 在三角形 ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，且 െ䁧 ͵െ䁞 െ ൌ ． 䁧1求角 B的大小； 䁧若 ൌ ，求 ．面积的最大值ܥ 1为. 已知三棱锥 的展开图如图二，其中四边形ܥ ABCD为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥ܥ ：中ܥ 䁧1证明：平面 ܥ 平面 ABC； 䁧若 M是 PA的中点，求二面角 ܥ 的余弦值． 19. 记ܥ 为从 i个不同的元素中取出 r个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足ܥ 1 的二元 数组䁧n中的 r，其中 n3，4，5，6，7，8，9，1͵，每一个ܥ 䁧 ൌ n1，2，，都等可能 出现．求 ． 20. 已知椭圆 C：ሼ 䁞 ൌ 1䁧 െ െ 的左右焦点分别为1，，点 P在椭圆上，且1 1 ൌ ， 1 ൌ 4，1 ൌ 5 5 ． 䁧1求椭圆 C的标准方程； 䁧经过点 䁧n的直线 l和椭圆 C交于 A，B两个不同的点，设 AB的中点为 䁧ሼn，䁧ሼn， 求ሼ 䁞 的取值范围． 21. 已知函数 䁧ሼ ൌ 䁧 ሼሼ ሼ ሼ ，且函数 䁧ሼ的图象在点䁧1n处的切线与直线 ሼ 䁧 䁞 1 ൌ 垂直． 䁧Ⅰ求 a，b； 䁧Ⅱ求证：当 ሼ 䁧n1时，䁧ሼ െ ． 22. 已知直线 l的参数方程为 ሼ ൌ 1 䁞 ൌ 4 䁧为参数，它与曲线 C：䁧 ሼ ൌ 1交于 A、B两 点． 䁧1求的长； 䁧求点 䁧 1n到线段 AB中点 C的距离． 23. 已知 nn͵ 䁞，ሼ ，不等式ሼ 1 ሼ 䁞 䁞 ͵恒成立． 䁧1求证： 䁞 䁞 ͵ 1 ； 䁧求证： 䁞 䁞 䁞 ͵ 䁞 ͵ 䁞 ． 【答案与解析】 1.答案：B 解析： 求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合交集的定义是解决本题的关键． 解析： 解： 集合 ൌ ሼሼ ሼ െ ͵ ൌ ሼሼ 댳 1或 ሼ െ ͵， ൌ ሼሼ െ ͵， 则 ൌ ሼሼ െ ͵． 故选 B． 2.答案：A 解析： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解： 䁧1 䁞 ൌ 1 䁞 ， 复数䁧1 䁞 的虚部为 1． 故选：A． 3.答案：B 解析： 本题考查分段函数图象，由实际问题抽象出函数图象、理解实际问题的变化与函数图象变化的对应 是解题的关键，本题采取了将实际问题的函数模型求出，再寻求函数图象的方法，理解本题中计费 的方式是解题的难点． 根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定． 解：出租车起步价为 5元䁧起步价内行驶的里程是 香， 䁧n对应的值都是 5， 以后每 1km价为 1.为元，不足 1km按 1km计价， 댳 ሼ 4时， ൌ 5 䁞 1.为 ൌ .为，4 댳 ሼ 5时， ൌ 5 䁞 1.为 䁞 1.为 ൌ 为.， 故选：B 4.答案：B 解析： 解法一：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题．利用点差法，结合直线的斜率，即可求出 p的值． 解法二：本题考查直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程，属于中档题.写出直线的参数方程， 与抛物线方程联立，结合直线参数方程中 t的几何意义求解即可． 解法一：设 䁧ሼ1n1n䁧ሼn，则1 ൌ ሼ1n ൌ ሼ，两式相减， 得䁧1 䁧1 䁞 ൌ 䁧ሼ1 ሼ， 依题意ሼ1 ሼn ൌ 1 ሼ1ሼ ൌ 1， 于是1 䁞 ൌ ൌ ， 因此 ൌ 1． 