高考数学圆锥曲线及解题技巧

高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点 P处的切线 PT 平分△PF1F2在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线 方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 1 2F PF   ，则椭圆 的焦点角形的面积为 1 2 2 tan 2F PFS b    . 8. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的焦半径公式： 1 0| |MF a ex  , 2 0| |MF a ex  ( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应 于焦点 F的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 2 2OM AB bk k a    ， 即 0 2 0 2 ya xb K AB  。 12. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b    . 13. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b    . 双曲线 1. 点 P处的切线 PT 平分△PF1F2在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞ 0）上，则过 0P 的双曲线的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点 1 2F PF   ， 则双曲线的焦点角形的面积为 1 2 2 t 2F PFS b co    . 8. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 当 0 0( , )M x y 在右支上时， 1 0| |MF ex a  , 2 0| |MF ex a  . 当 0 0( , )M x y 在左支上时， 1 0| |MF ex a   , 2 0| |MF ex a   9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交 于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM  ，即 0 2 0 2 ya xb K AB  。 12. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b    . 13. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b    . 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 椭 圆 1. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞o）的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ，与 y轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0, b＞0)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y  （常数）. 3. 若 P 为椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ，则 tan t 2 2 a c co a c     . 4. 设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 △PF1F2中，记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   ，则有 sin sin sin c e a       . 5. 若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜e≤ 2 1 时， 可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项. 6. P 为椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF     ,当且仅当 2, ,A F P三点共线时，等号成立. 7. 椭 圆 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1x x y y a b     与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2 0 0( )A a B b Ax By C    . 8. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .（1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 2 2 2 2 4a b a b ;（3） OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b a b . 9. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分 线交 x 轴于 P，则 | | | | 2 PF e MN  . 10. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 于点 0( ,0)P x , 则 2 2 2 2 0 a b a bx a a      . 11. 设 P 点是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 1 2F PF   ， 则(1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF    .(2) 1 2 2 tan 2PF FS b    . 12. 设 A、B 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB   , PBA   , BPA   ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) 2 2 2 2 2 | cos || | s abPA a c co     .(2) 2tan tan 1 e    .(3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0）的右准线 l与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭 圆相交于 A、B 两点,点C在右准线 l上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 双曲线 1. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ，与 y 轴平行的直线交 双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o）上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲 线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y   （常数）. 3. 若 P 为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ，则 tan t 2 2 c a co c a     （或 tan t 2 2 c a co c a     ）. 4. 设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   ， 则 有 sin (sin sin ) c e a        . 5. 若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1＜e≤ 2 1 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项. 6. P 为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 2 1| | 2 | | | |AF a PA PF   ,当且仅当 2, ,A F P三点共线且 P和 2,A F 在 y 轴同侧时，等号成 立. 7. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）与直线 0Ax By C   有公共点的充要条件是 2 2 2 2 2A a B b C  . 8. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ . （1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 2 2 2 2 4a b b a ;（3） OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b b a . 9. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x轴于 P，则 | | | | 2 PF e MN  . 10. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0( ,0)P x , 则 2 2 0 a bx a   或 2 2 0 a bx a    . 11. 设 P 点是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 1 2F PF   ，则(1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF    .(2) 1 2 2 cot 2PF FS b    . 12. 设 A、B是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点， PAB   , PBA   , BPA   ， c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 2 2 2 2 2 | cos || | | s | abPA a c co     . (2) 2tan tan 1 e    .(3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的右准线 l与 x轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F 的 直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线 l上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的 中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点 的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理 问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 例 1. 已知点 A（3，2），F（2，0），双曲线 x y2 2 3 1  ，P为双曲线上一点。 求 | | | |PA PF 1 2 的最小值。 解析：如图所示， 双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知 1 2 | |PF 即点 P 到准线距离。      | | | | | | | |PA PF PA PE AM1 2 5 2 二. 引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准线 l 的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为 M（t，0）（t 为 参数）  p b c  2 ，而 c t   b pc pt2 再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y），则 x c t y b pt         消去 t，得轨迹方程 pxy 2 三. 数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数， 结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦 的问题。 例 3. 已知 x y R,  ，且满足方程 )0(322  yyx ，又m y x    3 3 ，求 m范围。 解析：m y x    3 3 的几何意义为，曲线 x y y2 2 3 0  ( )上的点与点（－3，－3）连线的斜率， 如图所示 k m kPA PB      3 3 2 3 5 2 m 四. 应用平几，一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几” 知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 ( )x y  3 42 2 和直线 y mx 的交点为 P、Q，则 | | | |OP OQ 的值为________。 解： OMP OQN~ | | | | | | | |OP OQ OM ON    5 五. 应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 例 5. 已知椭圆： x y2 2 24 16 1  ，直线 l ： x y 12 8 1  ，P 是 l 上一点，射线 OP 交椭圆于一点 R，点 Q 在 OP 上且满足 | | | | | |OQ OP OR  2 ，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。 分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线 的条件便可简便地解出。 解： 如图， OQ OR OP    ， ， 共线 ，设 OR OQ     ， OP OQ     ， OQ x y   ( )， ，则 OR x y   ( ) ， ，OP x y   ( ) ， | | | | | |OQ OP OR      2      | | | |OQ OQ2 2 2   2 点 R 在椭圆上，P 点在直线 l 上     2 2 2 2 24 16 1x y ，  x y 12 8 1  即 x y x y2 2 24 16 12 8    化简整理得点 Q 的轨迹方程为： ( ) ( )x y    1 5 2 1 5 3 1 2 2 （直线 y x  2 3 上方部分） 六. 应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题 方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆 x y x2 2 6 4 0    和 x y y2 2 6 28 0    的交点，且圆心在直线 x y  4 0 上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： x y x x y y2 2 2 26 4 6 28 0       ( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 6 28 4 02 2          x y x y 则圆心为 ( )    3 1 3 1   ， ，在直线 x y  4 0上 解得  7 故所求的方程为 x y x y2 2 7 32 0     七. 巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线 x y2 2 2 1  相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。 解：设 P x y1 1 1( )， ， P x y2 2 2( )， ，则 x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2               <2>－<1>得 ( )( ) ( )( ) x x x x y y y y 2 1 1 2 2 1 1 2 2      即 y y x x x x y y 2 1 2 1 1 2 1 2 2     ( ) 设 P1P2的中点为 M x y( )0 0， ，则 k y y x x x yP P1 2 2 1 2 1 0 0 2     又 k y xAM    0 0 1 2 ，而 P1、A、M、P2共线  k kP P AM1 2 ，即 y x x y 0 0 0 0 1 2 2    P P1 2 中点 M 的轨迹方程是2 4 02 2x y x y    解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知 识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥 曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组 与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这 点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0

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