解法二：解：由题意可得过点 䁧n1且斜率为 1的直线的参数方程为 ሼ ൌ 䁞 ൌ 1 䁞 䁧为参数， 代入抛物线 ൌ ሼ䁧 െ 中可得： 1 䁞 ൌ 䁞 ， 化简可得 1 䁞 1 䁞 1 4 ൌ ， 则1 䁞 ൌ 1 ， 由 M为 AB的中点结合 t的几何意义可知1 䁞 ൌ 1 ൌ ， 因此 ൌ 1． 故选 B． 5.答案：A 解析： 本题主要考查等比数列的知识，解答本题的关键是由1 䁞 ൌ ， 䁞 ൌ 的关系求得 q，进而 求得1，再由等比数列通项公式求解． 解：由 䁞 ൌ 䁧1 䁞 ൌ ൌ ， ൌ ， 1䁧1 䁞 ൌ ， 1 ൌ 1， ൌ ൌ 4． 故选 A． 6.答案：B 解析： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键． 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 解：p：ሼ 䁞 1 െ ，得 ሼ െ 1或 ሼ 댳 ，￢： ሼ 1， q：5ሼ െ ሼ，即 q：ሼ 5ሼ䁞 댳 ，即 댳 ሼ 댳 ，即￢：ሼ 或 ሼ ， 即￢是￢的充分不必要条件， 故选：B． 7.答案：A 解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否 所以当 4时．输出的数据为 31， 故选 A． 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属 于基础题． 8.答案：B 解析： 本题考查线性规划问题，属于中档题． 根据条件画出可行域，得到如图所示的阴影部分．设 䁧n1，可得 ൌ 1 ሼ 表示 P与可行域内的点 Q 连线的斜率，得到 PQ斜率的最小值即可． 解：作出实数 x，y满足线性约束条件 ሼ 4 1 ሼ䁞 ሼ 䁞 表示的平面区域： 得到如图所示的阴影区域，其中 䁧n，䁧1n，设 䁧ሼn为区域内的动点，可得 ൌ 1 ሼ 表示 P、Q连线的斜率，其中 䁧n1， 运动点 Q，可得当 Q与 A点重合时， ൌ 1 是最小值， 故选：B． 9.答案：D 解析： 本题考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，三角函数的最值的求法，属基础 题． 求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离以及三角函数的性质可得结果． 解：圆 C：䁧ሼ ͵െ 䁞 䁧 െ ൌ 1的圆心䁧 䁞 ͵െnെ，半径为 1， 点 P是圆 C：䁧ሼ ͵െ 䁞 䁧 െ ൌ 1上任意一点， 则圆心到直线 ሼ 䁞 ൌ 1距离为 P到直线 ሼ 䁞 ൌ 1的距离最大值为 䁞 ൌ 䁞 1， 当且仅当 时点 P到直线 ሼ 䁞 ൌ 1距离取得最大值，为： 䁞 ． 故选：D． 10.答案：D 解析： 本题考查了双曲线的定义、标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考 查计算能力，属于中档题． 设 为双曲线的左焦点，连接 ，，则则四边形 是平行四边 形，可得 ൌ ൌ ൌ 4，解得 ൌ .再根据点到直 线的距离公式求出 c，再根据离心率公式计算即可． 解：如图所示， 设 为双曲线的左焦点，连接 ，， 则四边形 是平行四边形， 可得 ൌ ൌ ൌ 4，解得 ൌ ． 右焦点 F到直线 l的距离为 1 5 ， 即有 ͵ 䁞4 ൌ 1 5，解得 ͵ ൌ 4， 故 ൌ ͵ ൌ 故选：D． 11.答案：D 解析： 本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题． 由题意变形已知式子，利用基本不等式进行求解即可． 解：因为正数 a，b满足 䁞 ൌ ，所以 䁞 䁞 ൌ 为， 则 1 䁞 䁞1 ൌ 1 䁞 4 䁞 ൌ 1 为 䁧 䁞 䁞 䁧 1 䁞 4 䁞 ൌ 1 为 䁧5 䁞 䁞 䁞 为 䁞 ൌ 1 为 䁧5 䁞 䁞 1 䁞 4 䁞 1 1 为 䁧5 䁞 䁞1 4 䁞1 ൌ 9 为 ， 当且仅当 䁞1 ൌ 4 䁞1 且 䁞 ൌ ，即 ൌ 4 n ൌ 5 时等号成立， 所以 1 䁞 䁞1 的最小值为 9 为 ． 故选 D． 12.答案：C 解析：解：由 䁧ሼ 䁞香 ൌ 得 䁧ሼ ൌ 香， 作出函数 䁧ሼ的图象，如图． 由图象知 䁧ሼ 䁞香 ൌ 有 3个实数根， 等价为函数 䁧ሼ与直线 ൌ香有 3个不同的交点， 即 5 댳香 댳 1，1 댳 香 댳 5， 即实数 m的取值范围是䁧1n5， 故选：C． 利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问 题，作出函数 䁧ሼ的图象，利用数形结合进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化两个函数的图象问题是解决本题的关键．注意使用 数形结合进行求解． 13.答案：4 解析：解：䁧 ሼ ሼ 9的展开式的通项为䁞1 ൌ 9ܥ 䁧 ሼ 9䁧 ሼ ൌ 䁧 9ܥ9 ሼ 9 令 9 ൌ 解得 ൌ 为 展开式中ሼ的系数为 9 1 展开式中ሼ的系数为 9 4 9 1 ൌ 9 4 解得 ൌ 4 故答案为 4 利用二项展开式的通项公式求出第 䁞 1项，令 x的指数为 3求出展开式中ሼ的系数，列出方程解得． 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 14.答案： 11 解析：解：设平行四边形的相邻两边的向量分别为： nܦ ，由平行四边形法则得 䁧 䁞 ܦ ൌ ܥ 䁧 ܦ ൌ ܦ ， 两式相减得 4 ܦ ൌ 1 1 ൌ 44， ܦ ൌ 11． 故答案为： 11． 将 AC，BD对应的向量用平行四边形的相邻两边对应的向量表示，相减可得． 本题考查了向量的平行四边形法则的运用，属于基础题． 15.答案：2 解析： 本题考查多面体外接球的体积，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 由题意画出图形，求出三棱柱外接球的半径，再由直三棱柱的外接球的球心是 1的中点得到ܥ ，1ܥ 然后利用勾股定理求解． 解：如图，设三棱柱的外接球的半径为 R， 则 4 ൌ ， 得 ൌ ． 由于直三棱柱的外接球的球心是 ，1的中点ܥ 1ܥ ൌ ൌ ， 在 ܥ，1中ܥܥ ൌ 5， 在 ，中ܥ ൌ 5 1 ൌ ． 故答案为 2． 16.答案：1 䁞 5 解析：解：数列͵中 䁞1 ൌ 1， 数列͵是公差为 1 的等差数列， 11 ൌ 1 䁞 1 ൌ 1 䁞 5． 故答案为：1 䁞 5． 利用等差数列的通项公式求解． 本题考查数列的第 101项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用． 17.答案：解：䁧1由题意得 െ͵െ䁞 sin ൌ ，化简得 െ 1 ͵െ ൌ 1， sin䁧 ൌ 1，即可得 ൌ ， ൌ ； 䁧 ൌ ， ൌ ，由余弦定理得 ͵െ ൌ 䁞͵ ͵ ൌ 1 ， 即可得 䁞 ͵ ൌ 䁞 ͵ ͵， ͵ ， ܥ ൌ 1 ͵െ 1 ൌ 4 ． ：面积的最大值ܥ 4 ． 解析：䁧1利用两角和与差的三角函数化简 െ䁧 ͵െ䁞 െ ൌ .转化求解可得 B的大小． 䁧利用余弦定理结合基本不等式求出 ͵ ，然后求解三角形的面积的最大值即可． 本题考查三角形的解法，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，基本不等式的应用，考查转 化思想以及计算能力，是基础题． 18.答案：解：䁧1证明：设 AC的中点为 O，连结 BO，PO， 由题意得 ൌ ൌ ܥ ൌ ，‴ ൌ 1，‴ ൌ ‴ ൌ ‴ܥ ൌ 1， 在 ，中ܥ ൌ O为，ܥ AC的中点， ‴ ，ܥ 在 ‴中，‴ ൌ 1，‴ ൌ 1， ൌ ， ‴ 䁞‴ ൌ ， ‴ ‴， ܥ ‴ ൌ ‴，AC，‴ 平面 ABC， ‴ 平面 ABC， 又 ‴ 平面 PAC， 平面 ܥ 平面 ABC． 䁧解：由䁧1知 ‴ 平面 ABC， ‴ ‴，‴ ‴，ܥ‴ ，ܥ 以 O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ‴䁧n0，，ܥ䁧1n0，，䁧n1，，䁧 1n0，，䁧n0，1，䁧 1 nn 1 ， ܥ ൌ 䁧1n 1n，ܥ ൌ 䁧1n0， ܥ，1 ൌ 䁧 nn 1 ， 设平面 MBC的法向量 ൌ 䁧ሼny，， 则 ܥ ൌ ሼ ൌ ܥ ൌ ሼ 1 ൌ ，取 ሼ ൌ 1，得 ൌ 䁧1n1，， 设平面 PBC的法向量香 ൌ 䁧ሼ1n1n1， 则 香 ܥ ൌ ሼ1 1 ൌ 香 ܥ ൌ ሼ1 1 ൌ ，取1 ൌ 1，得香 ൌ 䁧1n1，1， 设二面角 ܥ 的平面角为， 则 ͵െ ൌ 香 香 ൌ 5 ൌ 5 ． 由图可知二面角 ܥ 为锐角，二面角 ܥ 的余弦值为 5 ． 解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 䁧1设 AC的中点为 O，连结 BO，PO，推导出 ‴ ‴，ܥ ‴，从而 ‴ 平面 ABC，由此能证 明平面 ܥ 平面 ABC． 䁧由 ‴ 平面 ABC，得 ‴ ‴，‴ ‴，ܥ‴ 以，ܥ O为原点，OC，OB，OP所在直线分 别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ܥ 的余弦值． 19.答案：解： ܥ 1 ， 当 时，ܥ ൌ ܥ ൌ 1 1 ， ܥ 1 ൌ ܥ 1 ൌ 1 ܥ， ൌ ܥ ൌ 䁧1 1 5ܥ， 5 ， 当 5， 时，ܥ 1 的解为 ൌ ，1，，i． 当 1， ܥ， 䁞1 ܥ 1 ， 由ܥ ൌ 䁧1䁧 1 ൌ ，4，5可知： 当 ൌ ，1，2， ， 1，i时，ܥ 1 成立， 当 ൌ ，， 时，ܥ ܥ 1 䁧等号不同时成立，即ܥ െ 1 ． 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 䁧 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4为 ൌ 䁧 䁞 1 䁞 1 䁞 䁧䁞 4 䁞 5 䁞 䁞 䁞 为 1 1 䁞 9 1 4 䁞 1 1 4为 ൌ 4 ． 解析：由已知得当 ൌ ，1，2， ， 1，i时，ܥ 1 成立，当 ൌ ，， 时，ܥ െ 1 ， 由此能求出 ． 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必 考题型之一． 20.答案：解：䁧1由 ͵ ൌ 4，͵ ൌ ， 由勾股定理丨 丨ൌ 丨 1丨 䁞丨1丨 ൌ 1 5 䁞 1 ൌ 9 5 5 ， 由椭圆定义 ൌ丨 1丨䁞丨 丨ൌ 5 5 䁞 9 5 5 ൌ 5， ൌ 5， ൌ ͵ ൌ 1， 故椭圆方程为： ሼ 5 䁞 ൌ 1； 䁧当直线与 x轴重合时，䁧ሼn，此时ሼ 䁞 ൌ ， 若直线与 x轴不重合，设 l的方程为 ሼ ൌ 香 䁞 ，与椭圆联立得䁧香 䁞 5 䁞 香 䁞 4 ൌ ， 由ൌ 香 为香 െ ，解得：香 െ 或 香 댳 ， 由韦达定理：1 䁞 ൌ 香 香䁞5 ， ൌ 1䁞 ൌ 香 香䁞5 ， ൌ ሼ 䁞 ൌ 香 䁞 䁞 ൌ 䁧香䁞 1 䁞 ൌ 15香 香䁞5 ൌ 1䁞 ， 其中 ൌ 5 香， 䁧 n 䁧n 䁞 䁞 当 ൌ 时， ൌ ， 当 时， ൌ 1䁞 ൌ 䁞 1 ， 设 䁧 ൌ 䁞 1，其中 䁧 n 䁧n 䁧n 䁞 ，函数图象知： 䁧 䁧 9 n 䁞 䁧 n 1 ，从而 ൌ 䁧 15 1 n 䁧n ， 综上 ൌ ሼ 䁞 15 1 n . 解析：䁧1由 ͵ ൌ 4，͵ ൌ ，根据勾股定理可知丨 丨ൌ 9 5 5 ，由 ൌ丨 1丨䁞丨 丨，求得 ൌ 5，根据椭圆的性质 ൌ ͵，求得椭圆方程； 䁧分类直线与 x轴重合时，䁧ሼn，此时ሼ 䁞 ൌ ，当直线与 x轴不重合，设直线方程，将直 线方程代入椭圆方程，െ ，求得 m的取值范围，根据韦达定理及中点坐标公式， ൌ 1䁞 ൌ 香 香䁞5 ， 代入求得 ൌ ሼ 䁞 ൌ 1䁞 ，根据 t的取值范围，构造辅助函数，根据函数图形求得 ൌ ሼ 䁞 的取值范围． 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，构造法求函数的取值范围，考查计算能力， 属于中档题． 21.答案：䁧Ⅰ解：因为 䁧1 ൌ ，故䁧 ൌ ，故 ൌ 1； 依题意，䁧1 ൌ 1；又䁧ሼ ൌ ሼ 1ሼ ሼ 䁧ሼሼ 䁞 ሼሼ， 故 䁧1 ൌ 1 4 ൌ 1，故 4 ൌ ， 联立解得 ൌ ， ൌ 1， 䁧Ⅱ证明：由䁧Ⅰ得 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ሼ ሼሼ 要证 䁧ሼ െ ，即证 ሼ ሼሼ െ 䁞 ሼ ሼ ； 令䁧ሼ ൌ ሼ ሼሼ， 䁧ሼ ൌ ሼ䁧 ሼ ሼ 䁞 ൌ ሼ䁧ሼ 䁞 ሼ ൌ ሼ䁧ሼ 䁞 1䁧ሼ 䁞 ሼ ， 故当 ሼ 䁧n1时， ሼ 댳 ，ሼ 䁞 1 െ ； 令 䁧ሼ ൌ ሼ 䁞 ሼ ，因为 䁧ሼ的对称轴为 ሼ ൌ 1，且 䁧 䁧1 댳 ， 故存在ሼ 䁧n1，使得 䁧ሼ ൌ ； 故当 ሼ 䁧nሼ时，䁧ሼ ൌ ሼ 䁞 ሼ 댳 ，䁧ሼ ൌ ሼ䁧ሼ 䁞 1䁧ሼ 䁞 ሼ െ ， 即 䁧ሼ在䁧nሼ上单调递增； 当 ሼ 䁧ሼn1时，䁧ሼ ൌ ሼ 䁞 ሼ െ ，故 䁧ሼ ൌ ሼ䁧ሼ 䁞 1䁧ሼ 䁞 ሼ 댳 ， 即 䁧ሼ在䁧ሼn1上单调递减；因为 䁧 ൌ ，䁧1 ൌ ， 故当 ሼ 䁧n1时，䁧ሼ െ 䁧 ൌ ， 又当 ሼ 䁧n1时， ሼ ሼ 댳 ， 䁞 ሼ ሼ 댳 所以 ሼ ሼሼ െ 䁞 ሼ ሼ ，即 䁧ሼ െ 解析：䁧Ⅰ根据函数 䁧ሼ的图象在点䁧1n处的切线与直线 ሼ 䁧 䁞 1 ൌ 垂直，求得 a，b； 䁧Ⅱ由䁧Ⅰ得 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ሼ ሼሼ，证 䁧ሼ െ ，即证 ሼ ሼሼ െ 䁞 ሼ ሼ ，构造函数，确定函 数的单调性，即可证明结论． 本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 22.答案：解：䁧1直线 l的标准参数方程为 ሼ ൌ 1 5 ൌ 䁞 4 5 䁧为参数， 代入曲线方程并化简得 5 ൌ ． 设 A、B对应的参数分别为1、， 则1 䁞 ൌ ，1 ൌ 5 ． ൌ 1 ൌ 䁧1 䁞 41 ൌ 1 ． 䁧根据中点坐标的性质可得 AB中点 C对应的参数为 1䁞 ൌ 15 ． 由 t的几何意义可得点 䁧 1n到线段 AB中点 C的距离为 15 ． 解析：䁧1写出直线 l的标准参数方程，代入曲线普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义 得出； 䁧求出 C对应的参数即为 P到 C点的距离ܥ． 本题考查了参数方程的几何意义，距离计算，属于中档题． 23.答案：证明：䁧Ⅰ ሼ 1 ሼ ሼ 1 ሼ 䁞 ൌ 1， 䁞 䁞 ͵ 1． 䁞 ， 䁞 ͵ ͵，͵ 䁞 ͵， 䁞 䁞 ͵ 䁞 ͵ 䁞 ͵， 䁞 䁞 ͵ 䁞 䁞 ͵ 䁞 䁞 ͵ 䁞 ͵ ൌ 䁧 䁞 䁞 ͵ 1， 䁞 䁞 ͵ 1 ． 䁧Ⅱ 䁞 ，䁧 䁞 䁞 䁞 ൌ 䁧䁞 ， 即 䁞 䁧䁞 两边开平方得 䁞 䁞 ൌ 䁧 䁞 ， 同理可得 䁞 ͵ 䁧 䁞 ͵n ͵ 䁞 䁧͵ 䁞 ， 当且仅当 ൌ ൌ ͵时，等号成立． 三式相加，得 䁞 䁞 䁞 ͵ 䁞 ͵ 䁞 䁞 䁞 ͵ ． 解析：本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式，属于中档题． 䁧Ⅰ由已知， 䁞 䁞 ͵ 1，再利用基本不等式即可得证； 䁧Ⅱ分析可知 䁞 䁧 䁞 ， 䁞 ͵ 䁧 䁞 ͵n ͵ 䁞 䁧͵ 䁞 ，三式相加即可得证．